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Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações.

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2 Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira

3 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações financeiras são caracterizadas pelos seus aspectos intertemporais. –A Matemática Financeira trata da mensuração do dinheiro no tempo.

4 Matemática Financeira3 Conceitos Importantes Matemática Financeira –A razão entre o futuro F e o presente P de uma operação, mede a variação do capital final por unidade de capital inicial; de outra maneira, a razão F/P mede também a prosperidade da operação, ou seja: F/P = 1 Capital inicial permaneceu inalterado F/P > 1 Valor futuro maior que capital inicial F/P < 1 Valor futuro menor que capital inicial –Os valores possíveis, para a razão F/P numa operação financeira, estão no intervalo: 0 F/P < +

5 Matemática Financeira4 Capitalização Simples No regime de juros simples, os juros de cada período de capitalização são calculados sempre em função do capital inicial aplicado. Ex: Considere um capital de $1.000,00 remunerado à taxa de juros simples de 2% a.m., durante o período de 2 meses. $ = 1000 x 0, = 1000 x 0, n

6 Matemática Financeira5 Capitalização Simples Conceito Financeiro de Juros –Juros J são a remuneração do capital. Podem ser entendidos, de forma simplificada, como o valor do aluguel pago pelo uso do dinheiro. J = P. i. n

7 Matemática Financeira6 Capitalização Simples CONVENÇÕES ADOTADAS: Juros Exatos Juros Comerciais

8 Matemática Financeira7 Capitalização Simples Capital Inicial P –Qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época. Capital Acumulado (Montante) S –É a soma do capital inicial com os juros. S = P + J S = P + (P. i. n) S = P (1 + i. n)

9 Matemática Financeira8 Capitalização Simples Valor Atual VA –Corresponde ao valor de um compromisso, de débito ou de crédito, em uma determinada data entre o início e o término do compromisso. Valor Nominal VN –É o valor de face do título; –É o valor do título, em sua data de vencimento.

10 Matemática Financeira9 Capitalização Simples VN VA P 0 n t n

11 Matemática Financeira10 Capitalização Simples Taxa de Juros i –É a unidade de medida de remuneração do capital no tempo. –É o juro de uma unidade monetária durante um período. –É a razão entre os juros e o capital por unidade de tempo. forma unitária forma percentual

12 Matemática Financeira11 Capitalização Simples Diagrama de Fluxo de Caixa –Os problemas financeiros dependem do fluxo (entradas e saídas) de dinheiro no tempo, podendo ser representado do seguinte modo: Entradas (+) Saídas (-)

13 Matemática Financeira12 Capitalização Simples Taxas Equivalentes –Taxa de juros e o período de capitalização devem estar sempre na mesma unidade de tempo. –Quando duas taxas aplicadas à um mesmo capital, pelo mesmo prazo, produzirem os mesmos juros, elas serão denominadas de taxas equivalentes. –Ex: Qual a taxa mensal equivalente à taxa anual de 15%?

14 Matemática Financeira13 Capitalização Simples Desconto D –Operação típica de antecipação de recebíveis. –Consiste na diferença entre um valor nominal, com seu valor atual na data da operação. Racional D r –O valor do desconto é obtido com base no cálculo sobre o valor atual n períodos antes de seu vencimento. Irracional, Comercial ou Bancário D c –É o valor que se obtém com base no cálculo sobre o valor nominal n períodos antes de seu vencimento.

15 Matemática Financeira14 Capitalização Simples Desconto Racional D r (Exemplo) –Uma pessoa pretende saldar um título no valor de $5.500,00, 3 meses antes de seu vencim. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter. N D r { V n = 3 meses

16 Matemática Financeira15 Capitalização Simples Desconto Comercial D c (Exemplo) –Uma duplicata no valor de $4.500,00, cujo vencimento era para 7 meses foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. Calcular o desconto e o valor descontado. N D r { V n = 2 meses

17 Matemática Financeira16 Capitalização Composta No regime de juros compostos, os juros de cada período de capitalização são calculados sempre em função do montante do período anterior. Ex: Suponhamos um capital de $1.000,00 remunerado à taxa i = 2%a.m., durante o período de 2 meses. S 1.040,40 20, n

18 Matemática Financeira17 Capitalização Composta Montante –Imaginemos um capital de $100,00 aplicado à taxa de 1% a.m. por um período de 3 meses. –Isto implica em resolver as equações: S 1 = 100 (1 + 0,01) = 101 S 2 = 101 (1 + 0,01) = 102,01 S 3 = 102,01 (1 + 0,01) = 103,03 –Se substituirmos, por exemplo, em S 2 o valor de 101 por 100(1 + 0,01), teremos: S 2 = 100(1 + 0,01) (1 + 0,01) = 100(1+0,01) 2 = 102,01 Generalizando S n = P (1+i) n

19 Matemática Financeira18 Capitalização Composta Equivalência de Taxas Taxa Nominal –É a taxa de montagem da operação, nominalmente contratada. A unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. É normalmente expressa em termos anuais. Exemplo: 10%a.a., capitalizados mensalmente – 15%a.a, capitalizados trimestralmente.

20 Matemática Financeira19 Capitalização Composta Taxa Efetiva ou Capitalizada –É aquela que nos fornece o total dos juros produzidos durante o prazo de capitalização. Taxa Real –É a taxa calculada com base na taxa efetiva da aplicação ou empréstimo, corrigida pela taxa de inflação do período, contado desde o dia da aplicação ou do empréstimo até o dia do seu resgate ou vencimento.

