A Matemática Atuarial Em uma linguagem bastante simplista, poderíamos dizer que os cálculos atuariais combinam os princípios da Estatística com a Matemática Financeira. Ele calculará, por exemplo, o valor presente de uma unidade monetária a ser paga a uma pessoa de idade x quando ela completar x+n anos, a uma taxa de juros i para cada período. Para isso, utiliza-se de vários conceitos oriundos de um curso introdutório de Matemática Financeira. Expressão básica: Cn = Co(1+i)n

A Matemática Atuarial Um dos elementos básicos dos seguros que lidam com a vida humana é a tábua de mortalidade. A tábua de mortalidade ou de sobrevivência é uma tabela que apresenta o número de pessoas vivas e de pessoas mortas, em ordem crescente de idade (faixa etária), desde a origem até a extinção completa do grupo.

A Matemática Atuarial Existem vários tipos de tábuas atuariais,também conhecidas como esperança de sobrevida, para medir a sobrevida, ou seja, quantos anos uma pessoa de determinada idade provavelmente ainda vai viver. Exemplos de tábuas: AT49, AT55, AT71, AT83, AT2000. AT significa annuity table e o número refere-se ao ano em que as estatísticas passadas começaram a valer. Tábuas mais modernas, adotadas em muitas seguradoras do Brasil, embutem maior tempo de vida média, reduzindo, assim, o valor do benefício pago pelas empresas

A Matemática Atuarial Exemplo de expectativa de sobrevida para uma pessoa de 60 anos: AT49 18,5 anos AT83 22,6 anos AT2000 24,6 anos As tábuas mais modernas refletem as mudanças na sociedade com o aumento da expectativa de vida, melhores condições sanitárias, avanços na medicina. Conclusão1: Tábuas mais novas ampliam a expectativa de vida e por consequência reduzem o valor dos benefícios recebidos pelos segurados Conclusão2: Se os planos de saúde, seguro, previdência utilizarem tábuas desatualizadas correm o risco de não possuir recursos para pagar os benefícios no futuro

A Matemática Atuarial Uma vez comprado o plano o segurado carrega a mesma tábua até o final. A empresa só poderá rever a tábua no caso de planos fechados, em que é possível a mudança de tábua no meio do caminho para adequá-lo ao equilíbrio atuarial e financeiro do fundo

TÁBUAS BIOMÉTRICAS As tábuas biométricas são instrumentos teóricos destinados a medir as probabilidades (ou riscos) de vida, de morte, de invalidez, de doença, e outros eventos aletórios associados á dinâmica das populações.

TÁBUAS BIOMÉTRICAS Dentre outras Tábuas de mortalidade

TÁBUAS DE MORTALIDADE GERAL

TÁBUAS DE MORTALIDADE GERAL Simbologias e fórmulas: x  idade lx  número de pessoas vivas com idade x dx = (lx – lx+1) número de pessoas mortas entre as idades x e x+1 qx = probabilidade de uma pessoa de idade x falecer antes de completar a idade x+1 px = ou px = 1 – qx  probabilidade de uma pessoa de idade x sobreviver à idade x + 1 dx lx lx+1 lx

TÁBUAS DE MORTALIDADE GERAL Simbologias e fórmulas: nqx =  probabilidade de uma pessoa de idade X falecer antes de completara a idade x+n npx =  probabilidade de uma pessoa de idade x sobreviver à idade x + n 1 - lx + n lx lx + n lx

TÁBUAS DE MORTALIDADE GERAL Resumindo: Simbologias e fórmulas x  idade lx  número de pessoas vivas com idade x dx  número de pessoas mortas entre as idades x e x+1 qx  probabilidade de uma pessoa de idade x falecer antes de completar a idade x+1 (probabilidade de morte) px  probabilidade de uma pessoa de idade x sobreviver à idade x + 1 (probabilidade de sobrevivência) nqx  probabilidade de uma pessoa de idade x falecer antes de completar a idade x + n npx  probabilidade de uma pessoa de idade x sobreviver à idade x + n

TÁBUAS DE MORTALIDADE GERAL AT 49

TÁBUAS DE MORTALIDADE GERAL APLICAÇÕES PRÁTICAS: Aplicação 1 – Tomando-se uma pessoa de 35 anos de idade e a Tabua de Mortalidade Geral AT 49, qual a probabilidade dessa pessoa falecer antes de atingir a idade de 36 anos? Resolução: Identificar o que se esta procurando, nesse caso, a PROBABILIDADE DE MORTE Identificar o símbolo correspondente (qx) Localizar na tabela a idade da pessoa em estudo Localizar na tabela o símbolo corresponde ao que se esta procurando Interpretar o resultado

