Profª Maria Cristina Kessler

Apresentação em tema: "Profª Maria Cristina Kessler"— Transcrição da apresentação:

1 Profª Maria Cristina Kessler
Cálculo B A Integral Profª Maria Cristina Kessler

2 Origem problemas de quadratura: encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. cubatura: determinar o volume exato de um sólido tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas.

3 Um pouco de história Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) executou as primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas lunas, regiões que se parecem com a lua próxima do seu quarto crescente.

4 Antiphon (cerca de 430 A.C.) alegou que poderia "quadrar o círculo" com uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado; segundo um octógono, a seguir um hexadecaedro, etc., etc. Seu problema era o "etc., etc.". Como a quadratura do círculo de Antiphon requeria um número infinito de polígonos, nunca poderia ser terminada. Ele teria que ter usado o conceito moderno de limite para finalizar seu processo com rigor matemático. Mas Antiphon tinha o início de uma grande idéia agora chamado de método de exaustão.

5 Método de exaustão Mais de 2000 anos depois, é creditado a Eudoxo (cerca de 370 A.C.) o desenvolvimento do método de exaustão Método de exaustão: uma técnica de aproximação da área de uma região com um número crescente de polígonos, com aproximações melhorando a cada etapa e a área exata sendo obtida depois de um número infinito destas etapas.

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7 Arquimedes ( A.C.), o maior matemático da antiguidade, usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes aproximou a área com um número grande de triângulos construídos engenhosamente. Arquimedes nunca considerou que as somas tivessem uma infinidade de termos. Para poder definir a soma de uma série infinita é necessário desenvolver o conceito de número real que os gregos não possuíam. A noção de limite pressupõe a consideração do infinito que esteve sempre excluído da matemática grega.

8 A idéia básica do conceito de integral já estava embutida no método da exaustão atribuído a Eudoxo ( a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes ( a.C. Pode-se obter a área de uma figura plana irregular ou obter o volume de um sólido com o formato de um barril.

9 O que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a percepção que em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos.

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