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O caso crítico O caso super crítico O caso sub-critico.

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Apresentação em tema: "O caso crítico O caso super crítico O caso sub-critico."— Transcrição da apresentação:

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2 O caso crítico O caso super crítico O caso sub-critico

3 4. (Poli 2006) O Gráfico de x(t), mostrado na figura abaixo, representa a equação horária de um oscilador criticamente amortecido, para um sistema composto de um corpo de massa m = 1, 0 Kg preso a uma mola de constante elástica k e imerso em um líquido viscoso, de coeficiente de resistência viscosa. (a) Em que instante de tempo a velocidade do corpo será nula, no intervalo de tempo mostrado no gráfico? V = 0 A velocidade é zero quando a tangente da curva for zero. Isso corresponde em t = 3 s t = 3s

4 (b) A equação horária x(t) pode ser escrita como: x(t) = e /2t (a + bt) Podemos derivar x(t) duas vezes e montar a equação diferencial. E em seguida mostramos que a identidade vale: Determine os valores de a e b. (c) Determine a constante de decaimento e a constante elástica k da mola. (d) Determine o valor da velocidade inicial do oscilador. R: (a) t=3s; (b) a = 0, 5 m e b = 0, 5 m/s; (c) = 1 s 1 ; (d) v 0 = 0.75 m/s.

5 Oscilações livres com amortecimento viscoso proporcional a velocidade. Freqüência angular com dissipação viscosa. é o atrito viscoso.

6 Vamos testar uma solução com a função: As suas respectivas derivadas são: Que, substituídas na equação resulta: Item b: Solução da Equação do Movimento com Atrito Viscoso a solução para x será:

7 A solução fica na forma: Mas!então o termo da raiz é complexo! Escrevendo a raiz na forma: Uma solução parcial será: Observe que temos duas soluções possíveis! e fazendo:

8 A solução final tem a forma: O termo de atrito viscoso é: Usando-se a relação de Euler: A freqüência angular desta oscilação será: A oscilação esta em estado crítico quando: Também chamado caso degenerado:

9 A outra solução é procurar a forma : e repetindo o processo anterior de derivação sucessiva. Concluiremos que a segunda solução : E assim a solução geral do caso degenerado será: Uma equação dif. de seg. grau tem 2 soluções que no caso degenerado já sabemos uma. Como será a forma da segunda solução?

10 Item b: Para t = 0 temos x = 0.5 t = 0 x = 0 Para t = 1s temos x = 0

11 Item c: Se v(3) = 0 EXTRAIR O VALOR DE GAMA e o k da mola : A VELOCIDADE SERÁ:

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16 A equação de d´Alembert A solução da equação de d´Alembert tem a forma y(x,t) = f(x±vt) onde o sinal (–) significa que a propagação será progressiva ( ) e (+) regressiva ( ) e v é a velocidade de propagação da onda. A busca da sua solução implica em se impor condições de contorno. A solução y(x,t) = f(x±vt) pode ser simples ou muito complexa!

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18 20. (Poli 2006) Uma corda uniforme, de comprimento 20 m e massa 2 Kg, está esticada sob uma tensão de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude 3 cm e frequencia de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima. (a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda da onda transversal progressiva que é produzida na corda. (b) Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado a uma distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade. (c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada.

19 Se a massa é 2Kg e o comprimento 20m a densidade linear da corda é : A velocidade é dada por: O comprimento de onda é dado por: Onde :

20 Uma solução geral da equação de d´Alembert é: A amplitude A é 3cm 0,03m e a fase se obtém impondo y(0,0) = 0,015m( 3cm 2m

21 A potência média é :

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26 18. Determine a amplitude da onda resultante da combinação de duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido, possuem mesma frequência, têm amplitudes de 3, 0 cm e 4, 0 cm e diferença de fase de /2 rad R: y(x, t) = 0, 05 sen(kx t + 0, 64) A 1 = 3 sen(kx t + /2) A 2 = 4 sen(kx t)

27 A 1 = 3 sen(kx t + /2) A 2 = 4 sen(kx t)

28 25. Duas ondas transversais de mesma frequência = 100 s 1 são produzidas num fio de aço de 1 mm de diâmetro e densidade 8 g/cm3, submetido a uma tensão T = 500 N. As ondas são dadas por y1 = A cos (kx t + /6) y2 = 2Asen( t kx) onde A = 2 mm. (a) Escreva a expressão da onda harmônica progressiva resultante da superposição dessas duas ondas. (b) Calcule a intensidade da resultante. (c) Se fizermos variar a diferença de fase entre as duas ondas, qual é a razão entre os valores máximo e mínimo possíveis da intensidade da resultante? R: (a) y = 5, 29 × 103 cos(2, 23x 628t +1, 24). (b) 9, 8 W. (c) IMAX IMIN = 9.

