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Distribuição Normal Propriedades: 1 - Uma distribuição normal é unimodal (uma moda), simétrica (lado direito e esquerdo são idênticos) e tem a forma de.

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1 Distribuição Normal Propriedades: 1 - Uma distribuição normal é unimodal (uma moda), simétrica (lado direito e esquerdo são idênticos) e tem a forma de um sino, com a altura máxima coincidindo com a média; 2 - Uma distribuição normal é contínua, onde X é assumido ser uma variável contínua; 3 - Uma distribuição normal é assimptótica ao eixo X: quanto mais a curva se afasta da média, mais próximo ela chega do valor zero; mas nunca chega ao valor zero absoluto. 4 - A área sob a curva totaliza 1, portanto, …

2 Distribuição Normal … portanto, é possível estimar a propabilidade de ocorrência de eventos … com base na área sob a curva Área = 1

3 Distribuição Normal Padrão Onde: = 0 = 1 +/- 1 desvio padrão = 68,2% +/- 2 desvios padrão = 95,5% +/- 3 desvios padrão = 99,7%

4 z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09 0,000,5000,5040,5080,5120,5160,5200,5240,5280,5320,536 0,100,5400,5440,5480,5520,5560,5600,5640,5670,5710,575 0,200,5790,5830,5870,5910,5950,5990,6030,6060,6100,614 0,300,6180,6220,6260,6290,6330,6370,6410,6440,6480,652 0,400,6550,6590,6630,6660,6700,6740,6770,6810,6840,688 0,500,6910,6950,6980,7020,7050,7090,7120,7160,7190,722 0,600,7260,7290,7320,7360,7390,7420,7450,7490,7520,755 0,700,7580,7610,7640,7670,7700,7730,7760,7790,7820,785 0,800,7880,7910,7940,7970,8000,8020,8050,8080,8110,813 0,900,8160,8190,8210,8240,8260,8290,8310,8340,8360,839 1,000,8410,8440,8460,8480,8510,8530,8550,8580,8600,862 1,100,8640,8670,8690,8710,8730,8750,8770,8790,8810,883 1,200,8850,8870,8890,8910,8930,8940,8960,8980,9000,901 1,300,9030,9050,9070,9080,9100,9110,9130,9150,9160,918 1,400,9190,9210,9220,9240,9250,9260,9280,9290,9310,932 1,500,9330,9340,9360,9370,9380,9390,9410,9420,9430,944 1,600,9450,9460,9470,9480,9490,9510,9520,9530,954 1,700,9550,9560,9570,9580,9590,9600,9610,962 0,963 1,800,9640,9650,966 0,9670,9680,969 0,9700,971 1,900,9710,9720,973 0,974 0,9750,976 0,977 2,000,9770,978 0,979 0,980 0,981 0,982 2,100,9820,983 0,984 0,985 0,986 2,200,986 0,987 0,988 0,989 2,300,9890,990 0,991 0,992 2,400,992 0,993 0,994 2,500,994 0,995 2,600,995 0,996 2,700,997 2,800,9970,998 2,900,998 0,999 3,000,999 3,100,999

5 Distribuição Normal Padrão Para calcular a área: - adiciona as área se os valores zestão em lados opostos da média; - subtrai se os valores estão do mesmo lado da média. Cálculo da Área Distribuição Normal: a mais usada em estatística indutiva...

6 Probabilidade e Distribuição Estatística Distribuição estatística: distribuição que representa todos os resultados possíveis de um particular evento. Ex: soma de dois dados Qual a probabilidade de 10, 11 e 12? SomaFreq/Total Probabilidade 10 3/ / / P(10 ou 11 ou 12) = P(10) + P(11) + P(12) = =.167

7 Distribuição Normal e Distribuição Estatística Qual é a probabilidade de ocorrência de um valor entre 50 e 60? Distribuição Normal: N = = 60 = 10 1 desvio padrão => 0,3413 ou 34,13% Qual é a probabilidade de ocorrência de um valor maior que 80 ou menor que 40? z 80 = +2 z 40 = desvios padrão = 0,0228 ou 2,28%, então >80 ou < 40 = 0, ,0228 = 0,0456 ou 4,56 %

8 Distribuição Normal Padrão Valores de z Onde: = 0 = 1 Variáveis observadas na prática apresentam valores cujas áreas não estão tabeladas … entretanto é possível transformar valores observados (x) em valores de z

9 Distribuição Normal Padrão Valores de z onde: x = valores da variável observada = média = desvio padrão Distribuição Normal padronizada e, portanto, com área conhecida...