21 Matemática Financeira20 Capitalização Composta Exemplo: –Uma empresa obtém um empréstimo de $ ,00 para ser liquidado por $ ,00 no final de 30 dias. Entretanto, o banco solicita a esse cliente que mantenha durante a vida do contrato um saldo médio correspondente a 20% do valor emprestado. Supondo que nesse mesmo período a taxa de inflação tivesse sido de 2%, calcular as taxas nominal, efetiva e real.

22 Matemática Financeira21 Capitalização Composta Equivalência de Capitais –O conceito de equivalência permite transformar formas de pagamentos ou recebimentos em outras, equivalentes e consequentemente efetuar comparações entre alternativas de investimentos ou empréstimos. –Tais questões dizem respeito, de modo geral, à comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes, considerando-se uma dada taxa de juros. –Data Focal é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes.

23 Matemática Financeira22 Capitalização Composta Taxa Interna de Retorno (TIR) –É através de uma equivalência Financeira, ou de capitais que podemos determinar o que se conhece como Taxa Interna de Retorno. –A taxa interna de retorno é a taxa que equaliza o valor atual de um ou mais pagamentos com o valor atual de um ou mais recebimentos.

24 Matemática Financeira23 Capitalização Composta Valor Presente Líquido –Trata-se de uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos, a uma taxa conhecida, e deduzir deste o valor do fluxo inicial (valor do empréstimo, do financiamento ou do investimento)

25 Matemática Financeira24 Capitalizações Juros Simples X Juros Compostos S S = juros Comp. S = juros simples S 1 P 0 1º período de Períodos capitalização

26 Matemática Financeira25 Anuidades Rendas Certas ou Anuidades –É uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, exigíveis em épocas predeterminadas, destinadas a extinguir uma dívida ou construir um capital Classificação das Anuidades –Rendas certas ou determinísticas São aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados. –Rendas aleatórias ou probabilísticas Os valores e/ou datas de pagamentos ou recebimentos podem ser variáveis aleatórias.

27 Matemática Financeira26 Anuidades Classificação das Anuidades –Quanto ao prazo: Temporárias e perpétuas –Quanto ao valor dos termos: Constante e variável –Quanto à forma de pagamento ou recebimento Imediatas: postecipadas e antecipadas Diferidas: postecipadas e antecipadas –Quanto à periodicidade: Periódicas e não-periódicas

28 Matemática Financeira27 Anuidades Modelo Básico de Anuidade –São as anuidades que são simultaneamente: Temporárias duração limitada. Constantes termos iguais. Imediatas e postecipadas exigíveis a partir do 1º período e no fim de cada um deles. Períódicas os períodos são iguais. E que a taxa de juros ( i ) seja referida ao mesmo período dos termos.

29 Matemática Financeira28 Anuidades Valor Atual do Modelo Básico P R R R R R n-1 n A soma do valor atual dos termos na data zero é dada por: P = R/(1+i) 1 + R/(1+i) 2 + R/(1+i) R/(1+i) n P = R [ 1/(1+i) 1 + 1/(1+i) 2 + 1/(1+i) /(1+i) n ] Colocando-se a soma entre colchetes como sendo: a n i = [ 1/(1+i) 1 + 1/(1+i) 2 + 1/(1+i) /(1+i) n ] Temos: P = R. a n i

30 Matemática Financeira29 Anuidades Cálculo do Valor Atual para Anuidades Postecipadas –O valor de a n i é obtido pela soma dos termos de uma progressão geométrica. Substituindo- se os valores, teremos: a n i = P = R. a n i

31 Matemática Financeira30 Anuidades Cálculo do Montante para Anuidades Postecipadas s n i = S = R. s n i

32 Matemática Financeira31 Anuidades Cálculo das Anuidades Antecipadas P = R + R. P = R + R. a n-1 i

33 Matemática Financeira32 Anuidades Cálculo das Anuidades Diferidas –Séries diferidas são aquelas que apresentam um prazo de carência. R. a n i P = (1+i) k

34 Matemática Financeira33 Sistemas de Amortização –De maneira geral, qualquer fluxo de pagamentos para liquidar um empréstimo é um sistema de amortização. Vamos analisar alguns, classificados com nomes especiais, em razão de sua utilização mais freqüente. São eles: –Sistema de Amortização Constante - SAC –Sistema Francês - Tabela Price –Sistema de Amortização Misto - SAM –Sistema Americano de Amortização - SAA

35 Matemática Financeira34 Sistemas de Amortização Sistema de Amortização Constante - SAC –Características: As parcelas de amortização são iguais. Os juros são calculados a cada período com base no saldo devedor existente no período anterior. –Um empréstimo de $ ,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais, a taxa de 10% a.s..

36 Matemática Financeira35 Sistemas de Amortização Sistema Francês - Tabela Price –Características: As prestações são iguais e consecutivas de tal modo que uma parte paga os juros e a outra o principal. Os juros são calculados a cada período com base no saldo devedor existente no período anterior. –Um empréstimo de $ ,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais, a taxa de 10% a.s..

37 Matemática Financeira36 Sistemas de Amortização Sistema de Amortização Misto - SAM –Características: Prestações cujos valores são resultantes da média aritmética dos valores das prestações dos planos SAC e Price. Os juros são calculados a cada período com base no saldo devedor existente no período anterior. –Um empréstimo de $ ,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais, a taxa de 10% a.s..

38 Matemática Financeira37 Sistemas de Amortização Sistema Americano de Amortização - SAA –Características: O principal é devolvido em uma única parcela, após ter decorrido o prazo de carência estipulado. Os juros podem ser pagos durante a carência ou capitalizados e devolvidos juntamente com o principal. –Prazo de carência Corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização. –Um empréstimo de $ ,00 deve ser amortizado, à taxa de 10% a.s., para ser devolvido após uma carência de 2 anos

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