Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Introdução à Engenharia de Computação Álgebra de Boole.

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1 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Introdução à Engenharia de Computação Álgebra de Boole

2 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Álgebra de Boole A idéia básica da álgebra booleana é utilizar conceitos de álgebra para expressar questões de probabilidade ou de lógica –1 expressa o conceito lógico de verdadeiro ou o conceito probabilístico (Teoria dos Conjuntos) de todo o espaço amostral –0 é o equivalente lógico de falso ou de conjunto nulo Álgebra de Boole a b c f(a,b,c,...)

3 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Álgebra de Boole A soma “+” equivale: –“ou” lógico, or, v – “  ” união da teoria dos conjuntos A multiplicação “.” equivale –“e” lógico, and, ^ –“  ” interseção da teoria dos conjuntos O and lógico (multiplicação) tem prioridade em relação ao or (soma) –Tente diferenciar resolvendo a expressão: 1+1.0

4 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Exemplos de Conjuntos

5 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Exemplos de Conjuntos A = B =C = A = B =C =

6 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Exemplos de Conjuntos Conjuntos  : –  1 = A. B. C –  2 = A. C + A. B –  3 = A. A –  4 = A + B + A. B –  5 = = 0 = 1

7 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Postulados Postulado 1 – Operações –A álgebra de Boole tem um conjunto K de 2 ou mais variáveis e duas operações: · e + –Para todo a, b pertencentes a K:

8 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Postulados Adição Multiplicação

9 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Postulados Postulado 2 – Valores Neutros –Para os valores constantes 0 e 1 e uma variável “a” temos que:

10 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Postulados Postulado 3 – Comutatividade –Para qualquer valor “a” e “b” temos que:

11 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Postulados Postulado 4 – Associatividade –Para qualquer valor “a”, “b” e “c” temos que:

12 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Postulados Postulado 5 – Distributividade –Para qualquer valor “a”, “b” e “c” temos que:

13 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Postulados Postulado 6 – Existência de Complemento –Para todo a  K, existe um e apenas um ā  K, chamado o complemento de a,tal que:

14 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas OBSERVAÇÃO (Postulado x Teorema) –Um axioma ou POSTULADO é uma verdade auto-evidente, na qual outros conhecimentos se devem apoiar e a partir da qual outro conhecimento é construído –Por TEOREMA entende-se a fórmulas, proposição, ou frase matemática que, para se admitir ou tornar evidente, precisa de demonstração (geralmente usando POSTULADOS e/ou TEOREMAS já provados)

15 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas Teorema 1 –A soma ou o produto de um valor por ele mesmo é igual a ele mesmo. Prova: a = a + 0 [vn] a = a + a. ā [ec] a = (a + a). (a + ā) [dis] a = (a + a). 1 [ec] a = a + a [vn] Prova: a = a. 1 a = a. a + ā a = (a. a) + (a. ā) a = (a. a) + 0 a = a. a Note a propriedade da dualidade

16 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas Teorema 2 –A soma ou o produto de um valor pelo elemento não neutro da operação é igual a este elemento. Prova: a + 1 = a + (a + ā) [ec] a + 1 = (a + a) + ā [ass] a + 1 = a + ā [T1] a + 1 = 1 [ec] Prova: a. 0 = a. (a. ā) a. 0 = (a. a). ā a. 0 = a. ā a. 0 = 0

17 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas Teorema 3 –O complemento do complemento de um valor é igual ao próprio valor. Prova: Seja ā = u a = ū a = ā

18 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas Teorema 4 –A soma ou multiplicação de um valor pelo resultado da operação oposto deste mesmo valor com outro qualquer é igual ao valor inicial. Prova: a + a. b = a. 1 + a. b [T2] a + a. b = a [vn] Prova: a. (a + b ) =... = a.(b + b) + a. b [ec] = a. b + a. b + a. b [dis] = a. b + a. b [???] = a. 1 [???]

19 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas Teorema 4 –O significado deste teorema é melhor visto através de um diagrama de Johnston.

20 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas Teorema 5 –A soma ou multiplicação de um valor pelo resultado da operação oposto do complemento deste mesmo valor com outro qualquer é igual a mesma operação do primeiro e último valor. Prova: a + ā. b = (a + a. b) + ā. b [T4] a + ā. b = a + b [en] Prova: a. (ā + b ) =... = a + b. ( a + ā ) [dis] = a + b. 1 [vn]

21 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas Teorema 5 –A soma ou multiplicação de um valor pelo resultado da operação oposto do complemento deste mesmo valor com outro qualquer é igual a mesma operação do primeiro e último valor.

22 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas Teorema 6 Prova: = a. 1 [ec] a. b + a. b = a [vn] a. b + a. b = a. ( b + b ) [dis] (a + b). (a + b ) = a...

23 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas Teorema 6

24 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas Teorema 7 Prova:... a. b + a. b. c = a. b. 1 + a. b. c [vn] = a. b. 1 + a. b. c + a. b. c [dis] = a. b. (1 + c) + a. b. c [T2] = a. b + a. c. (b + b) [dis] a. b + a. b. c = a. b + a. c [ec]

25 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas Teorema 7

26 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas Teorema 8 – Leis de DeMorgan Prova: mostramos que ā.b é o complemento de a+b

27 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas Teorema 8 – Leis de DeMorgan Prova: mostramos que a.b é o complemento de a+b (a + b) + ā. b = (a + b + ā). (a + b. b) [dis] = 1. 1 [T2] = (1 + b). (1 + a) [ec] (a + b) + ā. b = 1 [op]

28 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas Teorema 9 – Teorema do Consenso a. b + ā. c + b. c = a. b + ā. c [dis + ec] [ass] [T1] [ass]

29 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Informática Teoremas Teorema 9 – Teorema do Consenso a b c