Equação geral da energia

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1 2.5.2. Equação geral da energia
Combinando as equações anteriores, Note-se que o termo trabalho de escoamento foi mudado para o segundo membro e é tratado como termo de fluxo de energia. Em escoamentos “reais”, formas úteis de energia são convertidas em formas de energia não utilizáveis  “perdas”. assim, para escoamentos isotérmicos e incompressíveis,

2 Levando na equação anterior:
As perdas devem-se a dois efeitos principais: A viscosidade causa atritos internos que resultam em aumento da energia interna ou de transferência de calor. Mudanças bruscas na geometria resultam em descolamentos, que demandam energia útil para manter os movimentos secundários resultantes. Perdas distribuídas: - são perdas que ocorrem ao longo de trechos retilíneos do conduto, devido aos efeitos viscosos. Perdas singulares: - são perdas que ocorrem nas vizinhanças de uma mudança de geometria (válvulas, cotovelos, alargamentos, etc.)

3 Em bombas, turbinas ou ventiladores (máquinas hidráulicas) as perdas são expressas em termos de sua eficiência. Exemplo: bomba com 80% de rendimento. Perdas = 20% da energia fornecida à bomba.

4 2.5.3. Escoamento permanente uniforme
V2 1 V1 Para volume de controle inercial, VI = V, escoamento permanente  d/dt = 0 e, escoamento uniforme nas seções de entrada e saída  (V2/2 + p/ + gz) = Cte. nestas seções, de modo que:

5 Onde, Dividindo por vem:
= 0 = 0 = 0 Onde, Dividindo por vem: hL  perda de carga, com: Muitas das vezes é escrita em função do termo cinético:

6 “carga”  energia por unidade de peso.
V2/2g  carga de velocidade p/  carga de pressão z  carga de posição p/ + z  carga piezométrica V2/2g + p/ + z  carga total. Na ausência do termo de trabalho de eixo e sem dissipação viscosa (perdas) a equação da energia pode ser escrita como:

7 Observe que, para escoamento incompressível, 1 = 2 e a equação da energia toma uma forma idêntica à equação de Bernoulli. Porem, deve-se lembrar que: A Eq. de Bernoulli decorre da Eq. do movimento de Newton, sendo aplicável em uma mesma linha de corrente. A Eq. da energia decorre da 1ª Lei da Termodinâmica, sendo aplicável entre duas seções de um escoamento com distribuição de velocidades uniformes. A equação da energia, tal como escrita anteriormente, pode ser aplicada para qualquer escoamento permanente, uniforme com uma entrada e uma saída. O volume de controle deve ser escolhido de forma que as seções de entrada e de saída tenham uma carga total uniforme.

8 Como exemplo, considere sua aplicação no escoamento da Figura 4
Como exemplo, considere sua aplicação no escoamento da Figura 4.9, o qual mostra uma comporta em um canal aberto. Figura 4.9 Aplicação da Eq. da energia a uma comporta em um canal aberto A carga total na entrada e na saída pode ser calculada em qualquer ponto da entrada e da saída, respectivamente. Porém, uma escolha conveniente seriam os pontos situados na superfície da água; levando a:

9 = 0 = 0 Considerando, como alternativa, os centróides das seções de entrada e saída, Neste caso, p’1 = h1/2 p’2 = h2/2 Levando estes valores na Eq. anterior, o resultado da primeira alternativa é recuperado.

10 Considere agora o “T” da Figura 4.10.
Figura 4.10 Aplicação da Eq. da energia a uma seção em T Neste caso há uma entrada e duas saídas. A Eq. da energia pode ser aplicada para cada uma das saídas.

11 Ou seja:

12 Sistema com bomba e turbina.
Fazendo, Onde: HB  adição de energia (bomba ou ventilador) HT  extração de energia (turbina) De modo que:

13 Potência hidráulica: Potência de eixo: bomba  turbina  bomba 
Ou, de um modo geral,

14 2.5.4. Escoamento permanente não uniforme
Se a hipótese de perfil uniforme de velocidade não é aceitável, há necessidade de se corrigir o termo cinético na Eq. da energia. Considere o perfil de velocidades da figura abaixo. dA V VdA  peso que passa por dA na unidade de tempo V2/2g  energia cinética por unidade de peso  energia cinética que passa na seção na unid. tempo

15 Em termos da velocidade média, vem:
 energia cinética média Introduzindo o fator de correção da energia cinética () E a Eq. da energia, em termos da velocidade média, fica: Perfis parabólicos em tubos circulares (escoamento laminar)  = 2. Escoamento turbulento em tubos   1,05 Em aproximação  = 1.