TÁBUAS DE MORTALIDADE GERAL Aplicação 1 q35 = 0,00139  0,139% A probabilidade de uma pessoa de 35 anos falecer antes de alcançar os 36 anos é de 0,139%. Por consequência a probabilidade de uma pessoa de 35 anos alcançar os 36 anos é de (1 – 0,00139) = 0,99861, ou, 99,861%. p35 = 99,861%

TÁBUAS DE MORTALIDADE GERAL Aplicação 2 – Com base na tábua AT-49 calcular a probabilidade de uma pessoa com 25 anos atingir a idade de 55 anos Estamos procurando por npx  probabilidade de uma pessoa de idade x sobreviver à idade x + n npx = 30p25 = = 90,940225% lx + n lx Nesse caso, x = 25, n = 30 e x+n = 55 l55 l25 A probabilidade de uma pessoa de 25 anos atingir a idade de 55 anos é de aproximadamente 90,94%

TÁBUAS DE MORTALIDADE GERAL Aplicação 3 – Um grupo de 1.000 pessoas, todos com 20 anos de idade, resolvem contratar uma apólice de seguro de vida. Com base na Tábua AT49, calcular quantas pessoas deste grupo falecerão antes de atingir a idade de 45 anos Estamos procurando por nqx  probabilidade de uma pessoa de idade x falecer antes de completar a idade x + n nqx = 1 - lx + n lx

TÁBUAS DE MORTALIDADE GERAL Aplicação 3 RESOLUÇÃO nqx = 20q25 = = 1 – 0,9664 =0,0336 x 100 = 3,36% 1 - lx + n lx Nesse caso, x = 20, n = 25 e x+n = 45 1 - 961,2083 994,6578 Como o grupo possui 1.000 pessoas, temos que a quantidade de pessoas que falecerão = 1.000 x 3,36% = 34 pessoas aproximadamente

TÁBUAS DE MORTALIDADE DE INVÁLIDOS O FUNCIONAMENTO DA TÁBUA DE MORTALIDADE DE INVÁLIDOS É IDÊNTICA AO FUNCIONAMENTO DA TÁBUA DE MORTALIDADE GERAL. A SIMBOLOGIA É SEMELHANTE, DIFERENCIANDO-SE APENAS PELA INDICAÇÃO DO ÍNDICE “i” indicando que se trata de um estudo para inválidos

TÁBUAS DE MORTALIDADE DE INVÁLIDOS Simbologias e fórmulas: x  idade lix  número de pessoas inválidas vivas com idade x dix = (lix – lix+1) número de pessoas inválidas mortas entre as idades x e x+1 qix = probabilidade de uma pessoa inválida de idade x falecer antes de completar a idade x+1 pix = ou pix = 1 – qix  probabilidade de uma pessoa inválida de idade x sobreviver à idade x + 1 dix lix lix+1 lix

TÁBUAS DE MORTALIDADE DE INVÁLIDOS Simbologias e fórmulas: nqix =  probabilidade de uma pessoa inválida de idade x falecer antes de completara a idade x+n npix =  probabilidade de uma pessoa inválida de idade x sobreviver à idade x + n 1 - lix + n lix lix + n lix

TÁBUA DE MORTALIDADE DE INVÁLIDOS IAPC

TÁBUA DE MORTALIDADE DE INVÁLIDOS IAPC APLICAÇÕES PRÁTICAS APLICAÇÃO 1 – Qual a probabilidade de uma pessoa inválida com 42 anos falecer antes de atingir a idade de 43 anos? Resolução: Identificar o que se esta procurando, nesse caso, a PROBABILIDADE DE MORTE Identificar o símbolo correspondente (qix) Localizar na tabela a idade da pessoa em estudo Localizar na tabela o símbolo corresponde ao que se esta procurando Interpretar o resultado

TÁBUA DE MORTALIDADE DE INVÁLIDOS IAPC APLICAÇÕES PRÁTICAS APLICAÇÃO 1- Resolução qix = qi42 = 0,06681 dix lix A probabilidade de uma pessoa inválida de 42 anos falecer antes dos 43 anos é de 6,68%. Por consequência probabilidade dessa pessoa alcançar os 43 anos é de 93,32% (esse é o elemento pix da tabela) qxi + pxi = 1

TÁBUA DE MORTALIDADE DE INVÁLIDOS IAPC APLICAÇÕES PRÁTICAS APLICAÇÃO 2 – Um grupo de 3.000 pessoas inválidas com 40 anos de idade resolvem contratar uma apólice de seguro de vida. Com base na tábua de mortalidade de inválidos IAPC calcular quantas pessoas desse grupo falecerão antes de atingirem a idade de 55 anos. O que estamos procurando? Resposta: probabilidade de uma pessoa inválida de idade x falecer antes de completara a idade x+n (nqix )

