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6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de.

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1 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma data futura, tem-se um processo de capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de amortização. Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem que haja amortização, que é o cado dos aluguéis.

2 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Existem dois tipos de rendas ou anuidades: 1)Rendas certas ou determinísticas: são aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados, não dependendo de condições externas. Os diversos parâmetros, como o valor dos termos, prazo de duração, taxa de juros, etc., são fixos e imutáveis. Tais tipos de renda são estudados pela Matemática Financeira. 2) Rendas aleatórias ou probabilísticas: os valores e/ou as datas de pagamentos ou de recebimentos podem ser variáveis aleatórias. É o que ocorre, por exemplo, com os seguros de vida: os valores de pagamentos(mensalidades) são certos, sendo aleatórios o valor do seguro a receber e a data de recebimento. Estas são estudadas pela Mat.Atuarial.

3 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES 6.1.Definições: seja a série seguinte de capitais, referidos às suas respectivas datas, que por sua vez são referidos a uma dada data focal: R 1 n 1 R 2 n 2 R m n m Estes capitais, que podem ser pagamentos ou recebimentos, referido a uma dada taxa de juros i, caracterizam uma anuidade ou renda certa. Os valores que constituem a renda são os termos da mesma. O intervalo de tempo entre dois termos chama-se período e a soma dos períodos define a duração da anuidade. O valor atual de uma anuidade é a soma dos valores atuais dos seus termos, soma esta feita para uma mesma data focal e à mesma taxa de juros. De modo análogo, o montante de uma anuidade é a soma dos montantes de seus termos, considerada uma dada taxa de juros e uma data focal. Onde: R é o termo (prestação)

4 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 1: João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações mensais de $ 2 626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao de compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se o preço do carro a vista. R1R1 R2R2 R3R3 R4R Meses A soma dos valores atuais é dada por : R 1 R 2 R 3 R 4 PV =+++ (1,02) 1 (1,02) 2 (1,02) 3 (1,02) 4 Porém, colocando R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R

5 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 1: João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações mensais de $ 2 626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao de compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se o preço do carro a vista. Tem-se: R R R R PV =+++ 1,02 (1,02) 2 (1,02) 3 (1,02) 4 PV = R 0, , , , PV = R (3,807728) Como R = 2 626,24 tem-se : PV = 2 626,24 * 3, => PV = ~ $ , PV = R+++ 1,02 (1,02) 2 (1,02) 3 (1,02) 4 Resposta: o preço do carro a vista é de $ ,00.

6 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES (1 + i ) n - 1 a n i = i ( 1+i ) n R = PV / a n i A partir desta fórmula ( a, n cantoneira i): Podemos, através da dedução, expressar o valor atual ou presente, como sendo: PV = R * a n i O valor da prestação ( ou termo constante da anuidade – R) é dado por: a ni = Fator de valor atual para n períodos e à taxa I por período

7 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES (1 + i ) n - 1 a n i = i ( 1+i ) n Exercício 1: João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações mensais de $ 2 626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao de compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se o preço do carro a vista. (1,02 ) a ni = 0,02 ( 1,02) 4 Onde: n= 4 m i= 2% a.m. a ni =~3, Portanto, como R = 2 626,24 tem-se : PV = 2 626,24 * 3, => PV = ~ $ ,00

8 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES R = P / a n i Exercício 2 : Um televisor LCD custa $ 5 000,00 a vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3% a.m.. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador. Onde: PV = n= 10 m i= 3% a.m. R = 5 000/ 8, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 10 3 = ( 1,03) 10 -1/ 0,03(1,03) 10 a 10 3 = ( 1,343916) -1/ 0, a 10 3 = 8, R = P / a n i R = $ 583,15 Resposta: o valor de cada prestação a ser paga pelo comprador é de $ 586,15.