10 Estatística Aplicada à Motricidade Teste de Hipóteses J. A. Barela & E. Kokubun Encontro #2

11 Estatística Inferencial nós precisamos de estatística INFERENCIAL (indutiva) Aula anterior … foi discutido estatística descritiva entretanto... permite tirar conclusões probabilisticas sobre uma população com base em resultados verificados em amostras retiradas desta população Estatística Inferencial:

12 Estatística Inferencial Estatística Inferencial tem dois objetivos: testar hipóteses estimar parâmetros População com Parâmetros Amostra com Estatística* Distribuição Estatística* Probabilidade Seleção Aleatória Inferência * estatísitica => formulações teóricas

13 Estatística Inferencial Para utilizar estatística inferencial: 1 - A amostra precisa ser selecionada aleatoriamente; 2 - Qualquer estimativa da amostra deve ser comparada com estimativas baseadas em pressupostos de uma distribuição (geralmente normal); 3 - Baseada nesta comparação e a probabilidade associada com resultados esperados quando a amostra é obtida aleatoriamente, inferências podem ser realizadas sobre parâmetros (população).

14 Teste de Hipóteses Realizar inferências sobre a natureza da população com base em observações de amostras retiradas desta população (estatística inferencial). Não rejeita a hipótese Qual é a magnitude da diferença entre o valor observado e o parâmetro hipotético? População : valor do parâmetro hipotético Amostra: valor observado (estatístico) Rejeita a hipótese Selecionada aleatoriamente =455 X=535 DIFERENÇA PEQUENA DIFERENÇA GRANDE

15 Teste de Hipótese Envolve quatro passos: 1 - Formular a hipótese; 2 - Decidir o critério para rejeitar esta hipótese; 3 - Computar o teste estatístico 4 - Decidir se rejeita ou aceita a hipótese

16 1 - Formulação de hipótese Hipótese: conjectura sobre um ou mais parâmetros da população a ser testada Hipótese nula H 0 Hipótese de nenhum relacionamento ou diferença Ex: H 0: = 455 ou H 0: = 0 Hipótese alternativa H a Hipótese que cobre o possível resultado não coberto pela hipótese nula Ex: H a: 455 ou H a: A hipótese alternativa geralmente considera a hipótese da pesquisa e pode ser aceita somente se a a hipótese nula for rejeitada Teste de Hipótese

17 2 - Critério para Rejeição da Hipótese O quão diferente as médias precisam ser para que a hipótese nula seja rejeitada? Resposta relacionada a três conceitos 1 - erros no teste de hipóteses 2 - nível de significância 3 - região de rejeição Teste de Hipótese

18 2 - Critério para Rejeição da Hipótese Erros no Teste de Hipóteses Quatro possíveis decisões testando hipóteses: 1 - Uma hipótese verdadeira é rejeitada 2 - Uma hipótese verdadeira não é rejeitada 3 - Uma hipótese falsa não é rejeitada 4 - Uma hipótese falsa é rejeitada Decisão correta Erro Tipo I Erro Tipo II Teste de Hipótese

19 2 - Critério para Rejeição da Hipótese ERRO TIPO I Probabilidade: Hipótese Nula é Verdadeira Hipótese Nula é Falsa Rejeita Hipótese Nula Não Rejeita Hipótese Nula Problema: Não é possível eliminar a possibilidade de realizar um erro no teste de hipótese MAS é possível controlar um erro ou outro!!! ERRO TIPO II Probabilidade: Decisão Correta Probabilidade: 1 - Decisão Correta Probabilidade: 1 - (poder estatístico) Erros no Teste de Hipóteses

