Introdução aos Conjuntos Difusos

Apresentação em tema: "Introdução aos Conjuntos Difusos"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução aos Conjuntos Difusos
INCERTEZA: aleatoriedade x imprecisão CONJUNTOS CLÁSSICOS: caracterização CONJUNTOS DIFUSOS: caracterização Profa. Silvia Modesto Nassar

2 Conjuntos Clássicos: caracterização
DEFINIÇÃO: elemento, propriedade e função característica. CONCEITOS: cardinalidade, complemento, união e intersecção. PROPRIEDADES DE OPERAÇÕES: involução, comutatividade, associatividade, distributividade, idempotência, absorção, identidade. LEIS: contradição, meio excluído, Morgan OUTRAS PROPRIEDADES: conjuntos disjuntos, partição. Profa. Silvia Modesto Nassar

3 Conjuntos Difusos: caracterização
CONJUNTO: Difuso/Nebuloso/Fuzzy FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA NOTAÇÃO DE UM CONJUNTO DIFUSO PROPRIEDADES: α-cut, suporte, núcleo, altura, convexidade OPERAÇÕES-PADRÃO: complemento, união (t-conorma), intersecção (t-norma) TIPOS DE CONJUNTOS DIFUSOS: ordinário e intervalo-valorado. Profa. Silvia Modesto Nassar

4 Profa. Silvia Modesto Nassar
TIPOS DE INCERTEZA Profa. Silvia Modesto Nassar

5 INCERTEZA: aleatoriedade x imprecisão(vagueza)
Incerteza: “o elemento x é membro do conjunto A” aleatoriedade : probabilidade de ocorrer o conjunto A a proposição ou é V (certamente x pertence ao conjunto A) ou é F (certamente x não pertence ao conjunto A) distinção precisa, não ambígua, entre ser membro ou não do conjunto A Profa. Silvia Modesto Nassar

6 Incerteza:aleatoriedade x imprecisão
Incerteza: “o elemento x é membro do conjunto A” imprecisão : grau de pertinência ao conjunto fuzzy A esta proposição NÃO necessariamente é V ou F pode ser Verdadeira somente com algum grau, o grau em que x é membro de A A é um conjunto fuzzy se seus limites não são precisos. Assim, a pertinência a um conjunto fuzzy não é uma afirmação ou negação, mas uma intensidade de pertinência. Profa. Silvia Modesto Nassar

7 Conjuntos: Clássicos x Difusos
limites precisos pertence ou não pertence a transição de pertencer a não pertencer é brusca Conjuntos difusos: limites imprecisos grau de pertinência expressam a transição gradual de pertencer a não pertencer representam conceitos vagos expressos em linguagem natural Profa. Silvia Modesto Nassar

8 Conjunto A: { homem careca }
Abordagem Clássica: PROBABILIDADE de ocorrência do conjunto A: [0;1] Abordagem fuzzy: GRAU DE PERTINÊNCIA ao conjunto A: [0;1] Profa. Silvia Modesto Nassar

9 Conjuntos Clássicos ou Crisp: definições
Definição de um conjunto crisp A: lista de seus membros: A={a1, a2, ...., an} propriedade P satisfeita pelos seus membros: A={x|P(x)} função característica  A , declara que elementos do conjunto universal X são membros de A:  A (x) = 1 para x  A 0 para x  A Profa. Silvia Modesto Nassar

10 Conjuntos Crisp:conceitos
Cardinalidade de A: |A| é igual ao número de elementos de um conjunto finito A Complemento relativo de A em relação ao conjunto B: B-A B-A={x| xB e xA} Complemento absoluto de A em relação ao conjunto universal X: A Profa. Silvia Modesto Nassar

11 Conjuntos Crisp:conceitos
União: A B AB={x| xA OU xB} Intersecção: A B AB={x| xA E xB} Profa. Silvia Modesto Nassar

12 Conjuntos Crisp: propriedades de operações
Involução: (Ac)c = A *Comutatividade: AB = BA ; AB = BA *Associatividade: (AB)C = A(BC) A(BC) = (AB)C Distributividade: A(BC) = (AB)(AC) A(BC) = (AB) (AC) Profa. Silvia Modesto Nassar

13 Conjuntos Crisp: propriedades de operações
*Idempotência: AA = A ; AA = A *Absorção: A(AB)=A ; A(AB)=A Identidade: A=A ; AX=A Profa. Silvia Modesto Nassar

