Fator - refere-se a um tipo de tratamento. Fatores será designado com letras maiúsculas. Nível - refere-se a vários tratamentos em qualquer fator. Níveis serão designados com letras minúsculas. Uma combinação de letras minúsculas e números de índice pode ser usado para designar tratamentos individuais (A0, A1, bo, b1, a0b0, a0b1, etc…)

Experiências e exemplos discutidos até agora nesta classe têm considerado apenas um fator. Para um fator de experimentos, os resultados obtidos são aplicáveis apenas ao nível dos particulares em que O outro fator (s) foi mantido. Exemplo: Cinco densidades de semeadura e uma cultivar.

Um fatorial não é um desenho, mas um arranjo. Um fatorial é um estudo com dois ou mais fatores em combinação. Cada nível de um fator deve aparecer em combinação com todos os níveis dos outros fatores. Arranjos fatoriais nos permitem estudar a interação entre dois ou mais fatores.

Interação - 1) a falta de resposta dos tratamentos de um fator a ser a mesma para cada nível de outro fator. 2) Quando o simples efeitos de um fator diferem por mais do que pode ser atribuído ao acaso, a resposta diferencial é chamada de uma interação. Exemplos de Interações Sem interaçãoCom interação

Efeitos simples, efeitos principais e interações serão explicadas com base nos dados a seguir definido: Efeito do fertilizante N na produção de grãos (Mg / ha) de duas cultivares de cevada. Cultivar (A) Doses de Nitrogênio (B) 0 Kg N ha -1 (b0)60 Kg N ha -1 (b1) BRS 195 (a0)1.0 (a0b0)3.0 (a0b1) BRS 167 (a1)2.0 (a1b0)4.0 (a1b1) O Efeito simples de um fator é a diferença entre os dois níveis em um determinado nível do outro fator.

Efeito simples de A no nível b0=a1b0-a0b0 2-1=1 Efeito simples de A no nível b1=a1b1-a0b1 4-3=1 Efeito simples de B no nível a0=a0b1-a0b0 3-1=1 Efeito simples de B no nível a1=a1b1-a1b0 4-2=2

O efeito principal de um fator é a média simples dos efeitos desse fator sobre todos os níveis do outro fator. Efeito Principal de A = (Efeito simples de A no nível bo + Efeito simples de A no nível b1)/2 (1+1)/2 1 Efeito Principal de B = (Efeito simples de B no nível ao + Efeito simples de B no nível a1)/2 (2+2)/2 2 A interação é uma função da diferença entre os efeitos simples de um a dois níveis de B dividido por dois, ou vice-versa. (Isto só funciona em fatorial 2 x 2) A x B = 1/2(Efeito simples de A no b1 - Efeito simples de A no b0) = 1/2(1 - 1) = 0

Importante sobre as interações Uma interação entre dois fatores podem se medida apenas se os dois fatores são testados juntos no mesmo experimento. Quando uma interação está ausente, o efeito simples de um fator é o mesmo para todos os níveis dos outros fatores e é igual ao efeito principal. Quando as interações estão presentes, o efeito simples de um fator muda de acordo com o nível dos outros fatores. Portanto, o efeito principal é diferente dos efeitos simples.

Exemplo de Anova: Arranjo experimental com blocos completamente casualizados em esquema fatorial de 2X2 com quatro repetições I II III IV

Gera caderno de campo: library(agricolae) fact.nk(2, 2, 4, seed = 0, kinds = "Super-Duper") plots blocks A B

Conduzido o experimento…gerou-se os resultados: experimento01 cultivar N bloco y 1 a a b b a a b b a a b b a a b b

Análise de Variância - Comandos do R library(agricolae) # Habilitando o comando abaixo é gerado o livro de campo #fact.nk(2, 2, 4, seed = 0, kinds = "Super-Duper") experimento01<-read.table("/Users/josemauriciofernandes/Documents/dadosR/fatorial2x2.txt",header=T) attach(experimento01) head(experimento01) > head(experimento01) cultivar N bloco y 1 a a b b a a # Identifica os fatores cultivar<-factor(cultivar) N<-factor(N) bloco<-factor(bloco) # Análise exploratória dos dados par(mfrow=c(2,1)) boxplot(y~cultivar*N)