20 Teste de Hipótese 2 - Critério para Rejeição da Hipótese Exemplo: Testando duas drogas: D1 - nova droga caríssima D2 - droga utilizada H 0 : D1 = D2 As condições específicas da situação experimental determinam que tipo de erro é mais sério Erro Tipo I: nova droga não é melhor mas H 0 é rejeitada => nova droga será usada Erro Tipo II: nova droga é melhor mas H 0 é aceita => nova droga não será usada Erros no Teste de Hipóteses

21 Teste de Hipótese 2 - Critério para Rejeição da Hipótese Nível de Significância = 0,05 e 0,01 são os mais utilizados em nossa área ou alpha ( ) é definido como a probabilidade de realizar um erro do Tipo I no teste de hipóteses (uma hipótese verdadeira é rejeitada) o pesquisador assume o risco que a decisão de rejeitar a hipótese pode estar incorreta 5% ou 1% das vezes, respectivamente.

22 Teste de Hipótese 2 - Critério para Rejeição da Hipótese Região de Rejeição Representa a proporção da área na distribuição amostral que é igual à probabilidade de rejeição da hipótese nula, se ela é verdadeira = 0,05 = 0,01 A região de rejeição é ___________ com =0,05 do que com =0,01, portanto, será Influência do alpha

23 Teste de Hipótese Região de Rejeição H 0 : = 455 H a : < 455 Unidirecional H 0 : = 455 H a : > 455 Bidirecional H 0 : = 455 H a : 455 =0,05 Valores críticos = 1.96 Valor crítico = Valor crítico = Influência da Hipótese

24 Teste de Hipótese Valores Críticos do Teste Estatístico (mais comuns) usando uma distribuição normal Nível de SignificânciaNível de Significância Valores Críticos Teste de 2-caudas Teste de 1-caudado Teste Estatístico

25 Teste de Hipótese 2 - Critério para Rejeição da Hipótese Região de Rejeição Exemplo: Amostra com distribuição normal = 455 x = 8,33 = 0,05 Representa a proporção da área na distribuição amostral que é igual à probabilidade de rejeição da hipótese nula se ela é verdadeira - x = ( ,33) = 446, x = ( * 8,33) = 438,33 + x = ( ,33) = 463, x = ( * 8,33) = 471,67 Problema: Qual é a área entre 2 x ? A resposta é 0,9544, acima de 95%.

26 Teste de Hipótese Critério para Rejeição da Hipótese Região de Rejeição - 1,96 x = (1,96 * 8,33) = 438,67 + 1,96 x = 455+ (1,96 * 8,33) = 471,33 Exemplo: Amostra com distribuição normal = 455 x = 8,33 = 0,05 Onde: 1,96 corresponde a 0,025 da área - Valor Tabela de Dist. Normal Região de rejeição: área da distribuição que representa os valores da amostra que são improváveis se a hipótese nula é verdadeira Região de aceite: área dos valores prováveis se a hipótese nula é verdadeira

27 Teste de Hipótese 2 - Critério para Rejeição da Hipótese Nível de Significância? = 0,05 = 0,01 Região de Rejeição Bidirecional Unidirecional Que tipo de erro? Erro Tipo I Erro tipo II Poder estatístico … mais tarde

28 Teste de Hipótese 3 - Computando o Teste Estatístico Erro Padrão da Média 1 - Calcular o escore padrão (z calculado) A média da amostra observada (X=535) está 9,6 erros padrão acima da média da população (455). Exemplo: = 455 n = 144 X = 535 = 100

29 Teste de Hipótese 4 - Decidindo sobre a H 0 Uma vez que o valor observado (+9,6) excede o valor crítico ( 1,96), a probabilidade é menor que 0,05 que a média da amostra teria ocorrido por change se a hipótese nula fosse verdadeira (p<0,05). A hipótese nula é rejeitada e. consequentemente, a hipótese alternativa é aceita Exemplo: = 455 n = 144 X = 535 = 100 A média da amostra observada (X=535) está 9,6 erros padrão acima da média da população (455).