9 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES PV = E + R * a 3 2,5 Exercício 3 : Um aparelho de som está sendo anunciado nas seguintes condições: $ 1 500,00 de entrada e 3 prestações iguais de $ 1 225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lojas de som é de 2,5% a.m., Calcular o preço a vista. Onde: E ( Entrada) = R = 1 225,48 n= 3 m i= 2,5% a.m. a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 10 3 = ( 1,025) 3 -1/ 0,025(1,025) 3 a 10 3 = ( 1,766891) -1/ 0, a 10 3 = 2, Resposta: O valor do preço a vista do aparelho de som é de $ 5 000,00. PV = ,48 * 2, PV = $ 5 000, 00

10 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 4 : Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de $ 1 000,00, nas hipóteses abaixo: Taxa de jurosPrazo a) 5% a.b. 12 bimestres b) 8% a.t.10 trimestres c) 10% a.s.20 semestres d) 30% a.a.30 anos a) Onde:R = 1 000,00 n= 12 bimestres i= 0,05 Resposta: O valor atual de uma anuidade periódica de $ 1000,00 com uma taxa de juros de 5% a.b. durante 12 bimestres é de $ 8 863,25. PV = 1 000,00 * 8, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 12 5 = ( 1, 05) 12 -1/ 0,05 (1,05) 12 a 12 5 = 8, PV = R * a n i PV = $ 8 863,25

11 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 4 : Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de $ 1 000,00, nas hipóteses abaixo: Taxa de jurosPrazo a) 5% a.b. 12 bimestres b) 8% a.t.10 trimestres c) 10% a.s.20 semestres d) 30% a.a.30 anos b) Onde:R = 1 000,00 n= 10 trimestres i= 0,08 Resposta: O valor atual de uma anuidade periódica de $ 1000,00 com uma taxa de juros de 8% a.t. durante 10 trimestres é de $ 6 710,08. PV = 1 000,00 * 6, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 10 8 = ( 1,08) 10 -1/ 0,08 (1,08) 10 a 10 8 = 6, PV = R * a n i PV = $ 6 710,08

12 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 4 : Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de $ 1 000,00, nas hipóteses abaixo: Taxa de jurosPrazo a) 5% a.b. 12 bimestres b) 8% a.t.10 trimestres c) 10% a.s.20 semestres d) 30% a.a.30 anos c) Onde:R = 1 000,00 n= 20 semestres i= 0,1 Resposta: O valor atual de uma anuidade periódica de $ 1000,00 com uma taxa de juros de 10% a.s. durante 20 semestres é de $ 8 513,56 PV = 1 000,00 * 8, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a = ( 1,10) 20 -1/ 0,1*(1,10) 20 a = 8, PV = R * a n i PV = $ 8 513,56

13 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 4 : Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de $ 1 000,00, nas hipóteses abaixo: Taxa de jurosPrazo a) 5% a.b. 12 bimestres b) 8% a.t.10 trimestres c) 10% a.s.20 semestres d) 30% a.a.30 anos d) Onde:R = 1 000,00 n= 30 anos i= 0,3 Resposta: O valor atual de uma anuidade periódica de $ 1000,00 com uma taxa de juros de 30% a.a. durante 30 anos é de $ 3 332,06. PV = 1 000,00 * 3, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a = ( 1,30) 30 -1/ 0,3*(1,30) 30 a = 3, PV = R * a n i PV = $ 3 332,06

14 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 5 : Qual o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de $ 300,00, se as taxas e prazos abaixo forem considerados: a) 3% a.m. – 24 meses b) 3% a.m – 36 meses c) 4% a.m – 24 meses d) 5% a.m. – 12 meses a) Onde:R = 300,00 n= 24 meses i= 0,03 Resposta: O preço a vista de uma mercadoria de uma prestação de $ 300,00 com uma taxa de 3% a.m., durante 24 meses é de $ 5 080,66. PV = 300,00 * 16, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 24 3 = ( 1,03) 24 -1/ 0,03*(1,03) 24 PV = R * a n i PV = $ 5 080,66 a 24 3 = 16,935542