Continua…..Análise de Variância - Comandos do R # Ver grafico das interacoes par(mfrow=c(1,1)) interaction.plot(cultivar,N,y)

Continua…..Análise de Variância - Comandos do R # Analise de variancia experimento01_av<-aov(y~cultivar+N+bloco) summary(experimento01_av) :> # Analise de variancia experimento01_av<-aov(y~cultivar+N+bloco) summary(experimento01_av) Df SumSq MeanSq F value Pr(>F) cultivar e-09 *** N e-06 *** bloco * Residuals Signif. codes: 0 ‘***’ ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Continua…..Análise de Variância - Comandos do R :> # Tabelas com as grandes medias experimento01_tb<-model.tables(experimento01_av, type="means") experimento01_tb Tables of means Grand mean 25 cultivar a b N bloco

Continua…..Análise de Variância - Comandos do R # Examina o presuposto da normalidade dos dados par(mfrow=c(2,2)) plot(experimento01_av)

Continua…..Análise de Variância - Comandos do R # Examina o resultado na forma de gráfico par(mfrow=c(1,1)) #Efeito do Nitrgênio nas duas cultivares df<-df.residual(experimento01_av) MSerror<-deviance(experimento01_av)/df compara <- HSD.test(y,N:cultivar,df,MSerror, group=TRUE,main="Efeito do N") compara Study: Efeito do N HSD Test for y Alpha Error Degrees of Freedom Error Mean Square Critical Value of Studentized Range Treatment Means N.cultivar y std.err replication 1 0:a :b :a :b

Continua…..Análise de Variância - Comandos do R Honestly Significant Difference Means with the same letter are not significantly different. Groups, Treatments and means a 1:b 35.5 b 0:b c 1:a d 0:a 13.5 trt means M N std.err 1 1:b a :b b :a c :a d :> bar.err(compara,std=FALSE,ylim=c(0,max(y)),density=10,col="blue", main="Efeito do N em duas cultivares") detach(experimento01)

Inferência: Com base nos resultados pode se concluir que a variedade B teve um rendimento, medido em Kg ha -1, significativamente superior (F<0,05) ao medido na variedade A. A adição de Nitrogênio resultou um aumento de rendimento proporcional para as duas cultivares.

Um outro exemplo: Duas variedades de batata cultivadas com dois espaçamentos.

# Experimento Fatorial Batatinha plots blocks A B

batatinha <-read.table("/Users/josemauriciofernandes/Documents/dadosR/batatinha.txt",header=T) head(batatinha) cult espac bloco y 1 baronesa baronesa hansa hansa baronesa baronesa attach(batatinha) par(mfrow=c(2,1)) boxplot(y~cult*espac) interaction.plot(espac,cult,y)

batatinha.aov <-aov(y~factor(cult)*factor(espac)+factor(bloco)) summary(batatinha.aov) Df SumSq MeanSq F value Pr(>F) factor(cult) e-08 *** factor(espac) e-06 *** factor(bloco) factor(cult):factor(espac) ** Residuals Signif. codes: 0 ‘***’ ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 par(mfrow=c(2,2)) plot(batatinha.aov)

TukeyHSD(batatinha.aov) detach(batatinha) Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level Fit: aov(formula = y ~ factor(cult) * factor(espac) + factor(bloco)) $`factor(cult)` diff lwr upr p adj hansa-baronesa $`factor(espac)` diff lwr upr p adj e-06 $`factor(bloco)` diff lwr upr p adj

$`factor(cult):factor(espac)` diff lwr upr p adj hansa:1-baronesa: baronesa:2-baronesa: hansa:2-baronesa: baronesa:2-hansa: hansa:2-hansa: hansa:2-baronesa: Inferência: Com base nos resultados da análise de variância podemos concluir ao nível de 5% de probabilidade que: 1) A variedade baronesa teve um rendimento superior quando cultivada no espaçamento 1 em relação ao espaçamento 2. 2) A variedade hansa teve rendimentos semelhantes em ambos os espaçamentos. 3)A variedade baronesa foi superior a hansa apenas quando cultivada no espaçamento 1.