A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Seções Cônicas Cônicas não degeneradas. Estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas que são obtidas da intersecção de um cone circular com um plano.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Seções Cônicas Cônicas não degeneradas. Estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas que são obtidas da intersecção de um cone circular com um plano."— Transcrição da apresentação:

1 Seções Cônicas Cônicas não degeneradas

2 Estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas que são obtidas da intersecção de um cone circular com um plano.

3

4 Vamos estudar a elipse, a hipérbole e a parábola, que são chamadas de cônicas não degeneradas.

5

6

7 No Gráfico:

8 Vamos definí-las como conjunto de pontos que satisfazem certas propriedades e determinar as equações na forma mais simples.

9 Cônicas não degeneradas

10 Elipse

11 Definição: A elipse é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice, não paralelo a uma reta geratriz (reta que gira em torno do eixo do cone de forma a gerá-lo) e que corta apenas uma das folhas da superfície.

12 Elipse Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano Elipse

13 Definição: Uma elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) é constante, ou seja, se dist(F1, F2) = 2c, então a elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a, em que a > c. Elipse

14 Elipse que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que dist(P; F1) + dist(P; F2) = 2a Elipse

15 Elipse que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que dist(P; F1) + dist(P; F2) = 2a Elipse

16 Elementos da Elipse: F1, F2: focos. A distância entre os Focos F1 e F2, igual a 2c, denomina-se distância focal. O: centro da elipse; é o ponto médio do segmento F1, F2. A1, A2, B1, B2: vértices da elipse. Eixo maior: é o segmento A1A2 e cujo comprimento é 2a. Eixo menor: é o segmento B1B2 e cujo comprimento é 2b. Do triângulo retângulo B2OF2 hachurado na figura, obtemos a relação notável: Hipérbole Elipse

17 Proposição 1. (a) A equação de uma elipse cujos focos são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é Elipse

18 Figura 1.1: Elipse com focos nos pontos F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) Elipse

19 Proposição 1. (b) A equação de uma elipse cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é Elipse

20 Figura 1.2: Elipse com focos nos pontos F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) Elipse

21 Nas Figuras 1.1 e 1.2, os pontos A1 e A2 são chamados vértices da elipse. Os segmentos A1A2 e B1B2 são chamados eixos da elipse. Elipse

22 Parábola Aplicações práticas da Elipse: (a) A trajetória ao redor do Sol não é circular e sim elíptica (não considerando o deslocamento do sistema solar). Foi Kepler ( ) quem desenvolveu esta teoria. No caso da Terra os semi-eixos são a = km e b = km. Donde podemos obter a excentricidade da órbita da Terra: (quase uma circunferência) O eixo maior apresenta dois pontos: o periélio (janeiro) e o afélio (julho), que correspondem às distâncias mínimas e máxima da Terra ao Sol, respectivamente. Ademais, no globo terrestre (geóide) o equador tem aproximadamente a forma de uma circunferência e o meridiano de uma elipse. (b) Arcos em forma de semi-elipse são muito empregados na construção de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos) (c) Engenharia Civil: em Resistência dos Materiais é muito empregada a elipse de inércia. Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses homofocais (elipses de mesmo foco) são utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias. Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens elípticas (excêntricos). (d) Sob uma abóboda elíptica os sons emitidos em um foco têm melhor audibilidade nos pontos próximos ao outro foco, não obstante serem praticamente inaudíveis na região intermediária aos dois focos. (e) O mais portentoso monumento arquitetônico da Roma antiga foi o Coliseu. A planta baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188m e o menos 156m. Começou a ser construído em 72 por Vespasiano e foi concluído em 82 por Tito. A cobertura móvel, à altura de 85m, era sustentada por um sistema inédito de tirantes, adicionada em caso de chuva para proteger seus espectadores. Diante da tribuna imperial, os garbosos gladiadores romanos desfilavam antes da luta e proferiam em alto e bom som: Ave, César, morituri te salutant (Salve, César, os que vão morrer te saúdam). Elipse

23 Parábola

24 Definição: A parábola (do grego παραβολή) é uma seção cônica gerada pela intersecção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora de cone (chamada geratriz.

25 Parábola Parábola obtida seccionando-se um cone com um plano Parábola

26 Algebricamente: Uma parábola é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano equidistantes de uma reta r (diretriz) e de um ponto F (foco), não pertencente a r, ou seja, a parábola é o conjunto dos pontos P = (x, y) chamados de vértices da parábola, tais que dist(P, F) = dist(P, r) Parábola

27 Parábola que o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(P, F) = dist(P, r) Parábola

28 Parábola que o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(P, F) = dist(P, r) Parábola

29 Elementos da Parábola: F: foco D: diretriz V: vértice p: parâmetro, que representa a distância do foco à diretriz reta VF: eixo de simetria da parábola. LATUS RECTUM: é a corda AA que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo de simetria. Também chamada de corda focal mínima. Parábola