16 Exemplo 4.6 A bomba da Fig. E4.6 é usada para aumentar a pressão de 0,2 m3/s de água de 200 kPa para 600 kPa. Se a bomba tem uma eficiência de 85%, qual a potência elétrica de que a bomba necessita? A área de saída fica 20 cm acima da área de entrada. Suponha que a área de entrada e de saída sejam iguais. Figura E4.6

17 Solução: Dados Q p1 p2 h z2 - z1 r g 200,0 200 600 85,0% 20 1000 9,81
l/s kPa cm kg/m3 m/s2 0,200 2105 6105 m3/s Pa m Solução: Considerando a Eq. da energia, = 0 = 0

18 Cálculo da potência da bomba.

19 Exemplo 4.7 Água flui de um reservatório através uma tubulação com um diâmetro de 750 mm para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que está localizado a 30 m abaixo da superfície do reservatório. Se a vazão do escoamento é de 2,50 m3/s, e a eficiência da turbina geradora é de 88%, calcule a potência de saída. Suponha um coeficiente de perda na tubulação (incluindo a saída) de K = 2. Dados D Dz Q h K r g 750 30,0 2,50 88,0% 2 1000 9,81 mm m m3/s kg/m3 m/s2 0,750

20 Solução: Figura E4.7 Considerando a Eq. da continuidade,
Cálculo da perda de carga,

21 Cálculo da potência da turbina
Aplicando a Eq. da energia entre um ponto situado na superfície do reservatório e outro na superfície do rio, vem: = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 Cálculo da potência da turbina

22

23 Exemplo 4.8 O medidor Venturi mostrado reduz o diâmetro da tubulação de 10 para um mínimo de 5 cm (Fig. E4.8). Calcule a vazão e a vazão em massa, supondo condições ideais. Figura E4.8

24 Dados D1 D2 Dh r g dHg 10,0 5,0 1,200 1000 9,81 13,6 cm m kg/m3 m/s2 0,100 0,050

25 Solução: Do manômetro de tubo em “U” e aplicando o caminhamento de 1 para 2, vem:

26 Da continuidade, Uma vez que o escoamento se dá sob condições ideais, aplica-se a Eq. de Bernoulli, ou seja:

27 Finalmente,

28 Exemplo 4.9 A distribuição de velocidade para um certo escoamento em uma tubulação é V(r) = Vmáx(1 - r2/r02), na qual r0 é o raio do tubo (Fig. E4.9). Determine o fator de correção da energia cinética. Figura E4.9 Solução: Para determinar o fator de correção da energia cinética “” é necessário conhecer a velocidade média. Assim,

29 Conhecida a velocidade média, pode-se calcular o .

30 Conseqüentemente o fluxo de energia cinética associado à distribuição de velocidade parabólica através de um tubo circular é dado por:

31 2.6. A Equação da Quantidade de Movimento
Equação geral da quantidade de movimento A segunda lei de Newton, muitas vezes chamada “equação da quantidade de movimento”, afirma que a força resultante agindo em um sistema é igual a taxa de variação da quantidade de movimento do sistema, quando media em um referencial inercial.  Princípio de conservação da q.d.m. linear. Com:

32 Considerando o TTR, Com e Então:  Resultante das forças externas agindo sobre o VC (sistema). Normais  pressão Tangenciais  atrito viscoso Forças de superfície Engloba  Forças de massa (campo, corpo)

33 Quando se aplica a Eq. da q. d. m
Quando se aplica a Eq. da q.d.m., a quantidade  representa todas as forças agindo no volume de controle. Incluem as forças de superfície, resultante da ação do meio externo agindo sobre a superfície de controle e forças de massa que resultam dos campos gravitacional e magnético. A Eq. da q.d.m. é muitas vezes usada para determinar as forças induzidas pelo escoamento.

34 Figura 4.11 Forças agindo sobre o VC de um bocal horizontal
Alternativas para a escolha do VC na aplicação da Eq. da q.d.m. Figura 4.11 Forças agindo sobre o VC de um bocal horizontal Volume de controle inclui o bocal e o fluido no bocal; Volume de controle inclui apenas o fluido no bocal.