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30 Duas oscilações(TONNNNN e TOoNNNNN) com pequena diferença nas suas freqüências quando somadas, produzem o fenômeno do: BATIMENTO!!! - TOINHoIINHIINHoIINHoIIII....! TOINHoIIIIINHOIIIIIIINHOIIII...! TONNN.iiii.... Toonnnnnn.iii.....

31 24. Uma corda, submetida a uma tensão de 200 N e presa em ambas as extremidades, oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento da corda é dado por: y = (0, 10) sen(x /2) sen(12 t) onde x = 0 numa das extremidades da corda, x é dado em metros e t em segundos. (a) Qual é o comprimento da corda? y = (0, 10) sen( x /2 ) sen(12 t) (b) Qual é a velocidade escalar das ondas na corda? y = (0, 10) sen(x/ 2) sen( 12 t ) (c) Qual é a massa da corda? y = (0, 10) sen(x /2) sen( 12 t ) (d) Se a corda oscilar num padrão de onda referente ao terceiro harmônico,qual será o período de oscilação? y = (0, 10) sen(x /2) sen( 12 t ) R: (a) L = 4 m, (b) v = 24 m/s, (c) μ = 0, 347 kg/m e (d) T = 0, 11 s

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33 y = (0, 10)sen( x/2)sen(12 t)

34 Ondas estacionárias numa corda segundo harmônico.

35 y = (0, 10) sen(x /2) sen(12 t) Qual o valor de L ?l

36 Qual o valor de v ?l y = (0, 10) sen(x /2) sen(12 t)

37 Qual o valor de m? y = (0, 10) sen(x /2) sen(12 t)

38 T 3 = ? y = (0, 10) sen(x /2) sen(12 t) Terceiro harmônico

39 Ondas estacionárias numa corda terceiro harmônico.

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42 A velocidade do som e a temperatura do gás(caso gás ideal).

43 Variação da velocidade do som com a temperatura A velocidade do som em um gás não é constante, e sim que depende da temperatura. Da equação de um gás ideal pV=nRT ou então, A fórmula da velocidade do som é expressa em função da temperatura t do gás em graus centígrados. Para obter esta expressão aproximada, tomamos os dois primeiros termos do desenvolvimento de (1+t/T 0 ) 1/2 do binômio de Newton Sabendo que T 0 = K, γ=1.4, R=8.314 J/(K·mol) e M=28.95·10 -3 kg/mol, temos que v s ·t onde m/s é a velocidade do som no ar a 0ºC. = C p /C v processo ádiabático

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45 Doppler Effect A Doppler effect is experienced whenever there is relative motion between a source of waves and an observer. When the source and the observer are moving toward each other, the observer hears a higher frequency When the source and the observer are moving away from each other, the observer hears a lower frequency Although the Doppler Effect is commonly experienced with sound waves, it is a phenomena common to all waves

46 Doppler Effect, Moving Observer I An observer moves toward a stationary source. Due to this movement, the observer detects an additional number of wave fronts per unit time The frequency heard is increased Use positive V 0 if the observer is moving toward the source. f = v /

47 Doppler Effect, Moving Observer II An observer moves away from a stationary source. The observer detects fewer wave fronts per second. The frequency appears lower. Use negative V 0 if the observer is moving away from the source.

48 Doppler Effect, Source in Motion As the source moves toward the observer (A), the wave- length appears shorter. Use –v s when the source moves toward the observer; and +v s when the source moves away from the observer Because the frequency is inversely proportional to the wavelength, f varies in the opposite way as As the source moves away from the observer (B), the wave-length appears longer. f = v /

49 Doppler Effect: both observer and source moving Both the source and the observer could be moving Use positive values of v o and v s if the motion is toward Frequency appears higher Use negative values of v o and v s if the motion is away Frequency appears lower


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