Já definimos o coeficiente angular de uma curva y = f(x) no ponto onde x = x 0. Derivadas Chamamos esse limite, quando ele existia, de derivada de f em.

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1 Já definimos o coeficiente angular de uma curva y = f(x) no ponto onde x = x 0. Derivadas Chamamos esse limite, quando ele existia, de derivada de f em x 0. Definição de Derivada – Função Derivada A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a função f´ cujo valor em x é: desde que o limite exista.

2 Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada 1) Escreva expressões para f(x) e f(x + h). 2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença 3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando o Limite:

3 Há vários modos de representar a Notação

4 Figura 2.7: Derivadas em extremidades são limites laterais. + - +- Derivada à esquerda de b Derivada à direita de a

5 Exemplo 1 – Aplicando a Definição Encontre a derivada de e 1) e 2) 3)

6 Reta tangente que passa por (2, )

7 Regra 1 – Derivada de uma Função Constante Se f tem o valor constante f(x) = c, então Exemplo 2 – Usando a Regra 1 Se f tem o valor constante f(x) = 8, então De maneira similar, e

8 Regra 2 – Regra de Derivação para Potências Inteiras Positivas Se n for um positivo inteiro, então Regra 3 – Regra da Multiplicação por Constante Se u é uma função derivável de x e c é uma constante, então

9 Exemplo 4 – Usando a Regra 3 (a) Interpretação: Multiplicando-se cada ordenada por 3 para obter outra escala no gráfico y = x 2, multiplica-se o coeficiente angular em cada ponto por 3. (b) Um caso especial útil: a derivada da oposta de uma função derivável é a oposta da derivada da função. A Regra 3 com c = - 1 fornece

10 Regra 4 – Regra da Derivada da Soma Se u e v são funções deriváveis de x, então a soma das duas u + v é derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Nesses pontos, Exemplo 5 – Derivada de uma Soma

11 Derivável em um Intervalo; Derivadas Laterais Uma função y = f(x) será derivável em um intervalo aberto (finito ou infinito) se tiver uma derivada em cada ponto do intervalo. Será derivável em um intervalo fechado [a, b] se for derivável no interior (a, b) e se os limites Derivada à direita em a Derivada à esquerda em b existirem nas extremidades.

12 Derivadas à direita e à esquerda podem ser definidas em qualquer ponto do domínio de uma função. A relação usual entre limites laterais e bilaterais vale para essas derivadas. Uma função terá uma derivada em um ponto se e somente se tiver derivadas à direita e à esquerda nesse ponto e se essas derivadas laterais forem iguais. Exemplo 8 – y = | x | Não é Derivável na Origem Mostre que a função y = | x | é derivável em e, mas não tem derivada em x = 0. Solução À direita da origem, À esquerda

13 É possível que não haja derivada na origem porque lá as derivadas Laterais são diferentes: Derivada de | x | à direita em zero: Derivada de | x | à esquerda em zero:

14 Teorema 1 – Diferenciabilidade (Derivabilidade) Implica Continuidade Se f tem uma derivada em x = c, então f é contínua em x = c. Teorema 2 – Propriedade do Valor Intermediário para Derivadas Se a e b são dois pontos quaisquer de um intervalo em que f é derivável, então f´ assume qualquer valor entre f´(a) e f´(b).

15 Como ler os símbolos de derivadas: y linha y duas linhas d dois y d x dois y três linhas n ou a derivada enésima de y d n y d x n

16 A derivada da função seno é a função cosseno Exemplo 1 – Derivadas Envolvendo Seno (a) (b)

17 A derivada da função cosseno é a oposta da função seno Exemplo 2 – Revendo as Regras da Derivada (a) (b)

18 Derivadas de Outras Funções Trigonométricas Básicas

19 Exemplo 5 – Derivadas da Função Tangente Encontre d(tg x)/d x Solução