14 Conjuntos Clássicos: lattice
Um sistema A = (, f1,f2,...,fn) onde o elemento  é um conjunto e os outros elementos são operações definidas neste conjunto então A é denominada uma estrutura algébrica. Uma estrutura algébrica é uma lattice se atende às seguintes propriedades: Idempotência Comutatividade Associatividade Absorção Profa. Silvia Modesto Nassar

15 Profa. Silvia Modesto Nassar
Conjuntos Crisp: leis Lei da Contradição: AAc =  Lei do Meio Excluído: AAc = X Leis de Morgan: (AB)c = Ac  Bc (AB)c = Ac  Bc Profa. Silvia Modesto Nassar

16 Conjuntos Crisp: propriedades
Conjuntos disjuntos: AB =  Partição: (A) = {Ai | iI , Ai  A} AiAj= e Ai =A A A1 A A A4 Profa. Silvia Modesto Nassar

17 Conjuntos Difusos (Fuzzy): função de pertinência
Seja A um conjunto fuzzy e X um conjunto universal crisp então a função de pertinência dos elementos de X ao conjunto A é denotada por:  A : X  [0;1] A : X  [0;1] números difusos variáveis difusas Profa. Silvia Modesto Nassar

18 Números Fuzzy: exemplos de função de pertinência
2 1 2 1 2 1 2 1 Profa. Silvia Modesto Nassar

19 Variável Fuzzy: exemplo de função de pertinência
1 Grau de Pertinência a a2 Altura(cm) Baixo Médio Alto 1 Profa. Silvia Modesto Nassar

20 Conjuntos Difusos: notação
Seja A um conjunto difuso e ai o grau de pertinência do elemento xi de X ao conjunto A Sejam xi’s os elementos suporte de A Notação: A = a1/x1 + a2/x an/xn A =  ai/xi ou A =  A(x)/x x Profa. Silvia Modesto Nassar

21 Conjuntos Difusos: conceitos básicos
 - cut suporte core ou núcleo altura: normal subnormal conjunto difuso convexo Profa. Silvia Modesto Nassar

22 Conjuntos Difusos: conceitos básicos
 - cut e strong  - cut : Dado um conjunto fuzzy A definido em X e um número   [0; 1] um conjunto  - cut é um conjunto crisp definido por  A = { x| A(x)  }  + A = { x| A(x)  } strong  - cut Profa. Silvia Modesto Nassar

23 Conjuntos Difusos: propriedades -cut e strong -cut
Dado um conjunto fuzzy A definido em X e o par 1 e 2  [0; 1] tal que 1  2 então: 1 A  2 A e 1+ A  2+ A (1 A  2 A) = 2 A e (1+ A  2+ A) = 2+ A (1 A  2 A) = 1 A e (1+ A  2+ A) = 1+ A Profa. Silvia Modesto Nassar

24 Conjuntos Difusos: conceitos básicos
São conjuntos crisp que contém todos os elementos de X para 0+A e 1A. Suporte de A Núcleo de A 1 núcleo suporte Notação:S(A) ou supp(A) Profa. Silvia Modesto Nassar

25 Conjuntos Difusos: conceitos básicos
Altura de A: normal: se h(A) = 1 subnormal: se h(A)  1 h(A) height Profa. Silvia Modesto Nassar

26 Conjuntos Difusos: operações padrão
Cardinalidade escalar: | A | “sigma count” |A| =  A(x) xX Profa. Silvia Modesto Nassar

27 Conjuntos Difusos: operações padrão
Complemento: A(x) A(x) = 1 - A(x) pontos de equilíbrio: são os elementos de X onde A (x) = A(x) Profa. Silvia Modesto Nassar

28 Conjuntos Difusos: operações-padrão
Sejam dois conjuntos difusos A e B: União : t-conormas ( AB ) x = max[ A(x), B(x)] Intersecção: t-normas ( AB ) x = min[ A(x), B(x)] Profa. Silvia Modesto Nassar

29 Convexidade: conjunto crisp
Seja A um conjunto em Rn . A é um conjunto convexo IFF para todos os pares de pontos r e s de A para todo numero real   [0;1] o ponto t definido por t =  r + (1-) s também está em A Profa. Silvia Modesto Nassar

30 Convexidade: conjunto difuso
conjunto difuso convexo: -cut 1 0.8 Profa. Silvia Modesto Nassar

31 Conjuntos Difusos: tipos
Ordinário: grau de pertinência a cada elemento de X pode ser associado um particular número real pode ser especificada uma função de pertinência A: X  [0;1] Intervalo-valorado: intervalo de grau de pertinência A: X  [0;1] Profa. Silvia Modesto Nassar

32 Conjuntos Difusos: intervalo-valorado
A = { aproximadamente 2 } 1 Profa. Silvia Modesto Nassar