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Técnicas de Processamento Imagens Fourier 1D e 2D Material melhorado pelo prof. Ricardo J. Ferrari.

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1 Técnicas de Processamento Imagens Fourier 1D e 2D Material melhorado pelo prof. Ricardo J. Ferrari

2 Agenda n Motivação / Introdução n Revisão de conceitos matemáticos n Série de Fourier n Transformada de Fourier – 1D & 2D –Contínua & discreta n Principais propriedades

3 Motivação n Sinais são interpretados pelos nossos sentidos e enviados para o nosso sistema nervoso – percepção cor & sons n Sinais são representados por funções que se caracterizam pela sua freqüência (cor vermelha, verde, azul; sons graves/agudos) n Bom começo para analisar tais funções é o estudo de sua freqüência

4 O que é freqüência de uma função ? n Fácil de ser entendido no caso de funções periódicas n A = amplitude da função (valores max e min assumidos) n = indica o número de ciclos completos de período existentes no intervalo [0, 1]

5 O que é freqüência de uma função ? ab

6 Qual a região contém mais componentes de alta freqüência ?

7 Introdução n Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) n Teoria publicada em 1822 n Qualquer função periódica pode ser representada como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequencias, cada uma multiplicada por um coef. diferente (Série de Fourier) n Funções não periódicas (porém tendo um valor finito de área sob a curva) podem também ser representadas por integrais de senos e/ou cossenos multiplicadas por uma função peso (Transformada de Fourier) n Ambas representações podem ser reconstruídas completamente por um processo inverso sem perda de informação

8 Introdução: Representação de sinais complexos

9 Série de Fourier Resta achar uma forma de calcular os coeficientes

10 Série de Fourier – Valores médios de uma função S = A Y = (S 1 -S 2 )/A = (S 1 -S 2 )/A = 0

11 Série de Fourier – Calculando coeficientes = f(x) = a 0 + a 1 sen(x) +a 2 sen(2x) +a 3 sen(3x) b 1 cos(x) + b 2 cos(2x) +... Vamos calcular a3. Multiplicando os dois lados por sem(3x) f(x)sen(3x) = a 0 sen(3x) + a 1 sen(x) sen(3x) + a 2 sen(2x) sen(3x) + a 3 sen2(3x) b 1 cos(x) sen(3x)+... Tomando as médias de cada termo da equação:) a 0 = = média de f(x). a n = 2 = 2 vezes a média de f(x) sen(nx). b n = 2 = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).

12 Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada f(x) = a 0 + a 1 sen(x) +a 2 sen(2x) +a 3 sen(3x) b 1 cos(x) + b 2 cos(2x) +... a 0 = = média de f(x). a n = 2 = 2 vezes a média de f(x) sen(nx). b n = 2 = 2 vezes a média de f(x) cos(nx). f(x) = 1 (de 0 a ) f(x) = 0 (de a 2) a 0 = 1/2

13 Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada a 1 = 2 = 2/π a 2 = 0 a 0 = 1/2; a n = 0 - para todo n PAR; a n = 2/n π - para todo n ÍMPAR. a 3 = 2 = 2/3π

14 Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada f(x) = 1/2 + (2/ π ) sen(x) + (2/(3 π )) sen(3x) + (2/(5 π )) sen(5x) + (2/(7 π )) sen(7x) +... Onda quadrada: 5 termos Onda quadrada: 15 termos

15 Definições matemáticas importantes n Número complexo n Conjugado complexo n Módulo n Fase

16 Definições matemáticas importantes n Fórmula de Euler n Função impulso (delta de Dirac) Interpretação física: pulse de amplitude infinita e duração zero

17 n Função impulso (propriedades) Definições matemáticas importantes -a/2a/2 1/a

18 n Função impulso : Propriedade Sift Definições matemáticas importantes -a/2a/2 1/a A

19 Definições matemáticas importantes n Trem de impulsos

20 Série de Fourier

21 n f(x) é periódica de período T se –f(x) = f(x +nT), para qualquer n inteiro e positivo n Seja f(x) uma função periódica de período 2n. A série de Fourier para esta função é dada como: – n Observe que b0 não é indicado pois

22 Série de Fourier n Casos particulares –f(x) = função par, isto é, f(-x) = f(x), então os coeficientes bk são nulos –f(x) = função ímpar, isto é, f(-x) = -f(x), então os coeficientes ak são nulos

23 Série de Fourier n Na prática utiliza-se um número finito de componentes (sin/cos) para a representação das funções n Ex.: representação de uma onda quadrada n Com apenas 5 componentes já se consegue uma boa approximação

24 Série de Fourier

25 n 1a. componente: constante. Se não existisse (se fosse nula), o sinal estaria centrado no zero do eixo y. Em Eng. Elétrica esse termo corresponderia a componente de corrente contínua. n 2a. componente: (4sinx) tem o mesmo período ( ) do sinal. Portanto, é chamado de oscilação fundamental n As demais parcelas correspondem as oscilações harmônicas do sinal n Os coeficientes ak e bk são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico

26 Transformada de Fourier (sinal contínuo 1D)

27 Transformada de Fourier (sinal contínuo) –Onde s é a função no espectro e t no tempo n Inversa Observe que estamos trabalhando com números complexos!!!

