Função quadrática: a função geral de 2º grau

Função quadrática ou função de 2º grau é toda função do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c Sendo a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0. O Domínio de toda função quadrática é IR.

Exemplos y = f(x) = x2 + 3x – 1 é uma função quadrática com a = 1 e b = 3 e c = –1. y = f(x) = –x2 + 5 é uma função quadrática com a = –1 e b = 0 e c = 5. y = f(x) = –2x2 + 4x é uma função quadrática com a = –2 e b = 4 e c = 0. y = f(x) = x2 é uma função quadrática com a = 1 e b = 0 e c = 0.

Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40 m de comprimento e 20 m de largura. O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa de largura constante.

Obter a expressão que permite calcular a Área da quadra esportiva? A = (40 + 2x).(20+2x) ⇒ A = 800 + 80x + 40x + 4x2 ⇒ A = f(x) = 4x2 + 120x + 800

Veja seus gráficos y = x2. Im = [0, +∞[ Mínimo = 0 x y = x2 –2 4 –1 1 5 y = x2 x y = x2 4 –2 4 3 –1 1 2 1 x 1 1 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 2 4 –2 Im = [0, +∞[ Mínimo = 0

Veja seus gráficos y = – x2. Im = ]– ∞, 0] Máximo = 0 x y = – x2 –2 –2 – 4 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 – 1 –1 –2 –3 1 – 1 –4 y = – x2 2 – 4 Im = ]– ∞, 0] Máximo = 0

A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções quadráticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c. Os gráficos de funções quadráticas são curvas chamadas parábolas. O ponto mais alto ou mais baixo da parábola é chamado de vértice. A reta vertical que passa pelo vértice é chamada de eixo da parábola. Se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para cima. Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para baixo.

eixo de simetria da parábola V A A1 r1 B B1 r2 C C1 r3 D D1 r4

Raízes da função quadrática

Já sabemos que as raízes de uma função real y = f(x) são os valores de x tais que y = 0. São as abscissas dos pontos em que o gráfico de f corta o eixo das abscissas. Na função quadrática y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), achar as raízes significa resolver a equação de 2º grau f(x) = 0.

Número de raízes da equação de 2º grau Para resolver uma equação de 2º grau usamos a fórmula de Bhaskara sendo  = b2 – 4ac O número real  é o discriminante da equação. O valor dele indica se a função tem ou não raízes reais.  > 0 ⇔ tem duas raízes reais distintas.  = 0 ⇔ tem duas raízes reais iguais (ou 1 raiz real dupla).  < 0 ⇔ não tem raízes reais.

Exemplo Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo.

Veja o gráfico da função h(t) = –5t2 – 30t + 80 t (s) h (m) 3 125 8 80