TÁBUA DE MORTALIDADE DE INVÁLIDOS IAPC APLICAÇÕES PRÁTICAS APLICAÇÃO 2 – Resolução nqix = 1 - lix + n lix x = 40; n =15 nqix é igual a 0,6287 ou 62,87%. Significa que a probabilidade de uma pessoa inválida de 40 anos falecer antes de atingir os 55 anos é de 62,87%. Como estamos querendo saber quantas pessoas de um grupo de 3.000 pessoas falecerão, temos que aplicar esse percentual ao grupo. Assim: 3.000 x 62,87% = 1.886 Do grupo inicial de 3.000 pessoas inválidas de 40 anos, 1886 falecerão antes de completar 55 anos

RENDAS ALEATÓRIAS

Tipos de Rendas e Seguros Pagáveis por Morte A renda corresponde a uma forma de pagamento de indenização efetuada pelo segurador. O modo e período como a renda é paga pode variar bastante, sendo, geralmente, reconhecido duas classificações principais das rendas aleatórias: rendas constantes e rendas variáveis. As rendas aleatórias estão subdivididas em rendas constantes e rendas variáveis. As rendas constantes representam uma série de pagamentos que podem variar conforme a data estipulada (imediata ou diferida) e a continuidade (vitalícia ou temporária). A continuidade ou duração da renda vitalícia depende da sobrevivência do segurado ou do beneficiário, enquanto no caso de renda temporária os pagamentos são temporalmente determinados previamente.

Tipos de Rendas e Seguros Pagáveis por Morte A renda imediata ocorre quando a série de pagamentos inicia-se logo em seguida ao acontecimento que a determinou. Ao contrário, a renda diferida será paga um determinado tempo depois da realização do acontecimento que a determinou. A renda aleatória ainda pode ser antecipada ou postecipada. Já as rendas variáveis, de acordo com as leis da matemática, podem ser em progressão aritmética ou geométrica.

Rendas Aleatórias Estudos de caso

CASOS PRÁTICOS DE RENDAS ALEATÓRIAS utiliza a tábua de comutação CASO 1 – cálculo de contribuição única para plano de aposentadoria complementar MENSAL, VITALÍCIA de pessoas JÁ APOSENTADAS. FATOR A SER UTILIZADO NA TABELA EXEMPLO CASO 1: Um grupo de 1.000 aposentados, todos com 66 anos de idade, resolvem contratar um plano de aposentadoria complementar com benefícios mensais e vitalícios no valor de R$ 500,00, mediante pagamento de contribuição única. Calcular o valor dessa contribuição SOLUÇÃO: x = 66 --> Da tabela temos ax = 8,4494 Contribuição única = 12 x benefício mensal x ax Contribuição = R$ 50.696,46

CASOS PRÁTICOS DE RENDAS ALEATÓRIAS CASO 2 – Cálculo de contribuição mensal para benefício de pensão mensal vitalícia para cônjuge feito por pessoas já aposentadas FATORES A SEREM UTILIZADOS NA TABELA EXEMPLO CASO 2: Um grupo de 1.000 aposentados, todos com 66 anos de idade, resolvem contratar um plano de pensão complementar para os respectivos cônjuges, caso venham a falecer, com benefícios mensais vitalícios de R$ 300,00, mediante pagamento de contribuição mensal. Calcular o valor dessa contribuição SOLUÇÃO: Contribuição mensal= benefício mensal x X= 66 --> Da tabela temos ax = 8,4494 e axH = 3,0673 Contribuição = R$ 108,90 por mês

CASOS PRÁTICOS DE RENDAS ALEATÓRIAS CASO 3 – Cálculo de contribuição mensal para plano de aposentadoria mensal vitalícia não reversível em pensão feito por pessoas ativas FATORES A SEREM UTILIZADOS NA TABELA EXEMPLO CASO 3: Um grupo de 2.000 empregados de uma empresa, todos com 28 anos de idade e salário de R$ 1.250,00 resolve contratar um plano de aposentadoria complementar a partir dos 55 anos de idade, não reversível em pensão, com benefícios mensais vitalícios de valor igual ao salário da época da aposentadoria, mediante pagamento de contribuição mensal durante o período de atividade. Determinar o valor desta contribuição em percentual do salário

CASOS PRÁTICOS DE RENDAS ALEATÓRIAS SOLUÇÃO DO CASO 3: 1º Calcular a contribuição mensal em real 2º Converter em percentual do salário Contribuição mensal em R$ = salário atual x x