28 Transformada de Fourier n Nota 1) A FT existe se f(t) for contínua e integrável e F(s) for integrável. Essas duas condições são quase sempre satisfeitas na prática n Nota 2) da linearidade da integral, segue que a FT também é um operador linear, ou seja, FT(f+g) = FT(f) + T(g) ; FT( f) = FT(f) n Nota 3) F(s) é uma isometria em, ou seja

29 Transformada de Fourier n Como conseqüência da Nota 3, - teorema de Plancherel A energia da função é preservada na transformação.

30 Transformada de Fourier

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32 Exemplos:

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34 Onda quadrada - Pulso

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37 Algumas propriedades da FT n Linearidade x(t) + y(t) X(f) + Y(f)

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40 Simetria H(t) h(-f) Seja h(t) e H(f) pares da transformada de Fourier então:

41 Deslocamentos no tempo e na freqüência n Deslocamentos no tempo (fase) h(t-t 0 ) H( f )e -j2 ft 0

42 Deslocamentos causam mudança apenas na fase e não na mag.

43 Deslocamento na freqüência h(t) e j2 f 0 H( f -f 0 )

44

45 Convolução n Uma das propriedades mais importante da FT h(t) H( f ) e g(t) G( f ) (h*g)(t) H( f )G( f ) h(t)g(t) (H * G)( f )

46 Convolução

47 Conservação da energia n Teorema de Parseval

48 Amplitude e Fase n O espaço FT pode ser visualizado diretamente através das suas componentes (real e imaginária) n Ou através da fase e amplitude do spectro

49 Calculando a fase e a amplitude n Amplitude é determinada pelo módulo: –seja z um número complexo definido como: z = x + yi – z = |z| = x 2 + y 2 –| H(f) | = Re[H(f)] 2 + Im[H(f)] 2 n Fase é dada por:

50 Transformada de Fourier (sinal contínuo 2D)

51 Transformada de Fourier 2D n O par de transformada de Fourier para função f(x,y) de duas variáveis:

52 Transformada de Fourier 2D

53 Transformada Discreta de Fourier 1D-DFT

54 Transformada Discreta de Fourier n A função contínua f(x) é discretizada numa seqüência:

55 n Onde t assume valores discretos (0,1,2,…,N-1), então n A seqüência {f(0}, f(1), f(2), …, f(N-1)} denota qualquer amostragem de N valores uniformemente espaçados de uma função contínua correspondente Transformada Discreta de Fourier

56 n O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas é dado por: Transformada Discreta de Fourier

57 n Para calcular F(u), substituímos u=0 no termo exponencial e somamos para todos os valores de t n Repetimos para todos os N valores de u n Teremos então NxN adições e multiplicações. Então a complexidade computacional é de ordem O(N 2 ) Transformada Discreta de Fourier

58 DFT - shifting n Quando realizado a DFT de uma onda quadrada obtemos: Observe houve um deslocamento

59 DFT – shifting, (fftshift-matlab) n A FT é centralizada na origem, mas n a DFT é centralizada em N/2 n É necessário realizar um deslocamento para corrigir o resultado.

60 DFT – shifting, (fftshift-matlab) n Lembrando que: e fazendo h(t) e j2 u 0 H(f -u 0 )

61 DFT – shifting, (fftshift-matlab)

62 Transformada Discreta de Fourier 2D-DFT

63 n No caso de duas variáveis, o par DFT é: Transformada Discreta de Fourier

64 n A amostragem de uma função contínua agora é feita em uma grade bidimensional, com divisões de largura x e y nos eixos x e y, respectivamente n Como no caso unidimensional, a função discreta f(x,y) representa amostras da função para x = 0,1,2,…,M-1 e y = 0,1,2, …, N-1 Transformada Discreta de Fourier

65 Trem de pulso usado para amostragem puntual

66 Aliasing fenômeno em imagem

67 Ajuste da escala dinâmica do espectro de Fourier

68 Algoritmo 2D de 1D FFT 1D para cada linha Matriz A Separar em linhas Compor linhas em matriz Separar em colunas Matriz FFT 1D para cada coluna FFT 2D de A

69 Amplitude e Fase original amplitude fase |F(u,v)| F(u,v)

70 DFT aplicada na detecção de defeitos SEM = Scanning Electron Microscope

71 Transformada de Fourier discreta - 2D

72 Propriedades DFT - Translação

73 |F(u,v)| F(u,v) Propriedades DFT - Translação

74 Rotação

75 Combinação Linear (soma) + + = =

76 Expansão

77 Relação de freqüência espaço/espectro

78 Alguns pares...

79 Combinando Amplitude e Fase As funções complexas podem ser decompostas em suas magnitudes e fases. f(t) pode ser escrita: f(t) = Mag{ f(t) } exp[ i Phase{ f(t) }] Do mesmo modo, F( ) = Mag{ F( ) } exp[ i Phase{ F( ) }] Com estas propriedades podemos combinar a amplitude e a fases em imagens.

80 Pictures reconstructed using the Fourier phase of another picture The phase of the Fourier transform is much more important than the magnitude in reconstructing an image. RickLinda Mag{Linda} Phase{Rick} Mag{Rick} Phase{Linda} Combinando Amplitude e Fase

81 Próxima aula: Filtragem no domínio da freqüência

82 Bibliografia n Digital Image Processing, 3 rd. Edition, Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods, 2008 n Digital Image Processing, Kenneth R. Castleman, 1996 n 21o. Colóquio Brasileiro de Matemática, Wavelets: Teoria, Software e Aplicações, Jonas Gomes, Luiz Velho, Siome Goldenstein, 1997


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