35 2.6.2. Escoamento uniforme e permanente
Escoamento permanente  Com estas simplificações, a Eq. da q.d.m. fica: N = número de áreas de entrada e/ou saída. Com apenas uma entrada e uma saída e considerando a Eq. da continuidade, vem:

36 Observe que esta é uma equação vetorial, portanto, é representada por três equações escalares.
Para determinar o componente em x, da força da junta no bocal da Fig. 4.11a, é necessário determinar os componentes das forças que atuam em x, como também os componentes das velocidades. Assim, V1x = V1 V2x = 0 F1x = p1A1 F2x = 0 (p2 = 0)

37 Figura 4.12 Forças do escoamento em uma comporta
Portanto, Um exemplo de escoamento em canal é mostrado na Fig. 4.12 Figura 4.12 Forças do escoamento em uma comporta

38 Neste caso, Na Eq. da q.d.m., vem:

39 Exemplo 4.11 Água escoa através de um cotovelo de uma tubulação horizontal e sai para a atmosfera (Fig. E4.11a). A vazão volumétrica é 8,5 l/s. Calcule a força em cada barra que segura o cotovelo em seu lugar. Despreze forças de massa, efeitos viscosos e forças de cisalhamento sobre as barras.  = 75 mm  = 40 mm Figura E4.11

40 Dados: Solução: Q D1 D2 r g 8,5 75 40 1000 9,810 l/s mm kg/m3 m/s2
0,0085 0,0750 0,0400 m3/s m Solução: É escolhido um VC.

41 Calcula-se as velocidades nas seções de entrada e saída
Sem efeitos viscosos, logo, da Eq. de Bernoulli, = 0 tubulação horizontal, logo:

42 Aplicando a Eq. da q.d.m. na direção “x”, resulta:
Em y, A força resultante será:

43 O ângulo da força com a horizontal será de:
Atuando de baixo para cima e da direita para a esquerda.

44 Exemplo 4.12 Quando a velocidade de um escoamento em um canal aberto, retangular, de largura “b” é relativamente grande, é possível que o escoamento “salte” de uma profundidade y1 para uma profundidade y2 em uma distância relativamente curta, como mostra a Fig. E4.12; chama-se a esse fenômeno de “ressalto hidráulico”. Expresse y2 em termos de y1 e V1; suponha um escoamento uniforme horizontal. Figura E4.12 Solução: Com a hipótese de atrito viscoso desprezível, tem-se:

45 Da continuidade, Levando na equação anterior, vem:

46

47 Exemplo 4.13 Considere o escoamento simétrico de ar ao redor do cilindro. O volume de controle, excluindo o cilindro, é mostrado na Fig. E4.13. A distribuição de velocidade à jusante do cilindro é aproximada por uma parábola, conforme mostrado. Determine a força de arrasto por metro de comprimento agindo sobre o cilindro. Use  = 1,23 kg/m3. Figura E4.13

48 Solução: Hipóteses simplificadoras: Escoamento permanente;
escoamento em um plano horizontal; pressão constante na superfície de controle. Da continuidade (escoamento permanente) A D C B 10 m

49 (pressão constante na superfície de controle)
Eq. da q.d.m. A D C B F Na direção x, tem-se: (pressão constante na superfície de controle)

50 Discussão dos sinais das integrais.
Nas seções AD e BC os fluxos de massa estão saindo, portanto: Na seção CD o fluxo de massa também está saindo, então é (+). Por outro lado: A D C B Na seção AB o fluxo de massa está entrando, portanto é (-). E:

51 Portanto:

52 Exemplo 4.14 Encontre uma expressão para a perda de carga em um alargamento brusco de seção, em um tubo, em termos de V1 e da relação de áreas (Fig. E4.14a). Suponha perfis de velocidade uniformes e que a pressão, na expansão súbita, seja p1. Figura E4.14a

53 Solução: Hipóteses simplificadoras: Escoamento permanente;
escoamento em um plano horizontal; valores uniformes nas seções; pressão p1 em toda a seção 1 (alargamento brusco). Figura E4.14b

54 Considerando a Eq. da q.d.m. na direção x,
p1A2 p2A2 V1 V2 VC Aplicando a Eq. da energia entre as seções 1 e 2,

55 Da continuidade, Finalmente:

56 2.6.3. A equação da q.d.m. aplicada a defletores
O estudo de defletores compreende uma introdução ao estudo das Máquinas de Fluxo. Está separada em duas partes: jatos de fluidos desviados por defletores estacionários; jatos de fluidos desviados por defletores em movimento. Hipóteses simplificadoras: a pressão externa aos jatos é constante (pressão no fluido); efeitos viscosos desprezíveis; o espalhamento lateral de um jato é desprezível; a força de massa (campo) é desprezível.