15 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 5 : Qual o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de $ 300,00, se as taxas e prazos abaixo forem considerados: a) 3% a.m. – 24 meses b) 3% a.m – 36 meses c) 4% a.m – 24 meses d) 5% a.m. – 12 meses b) Onde:R = 300,00 n= 36 meses i= 0,03 Resposta: O preço a vista de uma mercadoria de uma prestação de $ 300,00 com uma taxa de 3% a.m., durante 36 meses é de $ 6 549,68. PV = 300,00 * 21, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 36 3 = ( 1,03) 36 -1/ 0,03*(1,03) 36 PV = R * a n i PV = $ 6 549,68 a 36 3 = 21,832252

16 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 5 : Qual o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de $ 300,00, se as taxas e prazos abaixo forem considerados: a) 3% a.m. – 24 meses b) 3% a.m – 36 meses c) 4% a.m – 24 meses d) 5% a.m. – 12 meses c) Onde:R = 300,00 n= 24 meses i= 0,04 Resposta: O preço a vista de uma mercadoria de uma prestação de $ 300,00 com uma taxa de 4% a.m., durante 24 meses é de $ 4 574,09. PV = 300,00 * 15, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 24 4 = ( 1,04) 24 -1/ 0,04*(1,04) 24 PV = R * a n i PV = $ 4 574,09 a 24 4 = 15,246963

17 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 5 : Qual o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de $ 300,00, se as taxas e prazos abaixo forem considerados: a) 3% a.m. – 24 meses b) 3% a.m – 36 meses c) 4% a.m – 24 meses d) 5% a.m. – 12 meses d) Onde:R = 300,00 n= 12 meses i= 0,05 Resposta: O preço a vista de uma mercadoria de uma prestação de $ 300,00 com uma taxa de 5% a.m., durante 12 meses é de $ 2 658,98. PV = 300,00 * 8, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 12 5 = ( 1,05) 12 -1/ 0,05*(1,05) 12 PV = R * a n i PV = $ 2 658,98 a 12 5 = 8,863252

18 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 6 : A esposa de Fábio, quer um novo tapete para sua casa. Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de $ 97,49 ou em 24 prestações mensais de $ 61,50. Nos dois casos, Fábio, não dará entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros dos crédito pessoal é de 2,5% a.am., pergunta-se: qual é o melhor sistema para o Fábio presentear sua esposa? a) Onde:R = 97,49 n= 12 meses i= 0,025 Resposta: O preço a vista do tapete, com prestações de $ 97,49 a uma taxa de 2,5% a.m, durante 12 meses é de $ 1 000,03. PV = 97,49 * 10, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 12 2,5 = (1,025) 12 -1/ 0,025*(1,025) 12 PV = R * a n i PV = $ 1 000,03 Sugestão: calcular o preço a vista nos dois casos e depois comparar os resultados. a 12 2,5 = 10,257765

19 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 6 : A esposa de Fábio, quer um novo tapete para sua casa. Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de $ 97,49 ou em 24 prestações mensais de $ 61,50. Nos dois casos, Fábio, não dará entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros dos crédito pessoal é de 2,5% a.am., pergunta-se: qual é o melhor sistema para o Fábio presentear sua esposa? b) Onde:R = 61,50 n= 24 meses i= 0,025 Resposta final: Portanto, a melhor opção é pagar $ 97,49 por 12 meses, a uma taxa de 2,5% a.m. PV = 61,50 * 17, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 24 2,5 = (1,025) 24 -1/ 0,025*(1,025) 24 PV = R * a n i PV = $ 1 099,93 Sugestão: calcular o preço a vista nos dois casos e depois comparar os resultados. a 24 2,5 = Resposta: O preço a vista do tapete, com prestações de $ 61,50 a uma taxa de 2,5% a.m, durante 24 meses é de $ 1 099,93.

