LOGARITMOS

Qual é o tempo? Giovanna ganhou reais de seu pai pra fazer sua festa de aniversário. Ao receber o dinheiro resolveu trocar a festa por um computador novo. Mas havia um problema: o computador que ela queria custava reais. O jeito era aplicar o dinheiro que tinha, até conseguir o valor necessário.

Qual é o tempo? Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de 5 % ao mês, capitalizados mensalmente. Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto tempo os 1000 reais aplicados se transformariam nos 1500 reais de que precisava? Ela havia acabado de aprender a calcular juros compostos. Fez, então, as suas contas.

Veja os cálculos Capital aplicado: C = Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mês Montante pretendido: M = 1 500,00 M = C.(1 + i) t ⇒ = (1,05) t ⇒ 1,05 t = 1,5 Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria atingido no final do 9º mês de aplicação. 1,05 7 ≈ 1,407 1,05 8 ≈ 1,477 1,05 9 ≈ 1,551

Qual é o expoente? Como poderia ser obtido, com uma aproximação razoável e sem utilizar o método das tentativas, o valor de t na equação 1,05 t = 1,5? A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas como esse, que envolve a determinação de um expoente.

TRABALHANDO COM POTÊNCIAS DE BASE 10

A base 10 Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. Veja os exemplos: 1= ,1= 10 –1 10= ,01= 10 –2 100= ,001= 10 – = ,0001= 10 – = ,00001= 10 –5

2= 10 0,301 3= 10 0,477 7= 10 0,845 11= 10 1,041 13= 10 1,114 Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Em valores aproximados apresentamos os exemplos:

LOGARITMO COMO EXPOENTE

Logaritmo como expoente O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja: 2 x = 8 ⇒ x = 3 No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2, é igual ao expoente 3. Em símbolos, log 2 8 = 3

Observe: calcular o log 2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8. Vale, portanto a equivalência: log 2 8 = 3 ⇔ 2 3 = 8 Calcular um logaritmo é obter um expoente. Logaritmo é o mesmo que expoente.

Definição Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1). Se a x = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente log a b = x). log a b = x ⇔ a x = b a é a base; b é o logaritmando ou antilogaritmo; x é o logaritmo;

Exemplos  log 5 √25 = 2/3, porque 5 2/3 = √25 og 2 32 = 5, porque 2 5 = 32 og 3 (1/81) = –4, porque 3 –4 = 1/81 og 10 0,001 = –3, porque 10 –3 = 0, De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma equação exponencial.

Exemplos  Calcular log 4 8. log 4 8 = x ⇒ 4 x = 8 ⇒ (2 2 ) x = 2 3 ⇒ 2 2x = 2 3 ⇒ x = 3/2

Exemplos  Calcular log 1/3 √9. 5 log 1/3 √9 = x 5 ⇒ 1 3 x = √9 5 ⇒ (3 –1 ) x = 3 2/5 ⇒ 3 –x = 3 2/5 ⇒ –x = 2/5 ⇒ x = –2/5

Condição de existência do logaritmo Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições: log a b = x ⇔ b > 0 a > 0 a ≠ 1

Condição de existência  Analise quais seriam os significados de log 2 (–4), log (–2) 8, log 7 0, log 1 6 e log 0 2, caso fossem definidos. log 2 (–4) = x ⇒ 2 x = –4impossível log –2 8 = x ⇒ (–2) x = 8impossível log 7 0 = x ⇒ 7 x = 0impossível log 1 6 = x ⇒ 1 x = 6impossível log 0 2 = x ⇒ 0 x = 2impossível

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

Consequências da definição Admitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que são consequências da definição. log a 1 = 0 log a a = 1 log a a k = k porque a 0 = 1 porque a 1 = a porque a k = a k

Exemplos  log 3 3 = log = log 3,7 3,7 = 1  log 3 1 = log 10 1 = log 3,7 1 = 0  log = 9  log –3 = –3

FIM