57 Figura 4.13 Defletor estacionário
Considere o defletor estacionário da Fig Figura 4.13 Defletor estacionário A aplicação da Eq. de Bernoulli com a hipótese adicional de mudança de elevação desprezível, leva a:

58 Como p1 = p2 = 0, as forças de pressão são nulas.
Uma vez que o escoamento é permanente e com distribuição uniforme de velocidades nas seções de entrada e saída, Como p1 = p2 = 0, as forças de pressão são nulas. Assim, das forças de superfície resta apenas a força que o defletor exerce sobre o fluido. Então:

59 Defletor Estacionário

60 Figura 4.14 Defletor em movimento
A situação envolvendo defletores em movimento deponde de haver um único defletor movendo-se ou de haver uma série deles em movimento (pás de uma turbina). O caso envolvendo um único defletor é mostrado na Fig Injetor Figura 4.14 Defletor em movimento

61 Defletor movendo-se com velocidade VB = Cte., na direção x.
O escoamento quando visto de um referencial fixo em relação ao injetor (inercial) é não permanente. Por outro lado, o movimento visto a partir de um referencia fixo em relação ao defletor (inercial) é permanente. Vr1 = V1 – VB (velocidade relativa). Essa velocidade permanece constante durante o escoamento. Vr1 = Vr2. A Eq. da q.d.m. é aplicada com valores relativos (escoamento permanente).

62 Em termos dos componentes,
Onde é que sofre a variação da q.d.m.

63 Defletores Múltiplos (grade)
As pás de uma máquina de fluxo axial (escoamento na direção do eixo) podem ser representadas através de um corte cilíndrico desenvolvido (aberto). Neste corte as pás são dispostas de forma eqüidistantes e contínua (corte cilíndrico desenvolvido). Esta disposição de pás é conhecida como “grade”. Uma grade, com um injetor é mostrada na Fig

64 Figura 4.15 Escoamento por uma grade

65 O jato deve sempre estar escoando sobre uma pá
O jato deve sempre estar escoando sobre uma pá. Quando estiver deixando de atuar sobre uma, deve estar começando a atuar sobre a vizinha. A força atuando em uma pá, em particular, é zero até o jato incidir sobre ela; então, ela aumenta até um valor máximo e, em seguida, diminui até zero, conforme a pá deixa o jato. O movimento é idealizado como segue: suponha que, em média, o jato é defletido pelas pás, como mostrado nas Figs e 4.16a, quando visto de um referencial estacionário; o jato entra na grade com um ângulo 1 e sai com uma ângulo 2. Para não haver perdas por choque a velocidade relativa à pá, na entrada da grade, tem que incidir com o ângulo construtivo da pá, ou seja, o escoamento tem que ser tangente a esta.

66 Figura 4.16 Detalhes da situação do escoamento envolvendo uma grade
a) posição média do jato (escoamento absoluto) b) triângulo de velocidades na entrada c) triângulo de velocidades na saída.

67 Assim:   ângulo que o escoamento relativo faz com a direção x.   ângulo construtivo da pá. Neste tipo de máquina (de ação) a velocidade relativa permanece constante enquanto o fluido se move pela pá. Do teorema de composição de velocidades,  velocidade absoluta (referencial estacionário)  velocidade relativa (referencial móvel – em rotação)  velocidade de translação do referencial relativo  velocidade tangencial (movimento circunferêncial)

68 Portanto:  Eq. vetorial, cuja solução gráfica dá origem ao triângulo de velocidades Entrada Vr1 1 V1 1 x sentido do movimento das pás (circunferêncial) VB V2 Vr2 2 2 x Saída VB

69 O interesse está em determinar o componente da força na direção do movimento (x). Supondo que a pressão na entrada e saída do rotor é a mesma e que toda a massa que sai do injetor sofre uma variação na quantidade de movimento, pode-se, a partir da Eq. da q.d.m., escrever: Volume de controle absoluto. A potência é obtida ao se multiplicar a força que impõe o movimento (Rx), pela velocidade do movimento (VB).

70 Havendo mais de um jato, multiplica-se pelo número de jatos (N)
Havendo mais de um jato, multiplica-se pelo número de jatos (N). Deste modo:

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72 Exemplo 4.15 Um defletor desvia uma folha de água de um ângulo de 30°, como mostra a Fig. E4.15. Qual força é necessária para segurar o defletor no lugar, se a vazão em massa é de 32 kg/s? Figura E4.15

73 Dados: Solução: r h b q 32 1000 2 400 30º kg/s kg/m3 mm 0,002 0,400 m
0,002 0,400 m Solução: Hipóteses simplificadoras: Escoamento permanente; escoamento em um plano horizontal; valores uniformes nas seções e pressão atmosférica atuando em todo o jato.