20 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 7 : Carlos Jefferson quer comprar um carro. Este está a venda por $ ,00 de entrada mais 24 prestações mensais de $ 2 236,51. Como opção, a agência vende em 36 prestações mensais de $ 1 613, 16, sendo neste caso exigida uma entrada de $ ,00. Qual é a melhor alternativa, se a taxa de mercado for de 3% a.m.? a) Onde:E= R = 2 236,51 n= 24 meses i= 0,03 PV = ( 2 236,51*16,935542) a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 24 3 = (1,03) 12 -1/ 0,03*(1,03) 12 PV = E + R * a n i PV = $ ,51 Sugestão: calcular o preço a vista nos dois casos e depois comparar os resultados. Resposta: O preço a vista é de $ ,51, na opção com entrada de $ à uma taxa de 3% a.m.e prestações de $ 2 236,51. a 24 3 = 16,935542

21 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 7 : Carlos Jefferson quer comprar um carro. Este está a venda por $ ,00 de entrada mais 24 prestações mensais de $ 2 236,51. Como opção, a agência vende em 36 prestações mensais de $ 1 613, 16, sendo neste caso exigida uma entrada de $ ,00. Qual é a melhor alternativa, se a taxa de mercado for de 3% a.m.? b) Onde:E= R = 1 613,16 n= 36 meses i= 0,03 Resposta final: Portanto, a melhor opção é pagar 36 mensais de $ 1 613,16 mais uma entrada de $ ,00. PV = ( 1 613,16*21,832252) a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 36 3 = (1,03) 36 -1/ 0,03*(1,03) 36 PV = E + R * a n i PV = $ ,92 Sugestão: calcular o preço a vista nos dois casos e depois comparar os resultados. Resposta: O preço a vista é de $ ,92, na opção com entrada de $ à uma taxa de 3% a.m.e prestações de $ 1 613,16. a 36 3 = 21,832252

22 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 8: A Imobiliária Marrocos Ltda., vende um pequeno apartamento usado, em São Paulo, por $ ,00 a vista. Como alternativas a seus clientes, oferece dois planos de financiamento: PLANO A: entrada de $ ,00 mais 4 prestações trimestrais de $ ; PLANO B: entrada de $ ,00 mais 8 prestações trimestrais de $ O Sr. Carlos Eduardo, capitalista que aplica seu dinheiro a 10% a.t., deseja saber qual é a sua melhor opção de compra. a) Onde:E= R = n= 4 trimestrais i= 0,10 PV = (31 600* 3,169865) a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 4 10 = (1,1) 4 -1/ 0,1*(1,1) 4 PV = E + R * a n i PV = $ ,75 Sugestão: calcular o preço a vista nos dois casos e depois comparar os resultados. Resposta: O preço a vista é de $ ,75, na opção com entrada de $ à uma taxa de 10% a.t. durante 4 trimestres e prestações trimestrais de $ ,00. a 4 10 =3,169865

23 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 8: A Imobiliária Marrocos Ltda., vende um pequeno apartamento usado, em São Paulo, por $ ,00 a vista. Como alternativas a seus clientes, oferece dois planos de financiamento: PLANO A: entrada de $ ,00 mais 4 prestações trimestrais de $ ; PLANO B: entrada de $ ,00 mais 8 prestações trimestrais de $ O Sr. Carlos Eduardo, capitalista que aplica seu dinheiro a 10% a.t., deseja saber qual é a sua melhor opção de compra. b) Onde:E= R = n= 8 trimestrais i= 0,10 PV = (23 000*5, ) a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 8 10 = (1,1) 8 -1/ 0,1*(1,1) 8 PV = E + R * a n i PV = $ ,30 Sugestão: calcular o preço a vista nos dois casos e depois comparar os resultados. Resposta: O preço a vista é de $ ,30 na opção com entrada de $ à uma taxa de 10% a.t. durante 8 trimestres e prestações trimestrais de $ ,00. a 8 10 = 5, Resposta final: Portanto, a melhor opção é pagar 4 trimestrais de $ e com entrada de $ ,00.

