MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 2º Ano Determinantes de Ordem n e suas propriedades

Matrizes - Determinantes MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Mapa Conceitual construído com o Software Cmap Tools, evidenciando Determinantes.

Determinantes 1. Introdução: MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Determinantes 1. Introdução: A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam um sistema prático para a resolução de sistemas, os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas. 2. Definição: A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado determinante da matriz, que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz.

3. Cálculo dos Determinantes: MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes 3. Cálculo dos Determinantes: 3.1. Determinantes da matriz de 1ª ordem O determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao próprio elemento da matriz . Ex.: 3.2. Determinantes da matriz de 2ª ordem O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária . Ex.:

MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes A = a11 a12 a21 a22 O determinante associado à matriz A é o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. a11 a12 a21 a22 = a11 · a22 – a12 · a21 - (a12 ·a21) a11 · a22

7 2 = 7.5 - 2.3 = 29 3 5 - + MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Ex: 1) 7 2 = 7.5 - 2.3 = 29 3 5 - +

= - 4 3.3. Determinantes da matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus) MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes 3.3. Determinantes da matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus) 1. Ao lado direito da matriz copiam-se as duas primeiras colunas. 2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da diagonal principal, multiplicam-se os elementos das outras duas filas à sua direita. 3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os elementos das outras duas filas à sua direita. 4. O determinante da matriz é a subtração dos produtos obtidos em 2 e 3. Ex.: 10 – 8 + 0 + 6 – 12 + 0 = - 4 - - - + + +

Ex: 1) 16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28 Ex: 2) 20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30 MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Ex: 1) 16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28 Ex: 2) 20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30

4. Cofator de uma matriz 5. Teorema de Laplace MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes 4. Cofator de uma matriz Seja A uma matriz quadrada de ordem n  2. Chama-se cofator de um elemento aij de A ao número real Aij = (-1)i + j . Dij, em que Dij é o determinante obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna em que se encontram o elemento aij . Ex.: A12 = -7 5. Teorema de Laplace O determinante de uma matriz A, de ordem n  2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. Ex.: 3 . A31 + 0 . A32 + 0 . A33+ 2 . A34 =

MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes - - - + + + - - - + + + 3 . (-40 + 9 + 2 – 12 – 12 + 5) - 2 . (2 + 32 + 6 – 4 – 12 – 8) 3 . (-48) - 2 . (16) = -144 - 32 = - 176

Propriedades dos Determinantes MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Propriedades dos Determinantes P1. Fila Nula Se todos os elementos de uma fila de uma matriz A forem nulos, então det A = 0 . Ex.: Ex: Ex: • Quando todos os elementos de uma fila são nulos

P2. Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes P2. Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais Se duas filas paralelas de uma matriz A forem iguais ou proporcionais, então det A = 0 . Ex.: e 1ª coluna = 3ª coluna 2ª linha = 2 x 1ª linha Se liguem, sempre que nos referimos a filas, estamos falando de linhas e também de colunas!

Ex: Ex: MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes • Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais

Outras propriedades: Ex: 1) 2) MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Outras propriedades: Ex: 1) 2) • Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal

• det(A)=det(At) P3. Matriz Transposta = 16 + 0 – 20 + 3 + 0 + 0 = -1 MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes P3. Matriz Transposta O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta. Ex.: = 16 + 0 – 20 + 3 + 0 + 0 = -1 = 16 – 20 + 0 + 3 + 0 + 0 = -1 Ex: 1) • det(A)=det(At) 2)

• det(A.B)=detA.detB P4. Teorema de Binet MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes P4. Teorema de Binet Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então: det(A . B) = det A . det B Ex.: det A = 10, det B = 6 e det A . det B = 6 . 10 = 60 det A . det B = 13 . 6 – 2 . 9 = 78 – 18 = 60 Ex: • det(A.B)=detA.detB

MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes P5. Matriz Triangular O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Ex.: = 5 .1 .8 = 40

Ex: 1) 2) MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes • O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal

P6. Troca de Filas Paralelas MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes P6. Troca de Filas Paralelas Se trocarmos de posição duas filas paralelas de uma matriz M, obteremos uma outra matriz M´, tal que: det M´ = - det M Ex.: Ex: Ex: • Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.

P7. Produto de uma Fila por uma Constante MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes P7. Produto de uma Fila por uma Constante Se todos os elementos de uma fila, de uma matriz, forem multiplicados por um mesmo número real k, o determinante da matriz assim obtida fica multiplicado por k. Ex.: = 15 – 36 + 0 + 6 + 4 - 0 = -11 Multiplicando a 2ª coluna de A por (-3), temos: = -45 + 108 + 0 – 18 – 12 + 0 = 33

Ex: 1) 2) MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes • Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no

• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Consequência: Seja uma matriz A, de ordem n, e k um número real, temos: det (k . A) = kn . det A Ex: 1) • det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A

P8. Determinante da Matriz Inversa MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes P8. Determinante da Matriz Inversa Seja A uma matriz e A-1 sua inversa, então: Ex.:

MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Ex: • det(A-1)=1/detA

+ + = P9. Adição de Determinantes MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes P9. Adição de Determinantes Um determinante pode ser decomposto na soma de outros determinantes, iguais aos primeiros, exceto numa coluna j qualquer, mas tal que, a soma das colunas j destes determinantes, seja igual a coluna j do primeiro determinante. Ex.: + + =

-3 P10. Teorema de Jacobi MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes P10. Teorema de Jacobi Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´, tal que: det M´ = det M -3 Ex.:

-17 Regra de Chió MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes A regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo do determinantes de ordem n  2. Dada uma matriz A de ordem n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma outra matriz A´ de ordem n – 1, cujo determinante é igual ao de A. 1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos a linha e a coluna deste elemento. 2. Subtraímos de cada elemento restante o produto dos dois elementos eliminados, que pertenciam à sua linha e à sua coluna. 3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i + j, em que i e j representam a linha e a coluna retiradas. Ex.: -17

MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Matriz de Vandermonde Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz de ordem n  2, em que suas colunas são potências de mesma base, com expoente inteiro, variando de 0 à n – 1 (os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 1). Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos característicos da matriz. O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos e seus antecessores. Ex.: (3 – 2)(5 – 2)(5 – 3)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 5) 1 . 3 . 2 . 5 . 4 . 2 240

Casos em que um determinante é igual a ZERO: MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Casos em que um determinante é igual a ZERO: 5) 6) • Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.

MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes EXEMPLO 1 30

MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes EXEMPLO 2 31

MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes EXEMPLO 3 32

MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes EXEMPLO 4 33

MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes EXEMPLO 5 34

MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Agora vamos colocar a mão na massa. 1)Entrar no site abaixo e baixar o software Cmaptools para cada um montar seu mapa conceitual com os determinantes e suas propriedades. http://www.baixaki.com.br/download/cmaptools.htm