AULA 14: REGRESSÃO ESPACIAL Flávia F. Feitosa BH1350 – Métodos e Técnicas de Análise da Informação para o Planejamento Agosto de 2014

Análise de regressão é uma ferramenta estatística que utiliza a relação entre duas ou mais variáveis tal que uma variável possa ser explicada (Y  variável resposta/ saída/dependente) pela outra ou outras (X  variáveis indicadoras/ preditoras/ explicativas/ independentes). Y = aX + b NETER J. et al. Applied Linear Statistical Models. Boston, MA: McGraw-Hill, ANÁLISE DE REGRESSÃO

1.Seleção e Preparação das Variáveis 2.Escolha e Ajuste do Modelo de Regressão 3.Diagnóstico para verificar se o modelo ajustado é adequado  Ajuste do modelo (R 2, Teste F, Testes t para coef., etc.)  Multicolinearidade (FIV)  Análise dos Resíduos Etapas da Análise de Regressão

Se modelo for adequado, resíduos devem refletir as propriedades impostas pelo termo de erro do modelo. LINEARIDADE DO MODELO Análise dos Resíduos Não Linearidade 0 X Resíduo

NORMALIDADE DOS RESÍDUOS: Suposição essencial para que os resultados do ajuste do modelo sejam confiáveis. Análise dos Resíduos Outros diagnósticos: Shapiro-Wilk, Anderson-Darling, Kolmogorov-Smirnov

HOMOCEDASTICIDADE (Variância Constante) Análise dos Resíduos Outros diagnósticos: Teste de Breush-Pagan, Goldfeld-Quandt 0 X Variância Não Constante Resíduo

PRESENÇA DE OUTLIERS Gráfico resíduos padronizados vs. Valores Ajustados Análise dos Resíduos Pontos Influentes: DFFITS, DFBETA, Distância de Cook.

INDEPENDÊNCIA Gráfico resíduos padronizados vs. Valores Ajustados Análise dos Resíduos Outros Diagnósticos: Teste de Durbin-Watson Autocorrelação espacial: Mapa dos resíduos, Índice de Moran X 0 Erros Correlacionados Resíduo

MODELO ADEQUADO Análise dos Resíduos 0 Resíduo X

DADOS ESPACIAIS Caso a hipótese de independência espacial das observações seja FALSA  DEPENDÊNCIA ESPACIAL EFEITOS ESPACIAIS: Se existir forte tendência ou correlação espacial, os resultados serão influenciados, apresentando associação estatística onde não existe (e vice-versa) Análise dos Resíduos

Como verificar? resíduos da regressãoresíduos Medir a autocorrelação espacial dos resíduos da regressão (ex. Índice de Moran dos resíduos) Dica para o trabalho final do curso Exportar tabela com os resíduos do modelo de regressão Unir esta tabela com o shapefile original e visualizar os resíduos (Mapa dos resíduos) Os resíduos estão espacialmente correlacionados? Calcular o Índice de Moran dos Resíduos (com teste de pseudo-significância) Análise dos Resíduos

São José dos Campos Crescimento Populacional X Densidade Populacional Mapear os resíduos da regressão – índícios de correlação 2. Índice de Moran sobre mapa de resíduos I=0,45 3. Testes de pseudo- significância indicam autocorrelação espacial significativa Exemplo

 As observações não são independentes espacialmente.  Portanto... temos uma violação das nossas premissas.  Dependendo da natureza da dependência, parâmetros estimados pelo método dos mínimos quadrados será ineficiente ou inconsistente. E agora? regressão que incorporam efeitos espaciais Modelos de regressão que incorporam efeitos espaciais Autocorrelação Espacial Constatada!!!