30 Proposição 1. (a) A equação de uma parábola com foco F = (p, 0) e reta diretriz r : x = -p é Parábola

31 Parábola com foco no ponto F = (p, 0) e p > 0 Parábola com foco no ponto F = (p, 0) e p < 0 Parábola

32 Proposição 1. (b) A equação de uma parábola com foco F = (0, p) e reta diretriz r : y = -p é Parábola

33 Parábola com foco no ponto F = (0, p) e p > 0 Parábola com foco no ponto F = (0, p) e p < 0 Parábola

34 Aplicações práticas de Parábola (a) A secção de um farol de automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície espelhada é um parabolóide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da parábola. (b) Se um esplho parabólico é apontado para o Sol, os raios da luz (paralelos ao eixo da parábola) serão refletidos para o mesmo ponto (foco). Pela grande quantidade de calor produzido nesta fonte, procede o nome foco (em latim focus significa fogo). Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para telescópios, antenas de radar e antenas parabólicas (as onda paralelas ao eixo da parábola, se refletem na antena e conluem para o retransmissor). (c) O cabo principal de uma ponte pênsil assumiria a forma de uma parábola (desde que o cabo fosse perfeitamente flexível), se negligenciasse a sua massa e se o peso da ponte estivesse uniformemente distribuídos ao longo de seu comprimento. Na prática, sabemos que tais condições não se verificam. Na verdade os cabos assumem a forma de uma forma de uma curva muito próxima de uma parábola. Tal curva sujeita apenas ao próprio peso se chama CATENÁRIA. (d) Em Resistência dos Materiais, o diagrama do Momento Fletor de uma viga submetida a uma carga uniforme é uma parábola. (e) Em balística, quando se lança um projétil sobre o qual atua somente a força da gravidade, a trajetória é uma parábola. (f) Seja um recipiente cilíndrico parcialmente cheio de um certo líquido. Aplicando-se o movimento de rotação no eixo do cilindo, a secção (ou seção) da superfície é uma parábola. Parábola

35 Hipérbole

36 Definição: A hipérbole é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice, não é paralelo a uma reta geratriz e que corta as duas folhas da superfície.

37 Hipérbole Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano Hipérbole

38 Algebricamente: Uma hipérbole é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano, tais que o módulo da diferença entre as distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) é constante, ou seja, se dist(F1, F2) = 2c, então a hipérbole é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que |dist(P,F1 – P, F2)| = 2a, em que a < c. Hipérbole

39 Hipérbole que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que |dist(P,F1 – P, F2)| = 2a Hipérbole

40 Elementos da Hipérbole: F1, F2: focos. A distância entre os focos F1, F2, igual a 2c, denomina-se distância focal. O: centro da Hipérbole; é o ponto médio do segmento F1, F2. A1, A2: vérices da Hipérbole. Eixo real ou transversal: é o segmento A1, A2 e cujo comprimento é 2a. Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 e cujo comprimento é 2b. Do triângulo B2OA2, hachurado na figura, obtemos a relação notável: Hipérbole

41 Proposição 1. (a) A equação de uma Hipérbole cujos focos são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é e das assíntotas (retas para onde a curva se aproxima, quando ) são Hipérbole

42 Figura 1.3: Hipérbole com focos nos pontos F1 = ( - c; 0) e F2 = (c; 0) Hipérbole

43 Proposição 1. (b) A equação de uma hipérbole cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é e das assíntotas são Hipérbole

44 Figura 1.4: Hipérbole com focos nos pontos F1 = (0; - c) e F2 = (0; c) Hipérbole

45 Nas Figuras 1.4 e 1.5, os pontos A1 e A2 são chamados vértices da hipérbole. Hipérbole

46 Parábola Aplicações práticas de Hipérbole: (a) Mecânica Celeste: dependendo de sua velocidade, um cometa tem uma órbita elíptica, parabólica ou hiperbólica (o foco coincide com o Sol). (b) Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas referentes ao fluxo estacionário de eletricidade são utilizadas hipérboles homofocais (de mesmo foco). (c) O sistema LORAN (long range navigation) e o sistema DECCA de navegação aérea usam a hipérbole. Daq Terraz, concomitantemente são transmitidos sinais de rádio de dois pontos fixos F1 e F2 que são captados pelo aeroplano em P, ao longo de t1 e t2 segundos, respectivamente. A diferença entre t1 e t2 determina 2ª e assim obtêm a característica da hipérbole na qual está P. Igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas hiperbólicos: O sistema RADUX (de baixíssima freqüência) e o sistema LORAC (de ondas contínuas para observações de grande precisão). Hipérbole

47 Caracterização das Cônicas

48 Definição: Todas as cônicas não degeneradas, com exceção da circunferência, podem ser descritas de uma mesma maneira. Hipérbole Caracterização das Cônicas

49 Proposição 1. Seja s uma reta fixa (diretriz) e F um ponto fixo (foco) não pertencente a s. O conjunto dos pontos do plano P = (x, y) tais que dist(P, F) = e dist(P, s) em que e > 0 é uma constante fixa, é uma cônica. (a) Se e = 1, então a cônica é uma parábola. (b) Se 0 < e < 1, então a cônica é uma elipse. (c) Se e > 1, então a cônica é uma hipérbole. Reciprocamente, toda cônica que não seja uma circunferência pode ser descrita por uma equação da forma. Hipérbole Caracterização das Cônicas

50 A excentricidade da elipse é o número. Como c < a, a excentricidade de uma elipse é um número real não negativo menor que 1. Observe que se F1 = F2, então a elipse reduz-se ao círculo de raio a. Além disso, como c = 0, então e = 0. Assim, um círculo é uma elipse de excentricidade nula. Hipérbole Caracterização das Cônicas

51 Quanto mais próximo de 0 for o valor de e, mais a elipse se aproxima de uma circunferência. Por outro lado, quanto mais achatada for a elipse, mais o valor de e se aproxima de 1. Exemplo: Hipérbole Caracterização das Cônicas

52 A excentricidade da hipérbole é o número. Como c > a, a excentricidade de uma hipérbole um número real maior que 1. Hipérbole Caracterização das Cônicas

53 Bibliografia STEINBRUCH, Alfredo. Geometria Analítica / Steinbruch, Alfredo, Winterle, Paulo. - 2.ª edição – São Paulo, McGraw-Hill, DANTE, Luis Roberto. Matemática – Contexto & Aplicações – Volume Único. 1.ª edição – São Paulo, Ática,


Carregar ppt "Seções Cônicas Cônicas não degeneradas. Estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas que são obtidas da intersecção de um cone circular com um plano."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google