Problema de Transporte e Alocação

Apresentação em tema: "Problema de Transporte e Alocação"— Transcrição da apresentação:

1 Problema de Transporte e Alocação
Luiz Henrique de Campos Merschmann

2 Conteúdo da aula Problemas de transporte: Problema de Alocação
Definição. Modelagem matemática. Método de solução. Problema de Alocação

3 Introdução Os problemas de transporte e de alocação fazem parte da classe de problemas de fluxos em redes. Os modelos de P.L. para esses problemas possuem uma estrutura especial que permite o desenvolvimento de algoritmos eficientes e especializados em suas soluções.

4 Problemas de Fluxos em Redes
Problemas de fluxo em redes aparecem em uma série de serviços, como entrega postal, entrega de mercadorias, rotas de ônibus escolar, coleta de lixo industrial, serviço de entregas noturnas, operações de frete, e outros.

5 Problemas de Fluxos em Redes
Problema de Transporte Problema de Alocação

6 Problema de Transporte
Em geral, o problema de transporte pode ser visto da seguinte forma: Conjunto m de pontos de fornecimento. Cada fornecedor i possui uma capacidade de fornecimento si unidades de material. Conjunto de n pontos de demanda. Cada ponto de demanda j deve receber pelo menos dj unidades de material. O custo de transporte de cada unidade de material do fornecedor i para o consumidor j é dado por cij.

7 Representação Gráfica
Fornecedor 1 Fornecedor 2 Fornecedor 3 Consumidor 1 Consumidor 2 Consumidor 3 Consumidor 4 s1 s2 s3 d1 d2 d3 d4 cij

8 Exemplo Uma companhia tem três fábricas que produzem um certo produto que será remetido a quatro centros de distribuição. As fábricas 1,2 e 3 produzem 12, 17 e 11 remessas por mês, respectivamente. Cada centro de distribuição precisa receber 10 remessas por mês . A distância de cada fábrica até os respectivos centros de distribuição é dada abaixo em quilômetros:

9 Exemplo (cont.) Quanto deveria ser remetido de cada fábrica para cada um dos centros de distribuição para minimizar os custos totais de transporte? Formule este problema como um problema de transporte.

10 Problema de Transporte
Modelo matemático:

11 Problema de Transporte
Problema de transporte balanceado.  Oferta =  Demanda Problema de transporte não balanceado.  Oferta ‡  Demanda

12 Problema de Transporte Balanceado
Método de Solução

13 Método de Solução Como o problema de transporte é um problema de P.L., o Simplex pode ser utilizado. Devido às características específicas do Problema de Transporte, uma versão modificada do Simplex, denominado “Método Simplex de Transporte”, torna a resolução desse tipo de problema muito mais eficiente, quando comparado ao Simplex tradicional.

14 Representação Tabular do Problema de Transporte
Destinos Origens 1 2 3 4 c11 c31 c21 c22 c32 c12 c13 c23 c33 c34 c24 c14 x11 x21 x31 x12 x22 x32 x13 x23 x33 x14 x24 x34 Demanda d1 d2 d3 d4 s1 s2 s3 Oferta

15 Método Simplex de Transporte
Seja o seguinte problema de transporte: Destinos Origens 1 2 3 4 c11 c31 c21 c22 c32 c12 c13 c23 c33 c34 c24 c14 8 14 9 12 6 10 13 16 5 7 x11 x21 x31 x12 x22 x32 x13 x23 x33 x14 x24 x34 Demanda 45 20 30 40 50 35 Oferta

16 Algoritmo 1º Passo: Solução Inicial 2º Passo: Teste de Otimalidade.
Método do Canto Noroeste. Método de Aproximação de Vogel. 2º Passo: Teste de Otimalidade. 3º Passo: Atualização do Quadro.

17 Método do Canto Noroeste
Solução Inicial Destinos Destinos 1 2 3 4 Oferta Origens Origens c11 8 c12 6 c13 10 c14 9 1 1 35 35 c21 9 c22 12 c23 13 c24 7 2 2 50 10 20 20 c31 14 c32 9 c33 16 c34 5 3 3 40 10 30 Demanda 45 20 30 30

18 2º Passo: Teste de Otimalidade
A cada linha i é associada uma variável auxiliar Ui. A cada coluna j é associada uma variável auxiliar Vj. Para cada variável básica xij, que compõe a solução atual, deve-se ter: Ui + Vj = Cij

19 2º Passo: Teste de Otimalidade
Para cada variável não básica deve-se calcular: Pij = Cij - Ui - Vj Se todos os Pij forem não negativos a solução é ótima, ou A avaliação mais negativa indica a variável que deve entrar na base.