30 Teste de Hipótese 4 - Computando o Teste Estatístico 1,21,2 Uma vez que o valor observado (+1,2) está abaixo do valor crítico ( 1,96), a probabilidade é maior que 0,05 que a média da amostra teria ocorrido por chance se a hipótese nula fosse verdadeira (p>0,05). A hipótese nula é aceita Outro Exemplo: = 455 n = 144 X = 465 = 100

31 Teste de Hipótese Distribuição t Student Para amostra pequena: distribuição difere da distribuição normal distribuição muda com o tamanho da amostra aproxima da normal conforme o tamanho da amostra aumenta Gosset (1906) e Gosset & Fischer (1926): fórmula para estas distribuições As distribuições t são famílias de distribuições simétricas e com formas de sino que mudam conforme o tamanho da amostra muda

32 Teste de Hipótese Distribuição t Student Graus de Liberdade: é o número de observações menos o número de restrições colocados sobre eles Ex: a média de 2 números = 50, então apenas um número precisa ser conhecido para que o outro possa ser determinado n-1= 2 -1 = 1 gl

33 Teste de Hipótese Distribuição t Student É realizado da mesma forma que usando uma distribuição normal. Apenas a área sob a curva é ajustada de acordo com os Graus de Liberdade (Tabela A2) Gl = 15 Gl acima de 120, distribuição normal e t são consideradas iguais

34 Poder estatístico Power Poder estatístico: probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa (1- ) Se uma hipótese nula é falsa PROBLEMA: e, consequentemente, 1- podem ser determinados apenas quando valores forem especificados para ambas hipóteses: nula e alternativa ERRO TIPO II (não rejeitar uma hipótese falsa) probabilidade Decisão Correta probabilidade 1 - (rejeitar uma hipótese falsa)

35 Poder estatístico Exemplo: = 455 n = 144 = 100 =0,05 unidirecional Necessidade de especificar valores para H 0 e H a : H 0 : = 455 H a : = 465 Poder estatístico do teste em determinar essa diferença de 10 pontos Valor padrão para o valor crítico da amostra: + 1,645 x = 455+ (1,645 * 8,33) = 468,70 = ,70

36 Poder estatístico (cont. exemplo anterior) = ,70 =465 z=0,44 Área cinza ( ) = 0,67 Área clara (1- )= 0,33 Poder estatístico: 0,33 (33%) probabilidade de detectar uma diferença de 10 pontos

37 Poder estatístico Power Fatores que afetam: Natureza da direção da H a : (uni- ou bi-direcional) Nível de significância ( ) Tamanho da amostra (n) Tamanho do efeito (effect size)

38 Poder estatístico Natureza da direção da H a (mesmo exemplo anterior mas bi-direcional) área (esquerda)=0,4992 área (direita)=0,2764 = 0, ,2764 = 0, = 1 - 0,7756 = 0,2244 (22%) Com todos os fatores constantes, testes unidirecionais têm poder estatístico maior que bi-direcionais

39 Poder estatístico Nível de significância ( ) (mesmo exemplo anterior unidirecional mas com =0,1) área (esquerda)=0,5 área (direita)=0,0319 = 0,5 + 0,0319 = 0, = 1 - 0,5319 = 0,4681 (46%) Com todos os fatores constantes, aumentando o valor de, aumenta o poder estatístico

40 Poder estatístico Tamanho da amostra (n) Erro Padrão da Média n=576 Exemplo anterior: = 455 n = 144 X = 465 = 100 Exemplo novo: = 455 n = 576 X = 465 = 100

41 Poder estatístico Tamanho da amostra (n) (exemplo anterior unidirecional, =0,05, mas n=576) área (esquerda)=0,2734 = 0,5 - 0,2734 = 0, = 1 - 0,2266 = 0,7734 (77%) Com todos os fatores constantes, aumentando o tamanho da amostra (n) o erro padrão diminui, aumenta o poder estatístico

42 Poder estatístico Tamanho do efeito área (esquerda)=0,2764 = 0,5 - 0,2764 = 0, = 1 - 0,2236 = 0,7764 (77%) Com todos os fatores constantes, aumentando o tamanho do efeito, aumenta o poder estatístico (exemplo anterior unidirecional, =0,05, n=100, mas X=475)


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