24 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 9: Qual é a anuidade periódica equivalente a um valor anual de $ ,00, se forem observadas as taxas e prazos abaixo: Taxas de jurosprazo a) 2,5% a.m.24 meses b) 4 % a.m.12 meses c) 30% a.a.5 anos a) Onde:PV = n= 24 meses i= 0,025 R = / 17, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 24 2,5 = (1,025) 24 -1/ 0,025*(1,025) 24 R = PV / a n i R = $ 559,13 Resposta: o valor do termo ou anuidade periódica é de $ 559,13, a uma taxa de 2,5% a.m., por 24 meses. a 24 2,5 = 17,884986

25 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 9: Qual é a anuidade periódica equivalente a um valor anual de $ ,00, se forem observadas as taxas e prazos abaixo: Taxas de jurosprazo a) 2,5% a.m.24 meses b) 4 % a.m.12 meses c) 30% a.a.5 anos b) Onde:PV = n= 12 meses i= 0,04 R = / 9, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 12 4 = (1,04) 12 -1/ 0,04*(1,04) 12 R = PV / a n i R = $ 1 065,52 Resposta: o valor do termo ou anuidade periódica é de $ 1 065,52, a uma taxa de 4% a.m. por 12 meses. a 12 4 = 9,385074

26 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 9: Qual é a anuidade periódica equivalente a um valor anual de $ ,00, se forem observadas as taxas e prazos abaixo: Taxas de jurosprazo a) 2,5% a.m.24 meses b) 4 % a.m.12 meses c) 30% a.a.5 anos c) Onde:PV = n= 5 anos i= 0,3 R = / 2, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 5 30 = (1,3) 5 -1/ 0,3*(1,3) 5 R = PV / a n i R = $ 4 105,82 Resposta: o valor do termo ou anuidade periódica é de $ 4 105,82, a uma taxa de 30% a.a. por 5 anos. a 5 30 = 2,435570

27 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 10: As lojas Sorocabrás vende a geladeira de marca Sorocó por $ 2 000,00 a vista ou financiada em 18 meses, a juros de 3,5% a.m. Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencer após 1 mês? Onde:PV = n= 18 meses i= 0,035 R = 2 000/ 13, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 18 3,5 = (1,035) 18 -1/ 0,035*(1,035) 18 R = PV / a n i R = $ 151,63 Resposta: o valor da prestação será de $ 151,63 durante 18 meses a uma taxa de 3,5% a.m. a 18 3,5 = 13,189682

28 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 11: Graziele resolveu comprar um novo automóvel. Encontrou o que queria numa agência, com um preço a vista de $ ,00. Qual o valor da prestação mensal, se o carro for financiado em 24 meses a uma taxa de juros contratada de 3% a.m? Lembrete: Graziele não deu entrada. Onde:PV = n= 24 meses i= 0,03 R = / 16, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 24 3 = (1,03) 24 -1/ 0,03*(1,03) 24 R = PV / a n i R = $ 2 952,37 Resposta: o valor da prestação será de $ 2 952,37, do novo carro de Graziele, durante 24 meses a uma taxa de 3% a.m. a 24 3 = 16,935542

29 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 12: A loja de confecções Roupa Certa Ltda., vende um terno por $ 3 000,00. No crediário é exigida uma entrada de 40% do valor da mercadoria e são cobrados juros de 5% a.m. Qual será o valor das prestações, se um cliente optar por 6 prestações mensais? PV - E = R * a ni Onde:PV = n= 6 meses i= 0,05 E = 3 000*0,4= R = (3 000 – 1 200) / 5, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 6 5 = (1,05) 6 -1/ 0,05*(1,05) 6 R =(PV –E) / a n i R = $ 354,63 Resposta: deverão ser pagas 6 mensais iguais de $ 354,63 a uma taxa de 5% a.m. e com uma entrada de $ 1 200,00. a 6 5 = 5,075692

30 6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Exercício 13: O preço a vista de um barco é de $ ,00. João Arnaldo comprou o barco por uma entrada de 42% mais 12 prestações mensais iguais a uma taxa de juros de 3,5% a.m. Qual é o valor da prestação? PV - E = R * a ni Onde:PV = n= 12 meses i= 0,035 E = *0,42= R = ( – ) / 9, a n i = ( 1 + i) n -1/ i (1+i) n a 12 3,5 = (1,035) 12 -1/ 0,035*(1,035) 12 R =(PV –E) / a n i R = $ ,35 Resposta: o valor das percelas será de $ ,35, por 12 meses a uma taxa de 3,5% a.m. e com uma entrada de $ a 12 3,5 = 9,663334


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