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Solução Numérica de Equações

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Apresentação em tema: "Solução Numérica de Equações"— Transcrição da apresentação:

1 Solução Numérica de Equações
Método das Aproximações Sucessivas

2 Aproximações Sucessivas - Introdução
Equações Aproximações Sucessivas - Introdução O método das aproximações sucessivas é um método iterativo que se baseia na aplicação de uma fórmula de recorrência que, sendo satisfeitas determinadas condições de convergência, gera a partir de um valor inicial uma sucessão de valores numéricos cujo limite é a raiz procurada.

3 Aproximações Sucessivas
Equações Aproximações Sucessivas Procedimento Escolhe-se um valor inicial aproximado para a raiz. Este valor pode ser obtido a partir do gráfico aproximado da função f(x), pelo conhecimento de um intervalo em que a raiz está contida, ou ainda pela interpretação física do fenômeno que a equação representa. A partir do valor inicial, obtém-se uma nova aproximação da raiz utilizando uma fórmula de recorrência. Continuar a obter sucessivas aproximações da raiz, até conseguir a precisão desejada (ε).

4 Aproximações Sucessivas - Definição
Equações Aproximações Sucessivas - Definição Neste método a equação original f(x) é transformada em outra (x), denominada de função de iteração, com x  [a,b], escolhida de tal forma que: A expressão significa reescrever a equação de tal forma que do lado esquerdo da igualdade apareça somente x. Exemplo: Que pode ser reescrita na forma: Nota-se, do exemplo acima que, quando x = x’  (x’)=0 (x’ é a raiz) Portanto, o método consiste em buscar, por iterações, o valor que x que satisfaça a igualdade acima, dentro do limite de precisão  ≤ 0.

5 Aproximações Sucessivas
Equações Aproximações Sucessivas A escolha da melhor função (x) pode ser feita a partir da inspeção do gráfico de f(x). Essa inspeção permite também definir o valor inicial para x’. Procedimento: 1. Dados  e [a,b] que contém x’ 2. Definir (x) 3. Testar ’(x) < 0 4. Determinar x0  [a,b] 5. Testar: (x) = 0 6. Testar 7. Fazer xi+1 = (xi) A convergência do procedimento iterativo é garantida pela escolha de (x) que satisfaça a condição: A iteração é efetuada de forma que:

6 Equações Exemplo 1. Usando o Método das Aproximações Sucessivas, resolver a equação para  = 0,01 e x  [0,1]. Fazendo (pois ) . x’

7 Equações Aplicação Uma das grandes vantagens dos métodos iterativos é obter as raízes de funções originadas de ajustes de dados experimentais ou observacionais. Por exemplo, uma pesquisa de campo produz um conjunto de dados que descrevem um certo fenômeno. Tais dados, quando relacionados, mostram uma certa correlação entre sí ela não é exata, mostrando um variação própria de dados experimentais. A representação de dados por meio de funções é possivel (como será visto) mas, muitas vezes tal funções são compostas, difíceis de se obter a raíz, que representam determinada propriedade importante do fenômeno estudado.

8 Equações Aplicação Uma empresa fez uma análise para determinar qual o volume de vendas de determinado produto seria necessário para manter o lucro em um regime de custo crescente. O gráfico abaixo mostra a receita versus receita (em unidade relativas). Na análise foram utilizados dados (cruzes) desde o início da produção e foi utilizado um algorítmo de ajuste de curva para representar esse conjunto de dados.

9 Equações Aplicação O objetivo do ajuste era determinar a raíz da função, correspondente ao ponto de equilíbrio. Porém a função que melhor correspondeu aos dados (com um nível de confiança de 95%): Não permite a determinação desse ponto de forma analítica. Sendo necessário a sua determinação pelo método iterativo das aproximações sucessivas.

10 Aplicação – Determinação do Ponto de Equilíbrio
Equações Aplicação – Determinação do Ponto de Equilíbrio Obter o ponto de equilíbrio com uma precisão ε ≤ 0,00001 Reescrevendo a função ajustada: condição satisfeita! i xi xi+1 ε 2,00000 1,86735 0,07103 1 1,84748 0,01075 2 1,84439 0,00168 3 1,84390 0,00026 4 1,84383 0,00004 5 1,84381 0,00001

11 Equações Exercícios 1. Usando o Método das Aproximações Sucessivas, resolver a equação para  = 0,01 e x  [0,1]. Fazendo


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