Sistemas de Controle III N8SC3

Apresentação em tema: "Sistemas de Controle III N8SC3"— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas de Controle III N8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa 10.a Aula: Diagonalização da Matriz do Sistema

2 AUTOVALOR E AUTOVETOR É uma transformação especial T: V W. (1)
(1) Onde, é o autovalor (escalar) e v é autovetor (se ). Como toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor então: (2) Igualando-se (1) e (2), tem-se: (3) Onde A é uma matriz n x n e v um vetor.

3 As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A.
Os vetores para os quais existe um que resolve a equação (3) são chamados de autovetores da matriz A e os valores de , que conjuntamente com v resolvem a equação (3) são chamados de autovalores da matriz A associados aos respectivos autovetores. Para que a equação (3) tenha solução, além da trivial, é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero, ou seja, (4) O que resulta em um polinômio de grau n em , conhecido como polinômio característico. As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A.

4 Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação original e encontrar o autovetor. O autovalor será, então, associado ao autovetor encontrado. Na verdade, o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de solução da equação (3), dado o respectivo autovalor. Logo, qualquer múltiplo do autovetor também é um autovetor. Portanto: Sendo A a matriz canônica que representa um operador linear T, temos: Autovalores  de T ou de A: são as raízes da equação det (A – I) = 0, 2. Autovetores v de T ou de A: para cada , são as soluções da equação Av = v ou (A – I)v = 0.

5 Exemplo 1: Dada a matriz A. Determine os autovalores e autovetores de A. Resolvemos a equação característica det (A – I) = 0: Autovalores de A

6 Cálculo dos autovetores:
Para cada autovalor  encontrado, resolvemos o sistema linear (A – I) v = 0:

7

8 Diagonalização da Matriz do Sistema
No estudo dos sistemas, recorre-se às transformações de variáveis de estado, por vários motivos, como a simplificação dos cálculos ou da manipulação das matrizes, bem como a facilidade de pôr em evidência propriedades do sistema, efetuar a realimentação de estado, etc. Há dois tipos importantes de transformações de variáveis de estado, a saber: a transformação que diagonaliza a matriz A do sistema (ou seja, que transforma A em uma matriz D, em que todos os elementos fora da diagonal principal são nulos). (b) a transformação que resulta em uma matriz de uma das denominadas formas canônicas.

9 Matriz A Diagonalizada
Sabe-se que a matriz A é diagonalizável, então as colunas da matriz P, que faz a diagonalização, são autovetores associados a autovalores, que por sua vez são elementos da matriz diagonal D. Como a matriz P é invertível, estes 2 autovetores são L.I. (um vetor não é múltiplo escalar do outro).

10

11 Exemplo 2: Determinar a matriz diagonalizada que se obtém a partir das matrizes A1 e A2. Solução: Verifique que os polinômios característicos das duas matrizes são iguais a: Os autovalores das duas matrizes são iguais: A matriz diagonal é igual para as duas matrizes:

12 Diagonalização com o MATLAB
Nesta seção, utilizaremos alguns comandos do MATLAB para fazermos a diagonalização de matrizes. Exemplo 3: Ache os autovalores , os autovetores e a matriz Diagonal da matriz A.

13 >> %Declaração da matriz A
>> %Determinação dos autovalores >> autovalores=eig(A) autovalores = 1.0000 2.0000

14 >> %Determinação dos autovetores e matriz Diagonal
>> [V D]=eig(A) V = D =

15 Exemplo 3: Dada a matriz A. Determine os autovalores, autovetores e a matriz Diagonal de A. Comando [V,D] = eig (A) Retorna uma matriz D diagonal com os autovalores de A na diagonal principal, e a matriz V de autovetores normalizados, correspondentes aos autovalores de A.

16 Comando [V,D] = eig (A) A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 0] [V,D] = eig(A) V = D =

17 Exemplo 3: Dada a matriz B. Determine os autovalores, autovetores e a matriz Diagonal de A. >> %Declaração da matriz B >> B=[4 5;2 1] B = >> %Determinação dos autovalores >> autovalores=eig(B) autovalores = 6 -1

18 >> %Determinação dos autovetores e matriz Diagonal
>> [V D]=eig(B) V = D =

19 Exercício (Lista) Determine os autovalores e dois autovetores (linearmente independentes) da matriz A. Escreva também a sua matriz diagonal.

20 Exercício (Lista) O modelo de estados de um sistema é descrito pelas matrizes: Diagonalize a matriz A. Calcule os autovalores e autovetores da matriz A.