74 Cálculo de V1 (continuidade).
Considerando a Eq. da q.d.m. (escoamento permanente) = 0 = 0

75 Exemplo 4.16 O defletor mostrado na Fig. E4.16 move-se para a direita a 30 m/s enquanto o bocal permanece estacionário. Determine: a) os componentes da força necessária para sustentar o defletor; b) V2, como observado por um observador fixo e c) a potência gerada pela pá. A velocidade do jato é de 80 m/s. Figura E4.16

76 Dados: Solução: VB V1 h b q r 30 80 2 400 30º 1000 m/s mm kg/m3 0,002
0,002 0,400 m Solução: Hipóteses simplificadoras: Escoamento permanente; escoamento em um plano horizontal; valores uniformes nas seções e pressão atmosférica atuando em todo o jato.

77 Defletor móvel  referencial fixo no V.C.
Cálculo da velocidade do jato em relação ao V.C (em 1 = Vr1). Bernoulli Cálculo dos componentes da força necessária. Da Eq. da q.d.m. (escoamento permanente)

78 Cálculo da velocidade vista por um observador externo, na saída.

79 Cálculo da potência gerada.
P = força  velocidade na direção do movimento

80 Exemplo 4.17 Jatos de ar de alta velocidade incidem tangencialmente nas pás do rotor de uma turbina. O rotor da turbina tem 1,5 m de diâmetro e opera a 140 rps (Fig. E4.17a). Há 10 de tais jatos com diâmetro de 40 mm. Calcule a máxima potência de saída. A massa específica do ar é de 2.4 kg/m3. Figura E4.17

81 Dados: Solução: Dro W N Dja r V1 b1 a2 1,5 140 10 40 2,4 200 30° m
rad/s jatos mm kg/m3 m/s 0,040 Solução: Hipóteses simplificadoras: Escoamento permanente; escoamento em um plano horizontal; valores uniformes nas seções e pressão constante atuando em todo o jato (atmosférica).

82 Do triângulo de velocidades para a entrada do rotor,
Neste caso os defletores são as pás do rotor da turbina e estas não têm um movimento retilíneo, mas sim um movimento circunferêncial em torno do eixo do rotor (tangencial). Portanto: Do triângulo de velocidades para a entrada do rotor, 1 1

83 Da continuidade, Da Eq. de Bernoulli e tendo em vista que p1 = p2, vem: Com estes resultados, pode-se montar o triângulo de velocidades para a saída.

84 2 2

85 A Eq. da q.d.m. aplicada ao volume de controle absoluto, fornece:
Como há 10 jatos, cada um impondo a força acima, a potência será então:

86 2.6.4. Escoamento permanente não uniforme
Se a hipótese de escoamento uniforme não é aplicável, o fluxo da q.e.m. pode ser calculada a partir da velocidade média. E: de modo que:

87 Exemplo 4.18 Calcule o fator de correção da quantidade de movimento para um perfil parabólico a) entre placas paralelas e b) em uma tubulação circular. Os perfis parabólicos são mostrados na Fig. E4.18. Figura E4.18

88 Solução: a) Perfil parabólico entre placas paralelas - expresso por:
dA = w dy dy h w y

89 b) Perfil parabólico em um tubo circular - expresso por:
dA = 2 r dr dr r R

90 2.6.5. Referencias não inerciais
Do teorema de composição de acelerações,  aceleração aparente  aceleração inercial  aceleração relativa (vista do referencial não inercial) De modo que:

91 2a Lei de Newton - integrando, então:  princípio da conservação da q.d.m. visto do referencial relativo.

92  resultante das forças aparentes (hipotéticas).
OBS. Ao se aplicar o TTR, as derivadas temporais, velocidades e acelerações têm que ser tomadas em relação ao VC (ref Relativo).  derivada temporal vista do refer. Relativo.

93 Com a grandeza extensiva Nsis, sendo igual a q.d.m. relativa, vem:
 velocidade relativa

94 2.7. Equação do Momento da Quant. de Movimento
No item 2.2 a Eq. da quantidade de movimento angular foi discutida, chegando-se a:  Princípio de conservação da q.d.m. angular. Com:  quantidade de movimento angular Pretende-se escrever esta equação sob o ponto de vista de volume de controle. Assim, considerando o TTR e tomando a quantidade de movimento angular como grandeza extensiva associada ao sistema, vem:

95 Portanto, se: Levando no TTR, resulta:

96 Em se tratando de referenciais não inerciais a Eq. da q. d. m
Em se tratando de referenciais não inerciais a Eq. da q.d.m. angular passa a ser escrita como: Com:

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