Pesquisa Operacional:

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1 Pesquisa Operacional:
O modelo do transporte

2 Pesquisa Operacional: O modelo do transporte
A todo modelo físico, biológico, químico, econômico, etc. está associado um modelo matemático. Em pesquisa operacional estamos sempre interessados em tornar mais eficientes certas ações, como, por exemplo, maximizar lucros e minimizar custos. A um problema de pesquisa operacional está associado um modelo matemático que é basicamente a resolução de um sistema de equações ou inequações

3 Pesquisa Operacional: O modelo do transporte
Exemplo: Uma fábrica produz dois produtos, A e B. Cada um deles deve ser processado por duas máquinas, M e N. Devido à programação de outros produtos, que também utilizam essas máquinas, a máquina M tem 24 horas de tempo disponível para os produtos A e B, enquanto a máquina N tem 16 horas de tempo disponível.

4 Pesquisa Operacional: O modelo do transporte
Para produzir uma unidade do produto A, gastam-se 4 horas em cada uma das máquinas M e N. Para produzir uma unidade do produto B, gastam-se 6 horas na Máquina M e 2 horas na máquina N. Cada unidade vendida do produto A gera um lucro de $ 80 e cada unidade do produto B, um lucro de $ 60. Existe uma previsão máxima de demanda para o produto B de 3 unidades, não havendo restrições quanto à demanda do produto A. Deseja-se saber quantas unidades de A e de B devem ser produzidas, de forma a maximizar o lucro.

5 Pesquisa Operacional: O modelo do transporte
Formulação matemática do problema: Maximizar f (x,y) = 80x + 60 y (lucro) Sujeito à 4x + 6y ≤ 24 restrição relativa ao tempo da máquina M 4x + 2y ≤ 16 restrição relativa ao tempo da máquina N 0x + 1y ≤ 3 restrição relativa à demanda do produto B x ≥ condição de não negatividade de x y ≥ condição de não negatividade de y sendo x o número de unidades do produto A e y o número de unidades do produto B.

6 Pesquisa Operacional: O modelo do transporte
f (P) = 0 ; f (Q) = 320 ; f (R) = 360 ; f (S) = 300 R é então o ponto onde ocorre o máximo. Prova-se que se existe um máximo ou mínimo ele está sempre em um dos vértices, embora possa haver outros no interior que também sejam máximos ou mínimos.

7 Método algébrico: Temos de resolver um conjunto de Cn,p sistemas de equações lineares onde n é o número de equações e p é o número de variáveis. Cada solução de cada sistema tem de ser verificada nas outras inequações. O conjunto de todas as soluções formam os vértices da região e candidatos à máximo ou mínimo. O método algébrico resolve qualquer problema de programação linear porém torna-se exaustivo quando o número de inequações ou variáveis for muito grande. Este fato justifica o Método Simplex. O método geométrico obviamente está limitado a duas ou três variáveis.

8 Pesquisa Operacional: O modelo do transporte
O algoritmo Simplex supõe sempre a condição de não negatividade de suas variáveis e a partir dele, do Simplex, foi desenvolvido um programa de computador. No Excel nós temos o Solver. O método Simplex resolve um sistema de “equações” e as desigualdades são substituídas por igualdades com o acréscimo das variáveis de folga, de excesso e das variáveis artificiais. ≤ → acrescenta-se uma variável de folga ≥ → acrescenta-se uma variável de excesso e uma variável artificial = → acrescenta-se uma variável artificial

9 Pesquisa Operacional: O modelo do transporte
Reescrevendo o sistema: Maximizar 80x + 60 y + 0.S1 + 0.S2 + 0.S3 Sujeito a 4x + 6y + 1.S1 + 0.S2 + 0.S3 = 24 4x + 2y + 0.S1 + 1.S2 + 0.S3 = 16 0x + 1y + 0.S1 + 0.S2 + 1.S3 = 3

10 Variável que entra na base: x, pois é a que mais contribui com a função objetivo Variável que sai da base: S2, pois é a que mais se opõe ao crescimento da função objetivo

11 Variável que entra: y Variável que sai: S1

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13 O Problema do Transporte:
Pode ser resolvido através do Simplex. Aparece quando há a necessidade de distribuição de bens e serviços de várias fontes de suprimento (como fábricas) para várias localizações de demanda, com armazéns (destinos). O objetivo é minimizar o custo do transporte. Exemplo: Três fontes de suprimentos de um dado produto: F1: unidades mensais F2: unidades mensais F3: unidades mensais Quatro armazéns: D1: unidades mensais D2: unidades mensais D3: unidades mensais D4: unidades mensais

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16 Restrições relativas às fontes: X11+ X12 + X13 + X14 ≤ 10.000 fonte F1
Custo do transporte: 13X11+ 8X12 + 9X X X21 + 9X22+ 10X X24 + 8X31 + 8X32 + 9X33 + 6X34 Restrições relativas às fontes: X11+ X12 + X13 + X14 ≤ fonte F1 X21+ X22 + X23 + X24 ≤ fonte F2 X31+ X32 + X33 + X34 ≤ fonte F3 Restrições relativas às demandas: X11+ X12 + X13 = destino D1 X11+ X12 + X13 = destino D2 X11+ X12 + X13 = destino D3 X11+ X12 + X13 = destino D4 Xij ≥ condição de não negatividade São 12 variáveis e 7 restrições !!!! Levando o problema para o Solver (Excel) encontramos o mínimo em $ ,00.

17 Método de Aproximação de Vogel O tempo de computador é cerca de cem vezes menor que o do Simplex; Requer menos memória; Produz soluções inteiras.

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21 Custo = 8 x x x x x = $ ,00 Pode ser ou não que a solução inicial obtida pelo Método de Vogel seja a solução ótima. Para chegarmos à solução ótima utilizamos o Método da Distribuição Modificada (M.O.D.I.)

22 Método da Distribuição Modificada
Fundamentalmente o M.O.D.I. opera por meio de realocação de carga. Define-se um valor Li para cada linha i e um valor Kj para cada coluna j da matriz de transporte, de maneira que: Li + Kj = Cij , onde Cij é o custo do transporte associado à célula do cruzamento da linha i com a coluna j. Efetuamos esses cálculos somente usando-se as células ocupadas com carga. Células ocupadas: F1 D2 , F1 D4 , F2 D1 , F2 D3 , F3 D4 L1 + K4 = C14 = 12 L1 + K2 = C12 = 8 L2 + K1 = C21 = 12 L2 + K3 = C23 = 10 L3 + K4 = C34 = 6

23 Temos um sistema de 5 equações e 7 variáveis. Fazendo-se
L1 = 0 e L2 = 0, vem: K4 = 12 K2 = 8 L3 = -12 K1 = 12 K3 = 10 Índice de melhoria: Cij – Li + Ki F1 D2 = 12 – 0 – 12 = 0 F1 D4 = 8 – 0 – 8 = 0 F2 D1 = 12 – 0 – 12 = 0 F2 D3 = 10 – 0 – 10 = 0 F3 D4 = 6 – (-12) – 12 = 6

24 Observações: a) a presença de um índice de melhoria igual a zero indica que existe solução alternativa; b) a presença de um índice de melhoria negativo indica que será interessante uma realocação de carga para esta célula. Transferir-se-ia carga para esta célula através de uma anel de realocação efetuando-se uma compensação no anel de forma a restabelecer o balanço na linha e na coluna.

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