20 Método Simplex de Transporte
Teste de otimalidade Vj 3 4 - 7 Ui 8 6 10 9 8 8 - 5 - 2 9 12 13 7 9 5 14 9 16 5 12 2 - 6

21 3º Passo: Atualização do Quadro
A entrada de uma variável na base ocasiona uma reação em cadeia para compensar as restrições de linha (oferta) e coluna (demanda). O valor da variável que entra na base deve ser o maior possível, sem tornar nenhuma variável básica negativa. A variável básica que tiver seu valor anulado como conseqüência da variável que entra na base será a variável que sairá da base.

22 Método Simplex de Transporte
Traçar caminho e atualizar tabela Destinos Destinos 1 2 3 4 Oferta Origens Origens c11 8 c12 6 c13 10 c14 9 1 1 35 35 c21 9 c22 12 c23 13 c24 7 2 2 - 50 30 10 10 20 20 + c31 14 c32 9 c33 16 c34 5 3 3 40 10 + 10 - 30 Demanda 45 20 30 30

23 Método Simplex de Transporte
Teste de otimalidade Vj 3 4 - 1 Ui 8 6 10 9 8 2 - 5 - 2 9 12 13 7 9 - 1 14 9 16 5 6 8 6

24 Método Simplex de Transporte
Traçar caminho e atualizar tabela Destinos Destinos 1 2 3 4 Oferta Origens Origens c11 8 c12 6 c13 10 c14 9 1 1 - 10 35 25 35 + c21 9 c22 12 c23 13 c24 7 2 2 50 + 20 10 10 - 30 c31 14 c32 9 c33 16 c34 5 3 3 40 10 10 30 Demanda 45 20 30 30

25 Método Simplex de Transporte
Teste de otimalidade Vj -2 4 - 6 Ui 8 6 10 9 8 7 - 2 9 12 13 7 9 5 4 14 9 16 5 11 3 1

26 Método Simplex de Transporte
Traçar caminho e atualizar tabela Destinos Destinos 1 2 3 4 Oferta Origens Origens c11 8 c12 6 c13 10 c14 9 1 1 - 25 25 10 35 + c21 9 c22 12 c23 13 c24 7 2 2 50 + 45 5 - 20 30 c31 14 c32 9 c33 16 c34 5 3 3 40 10 10 30 Demanda 45 20 30 30

27 Método Simplex de Transporte
Teste de otimalidade Vj 4 - 4 Ui 8 6 10 9 6 7 2 9 12 13 7 9 3 2 14 9 16 5 9 5 3

28 Método Simplex de Transporte
Solução final Destinos Destinos 1 2 3 4 Oferta Origens Origens c11 8 c12 6 c13 10 c14 9 1 1 25 10 35 c21 9 c22 12 c23 13 c24 7 2 2 50 45 5 c31 14 c32 9 c33 16 c34 5 3 3 40 10 10 30 Demanda 45 20 30 30

29 Problema de Transporte Não Balanceado
Método de Solução

30 Problema de Transporte Não Balanceado
Se  Oferta >  Demanda Inserir uma coluna fictícia no quadro com custos de transporte iguais a zero. Aplicar o Método Simplex de Transporte como visto anteriormente. Se  Demanda >  Oferta Inserir uma linha fictícia no quadro com custos de transporte iguais a zero. Aplicar o Método Simplex de Transporte como visto anteriormente.

31 Problema de Transporte Não Balanceado
Quadro Inicial ( Oferta >  Demanda) c31 c32 c33 c13 c23 c22 c12 c11 c21 Destinos Origens 1 2 3 c34 c24 c14 4 A

32 Exercício Quatro postos de gasolina A, B, C e D necessitam de 50, 40, 60 e 40 galões de gasolina, respectivamente. É possível suprir essas demandas partindo dos fornecedores 1, 2 e 3 que dispõem de 80, 100 e 50 galões, respectivamente. Os custos de envio de um galão de gasolina são mostrados no quadro abaixo. Determinar a quantidade de gasolina a ser enviada de cada fornecedor para cada posto de gasolina. A B C D 1 70 60 2 50 80 3

33 Problema de Transporte Não Balanceado
Quadro Inicial ( Demanda >  Oferta) c31 c32 c33 c34 c24 c14 c13 c23 c22 c12 c11 c21 Destinos Origens 1 2 3 4 A

34 Exercício Uma firma tem fábricas nas cidades A, B, C e D, todas fabricando o mesmo tipo de painel de madeira para residências. Os produtos são atualmente distribuídos pelas fábricas para os revendedores 1, 2 e 3. As capacidades de produção das fábricas nas cidades A, B, C e D são de 5, 20, 12 e 13 caixas de painel, respectivamente. A demanda dos revendedores 1, 2 e 3 são de 8, 32 e 15 caixas, respectivamente. Os custos de transporte são mostrados na tabela abaixo. Quantas caixas devem ser transportadas de cada fábrica para cada revendedor de modo a minimizarmos o custo de transporte? 1 2 3 A 6 5 8 B 13 12 C 7 9 D 10 4

35 FIM