Incorpora a estrutura de dependência espacial no modelo PREMISSA:  Assumimos que conhecemos a estrutura de dependência espacial (ela não é estimada)  Premissa forte? Sim!  Porém não tão forte quanto assumir que todas as observações são independentes espacialmente  Matrizes de ponderação tipicamente consideradas: contiguidade (queen, rook...) ou distância (n vizinhos mais próximos...) Regressão Espacial

Podem ser globais ou locais Globais: inclui no modelo de regressão um parâmetro para capturar a estrutura de autocorrelação espacial na área de estudo como um todo. Locais: parâmetros variam continuamente no espaço Regressão Espacial

GlobalLocal Estatísticas dizem respeito à região como um todo (1 valor) Disagregações locais das estatísticas globais (Muitos valores) Estatísticas globais e não mapeáveis Estatísticas locais e mapeáveis Ênfase nas similaridades da regiãoÊnfase nas diferenças ao longo do espaço Procura regularidades ou “leis”Procura por exceções ou “hot- spots” locais Ex.: Regressão Clássica, Spatial Lag, Spatial Error Ex.: GWR, Regimes Espaciais Adaptado de: Fotheringham, A.S., Brunsdon, C., and Charlton, M.E., 2002, Geographically Weighted Regression: The Analysis of Spatially Varying Relationships, Chichester: Wiley. Global vs. Local

PREMISSA É possível capturar a estrutura de correlação espacial num único parâmetro (adicionado ao modelo de regressão).Alternativas Spatial Autoregressive Modeling Spatial Lag Models (SAR): atribuem a autocorrelação espacial à variável resposta Y. ( Spatial Autoregressive Modeling ) Conditional Autoregressive Modeling) Spatial Error Models (CAR): atribuem a autocorrelação ao erro. ( Conditional Autoregressive Modeling) Modelos com Efeitos Espaciais Globais

PREMISSA: PREMISSA: A variável Y i é afetada pelos valores da variável resposta nas áreas vizinhas a i. Y =  WY + X  +  coeficiente espacial autoregressivo  = coeficiente espacial autoregressivo - medida de correlação espacial (  = 0, se autocorrelação é nula - hipótese nula) W = matriz de proximidade espacial WY expressa a dependência espacial em Y Exemplo: Valor dos imóveis Modelo Spatial Lag

Modelo Spatial Error PREMISSA: PREMISSA: As observações são interdependentes graças a variáveis não mensuradas, e que são espacialmente correlacionadas Ou seja: efeitos espaciais são um ruído! Por que ele ocorre? Porque não conseguimos modelar todas as características de uma unidade geográfica que podem influenciar as regiões vizinhas. Assume que, se pudéssemos adicionar as variáveis certas para remover o erro do modelo, o espaço não importaria mais.

MODELO: Y = X  +   =  W  + ξ erro com efeitos espaciais W  = erro com efeitos espaciais  = medida de correlação espacial ξ = componente do erro com variância constante e não correlacionada. Modelo Spatial Error

DIAGNÓSTICO PARA AUXILIAR NA ESCOLHA DE UM MODELO OU OUTRO Testes Multiplicadores de Langrange (Langrange Multiplier Tests, Anselin et al. 1996)  Executa regressão dos resíduos em relação às variáveis originais e aos resíduos das áreas vizinhas  LM-Lag: testes para dependência em relação às variáveis originais nas áreas vizinhas – lag dependence /missing error  LM-Error: testes para dependência em relação aos resíduos nas áreas vizinhas - error dependence / missing lag Spatial Lag & Spatial Error

Motivações diferentes, porém próximos em termos formais. Ambos partem do pressuposto de que o p o processo espacial analisado é estacionário e pode ser capturado em um único parâmetro. Spatial Lag & Spatial Error

Porém isto nem sempre é verdade! É importante verificar se padrões diversos de associação espacial estão presentes. Uma Solução Exploratória: Indicadores Locais de Autocorrelação Espacial

Distribuição dos valores de correlação local para o índice de exclusão Indicadores Locais de Associação Espacial (LISA) Não significantes p = 0.05 [ 95% (1,96 s ) ] p = 0.01 [ 99% (2,54 s ) ] p = [ 99,9% (3,2 s ) ] % Exclusão

