Sistemas de Controle III N8SC3

Apresentação em tema: "Sistemas de Controle III N8SC3"— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas de Controle III N8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa 3.a Aula: Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos

2 Modelo Variáveis de Estado
Introdução; Variáveis de Estados de Sistemas Dinâmicos; Equação Diferencial de Estado; Função de Transferência a partir das Equações de Estados; Resposta no Domínio do Tempo e Matriz de Transição de Estados; Discretização da Resposta no domínio do Tempo; Exemplo de Projetos; Analise de Modelos de Variáveis de Estados usando MATLAB.

3 Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos
Tendência dos sistemas modernos aumento de sua complexidade. Principalmente devido a necessidade de uma boa precisão. As variáveis de estado descrevem a resposta futura de um sistema, dado o estado presente, as excitações de entrada e as equações que descrevem a dinâmica. Variáveis de Estado: É o menor conjunto de variáveis que determina o estado de um sistema dinâmico. Se pelo menos “n” variáveis X1(t ), X2 (t)... Xn(t) são necessárias para descrever completamente o comportamento de um sistema dinâmico, então estas “n” variáveis são um conjunto de variáveis de estado.

4 Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos
Modelo de Variáveis de Estado: É um conjunto de equações diferenciais de 1a ordem na forma matricial, representando as relações entre as entradas e saídas, e algumas características internas do sistema. É possível enviar para dentro do modelo mais informações a cerca da planta, pois o sistema pode ter mais de uma entrada; Vários modelos de variáveis de estado podem ser obtidos para um mesmo sistema, depende da escolha das variáveis de estado; As teorias de controle moderno são desenvolvidas para esta abordagem; A simulação de sistemas geralmente necessita de modelo de variáveis de estado.

5 Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos
As técnicas no domínio do tempo podem ser usadas para sistemas não-lineares, variantes no tempo e multivariáveis; Um sistemas variante no tempo é um sistema para o qual um ou mais parâmetros do sistema podem variar em função do tempo; O domínio do tempo é o domínio matemático que incorpora a resposta e a descrição de um sistema em termos do tempo, t.

6 Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos
A representação de sistemas de controle no domínio do tempo constitui uma das bases da teoria de controle moderno e da otimização de sistemas. Um sistema de equações diferenciais descreve o comportamento do sistema em termos da taxa de variação de cada uma das variáveis de estado.

7 Equação Diferencial de Estado
O Estado de um sistema é descrito por meio de um sistema de equações diferenciais de primeira ordem em termos das variáveis de estados.

8 Equação Diferencial de Estado
Equação de Estado e de Saída Linearizados:

9 Circuito RLC

10 Circuito RLC Variáveis de Estado

11 Circuito RLC Substituindo-se as variáveis de estado nas equações do circuito, tem-se:

12 Equação Diferencial de Estado

13 Equação Diferencial de Estado
Transformada de Laplace da equação de estado A Transformada de Laplace Inversa resulta na solução da equação de estado:

14 Forma Padrão de Representação do Modelo de Variáveis de estado de um Sistema

15 Modelo de Estado de um Sistema no MATLAB
Um sistema dinâmico que consiste num número finito de elementos concentrados pode ser escrito por equações diferenciais ordinárias em que o tempo é a variável independente. Fazendo uso de notação matricial-vetorial, uma equação diferencial de ordem n pode ser representada por uma equação matricial-vetorial de primeira ordem. Se n elementos do vector são um conjunto de variáveis de estado, então a equação diferencial matricial vetorial é denominada de equação de estado.

16 Modelo de Estado de um Sistema no MATLAB
Deste modo, um sistema representado na forma de equações de estado será dado por:

17 Modelo de Estado de um Sistema no MATLAB
Considerando o sistema representado no espaço de estado, a sua introdução no MATLAB efetua-se pelo método comum de introdução de matrizes na Janela de Comando:

18 Conversão da representação de sistemas para função de transferência no MATLAB
É possível converter a representação de sistemas em equações de estados ou a partir dos polos, zeros e ganho, através do uso das seguintes funções: ss2tf - Conversão de representação em espaço de estados para função de transferência. zp2tf - Representação em função de transferência a partir dos Pólos, Zeros e Ganho do sistema.

19 Considere o seguinte sistema dado na forma de equações de estado:
Prompt do MATLAB: A função de transferência será:

20 No caso do sistema estar descrito pelos seus Pólos, Zeros e Ganho, a conversão para a representação em função de transferência será dada por: Prompt do MATLAB: A função de transferência será:

21 Conversão da representação de sistemas para espaço de estados no MATLAB
Tal como no item anterior, é possível converter a representação de sistemas em função de transferência ou a partir dos polos, zeros e ganho para a representação em espaço de estados, através do uso das seguintes funções: tf2ss - Conversão da função de transferência para a representação em modelo de espaço de estados. . Zp2ss - Representação do modelo de espaço de estados a partir dos Polos, Zeros e Ganho do sistema. .

22 Considere a função de transferência do seguinte sistema :
A sua representacao em espaco de estado será:

23 Se fossem dados os Pólos, Zeros e Ganho do sistema, a conversão para a representação em espaço de estados seguiria a mesma metodologia apresentada para o caso da função de transferência, tendo em consideração que se pretende obter as matrizes A, B, C, D e não o numerador e denominador.

24 Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do Sistema no MATLAB
Dado qualquer sistema representado no espaço de estados ou descrito por uma função de transferência, é possível extrair os seus os Polos, Zeros e o Ganho através do uso das seguintes funções: tf2zp - Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do sistema a partir da função de transferência. ss2zp - Obtenção dos Pólos, Zeros e Ganho do sistema a partir da sua representação em espaço de estados.

25 Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do Sistema no MATLAB
Os Pólos, Zeros e o Ganho dos sistemas anteriores representados no espaço de estados e em forma de função de transferência são dados por :

26 Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do Sistema no MATLAB
NOTA : Em todos os tipos de conversões apenas é necessário ter em consideração que a função de transferência é dada por um numerador e denominador, enquanto a representação em espaço de estado pelas matrizes A, B, C, D. A representação do sistema pode ainda ser expressa pelos seus Pólos (p), Zeros (z) e Ganho (k).