Modelos de Regressão com Efeitos Espaciais DISCRETOS Variações espaciais modeladas de maneira discreta.  Regimes Espaciais Modelos de Regressão com Efeitos Espaciais CONTÍNUOS Variações espaciais modeladas de forma contínua, com parâmetros variando no espaço.  Geographically Weighted Regression – GWR. [Regressão Geograficamente Ponderada] Quantitative Geography; A. S. Fotheringham, C. Brunsdon, M. Charlton, 2000 (print 2004) Modelos com Efeitos Espaciais Locais

regionalizar A ideia é regionalizar a área de estudo obtendo sub- regiões com seu padrão próprio. regressões separadas Realizar regressões separadas para cada sub-região. Regimes Espaciais

Regionalizações da área de estudo Diferentes tipos de variabilidade espacial Métricas: Diagrama de espalhamento e índices locais e globais – regionalização tipo k- medias espacial Ex: Regimes espaciais para índice de exclusão Regimes Espaciais

Análise de Regressão: Idosos = f (Domicílios Sem Esgoto) Regressão Linear R 2 = 0,35 Regressão Espacial Regiões Adm (R 2 = 0,72) Regimes Espaciais (R 2 = 0,83) Para dados socioeconômicos: modelo de regimes espaciais tende a apresentar resultados melhores que os de regressão simples ou de regressão espacial com efeitos globais. Impacto de Regimes Espaciais

1. Análise gráfica dos resíduos 2. Mapear os resíduos 2. Mapear os resíduos – concentração de resíduos negativos ou positivos em parte do mapa indica presença de autocorrelação espacial 3. Índice de Moran dos resíduos 4. Indicadores de qualidade de ajuste dos modelos baseados no coeficiente de determinação (R 2 ) serão incorretos. AIC – critério de informação de Akaike 5. Utilização do AIC – critério de informação de Akaike, a avaliação do ajuste é penalizada por função do número de parâmetros (é preferível o modelo com o menor valor AIC). Diagnóstico de Modelos de Efeitos Espaciais

Longevidade X Renda Regressão Simples Spatial Lag Regimes Espaciais R 2 ajustado AIC Indice Moran dos resíduos Comparação das Regressões

Ajusta um modelo de regressão a cada ponto observado, ponderando todas as demais observações como função da distância a este ponto. Y(i) =  (i)X +  Y(i): variável que representa o processo no ponto i.  (i): parâmetros estimados no ponto i. Quantitative Geography; A. S. Fotheringham, C. Brunsdon, M. Charlton, 2000 (print 2004) GWR – Geographically Weighted Regression

y = b 0 + b 1 x 1 + e  regressão “clássica”simples com um preditor b 0, b 1 é o mesmo para toda área Se existe alguma variação geográfica na relação essa variação fica incluída como erro. GWR – Geographically Weighted Regression

GWR y(i) = b 0 (i) + b 1 (i) x 1 + e(i)  GWR b 0 (i), b 1 (i)  para cada ponto i do espaço há um b 0 e b 1 diferentes kernel) Existe uma função (kernel) sobre cada ponto do espaço que determina todos os pontos da regressão local que é poderada pela distância. Pontos mais próximos do ponto central tem maior peso. kernel Assim como no kernel – a escolha da largura da banda é importante (pode ser fixa ou adaptável à densidade dos dados) GWR – Geographically Weighted Regression

Adaptado de: Fotheringham, A.S., Brunsdon, C., and Charlton, M.E., 2002, Geographically Weighted Regression: The Analysis of Spatially Varying Relationships, Chichester: Wiley. LARGURA DE BANDA FUNÇÃO DE PONDERAÇÃO GWR – Geographically Weighted Regression

Modelos Locais vs. Modelos Globais  Mesmas técnicas de análise do ajuste do modelo, porém comparação é problemática  GWR apresentará sempre melhores ajustes pois envolve o ajuste de muito mais parâmetros  Sugestão: medida AIC, que leva em consideração a complexidade do modelo. Ajuste do Modelo GWR

Os parâmetros podem ser apresentados visualmente para identificar como se comportam espacialmente os relacionamentos entre as variáveis. Ex: Crescimento Pop. (resposta) X Densidade Pop. (preditora) GWR – Geographically Weighted Regression

Ex: Crescimento Pop. (resposta) X Densidade Pop. (preditora) Mapa de resíduos (I = 0,04) : GWR – Geographically Weighted Regression

Consumo de Água per Capita (resposta) X Renda per capita (preditora) CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flávia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. População, Renda e Consumo Urbano de Água no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. 17 a 22 de novembro de Bento Gonçalves, RS. Distribuição espacial de consumo residencial de água e renda da população em Fonte: SNIS (2010) e IBGE (2010). EXEMPLO

Consumo de Água per Capita (m3/dia/ano) Renda per Capita (R$) Análise Exploratória

Consumo de Água per Capita (resposta) X Renda per capita(preditora) CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flávia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. População, Renda e Consumo Urbano de Água no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. 17 a 22 de novembro de Bento Gonçalves, RS. MODELO DE REGRESSÃO LINEAR GLOBAL

Mas será que esta relação, entre consumo de água e renda, ocorre da mesma maneira em todo o país??? O ESPAÇO IMPORTA!!!

Consumo de Água per Capita (resposta) X Renda per capita(preditora) GWR: CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flávia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. População, Renda e Consumo Urbano de Água no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. 17 a 22 de novembro de Bento Gonçalves, RS. GWR – Geographically Weighted Regression

Consumo de Água per Capita (resposta) X Renda per capita(preditora) CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flávia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. População, Renda e Consumo Urbano de Água no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. 17 a 22 de novembro de Bento Gonçalves, RS. Os menores coeficientes estimados para a variável RENDA foram observados em municípios do Estado do Rio Grande do Sul e os maiores em Alagoas. GWR – Geographically Weighted Regression

Consumo de Água per Capita (resposta) X Renda per capita(preditora) CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flávia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. População, Renda e Consumo Urbano de Água no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. 17 a 22 de novembro de Bento Gonçalves, RS. Região do Município de Traipu (AL)  maior coeficiente estimado Um aumento de R$ 1 na renda per capita da população está associado a um incremento do consumo de água de 100,3 ml/dia/hab. Região do município de Floriano Peixoto (RS)  um dos menores coeficientes significativos (t-valor > 1,96): Um aumento de R$ 1 na renda per capita da população está associado a um aumento do consumo de 10,22 ml/dia/hab. Hipóteses???

CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flávia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. População, Renda e Consumo Urbano de Água no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. 17 a 22 de novembro de Bento Gonçalves, RS. De maneira geral, as regiões apresentadas como aquelas onde a elevação da renda está relacionada a um maior incremento do consumo (áreas mais escuras) tendem a coincidir com as áreas onde o aumento do poder de consumo – que acompanhou o recente processo de estabilização econômica, crescimento econômico e ampliação dos programas redistributivos – apresentou os maiores impactos na redução da pobreza e extrema pobreza do país. Considerações sobre os Resultados

CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flávia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. População, Renda e Consumo Urbano de Água no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. 17 a 22 de novembro de Bento Gonçalves, RS. São regiões onde a redução da pobreza ampliou de maneira expressiva o acesso a recursos básicos para a manutenção de vida desta população, entre eles a água potável. Já em regiões como a Sul, caracterizada por níveis mais elevados de renda, um aumento na renda tende a gerar um impacto menor no aumento do consumo de bens essenciais como a água e, provavelmente, maior no consumo de bens de outra natureza. Considerações sobre os Resultados

Spatial Regression Analysis: A Workbook (Luc Anselin): Fitting and Interpreting Spatial Regression Models: An Applied Survey (Roger Bivand): Tutoriais

GeoDa Índice de Moran, LISA maps, Regressão Clássica e Espacial (Spatial Lag & Spatial Error) SPRING e Terraview Índice de Moran, LISA map GWR 4.0 GWR Softwares

PRÁTICA Regressão Espacial  Spatial Lag e Spatial Error com o Software GeoDa  GWR com o Software GWR 4.0