Aula 3 - Escalares, Vetores, Movimento em 2D e 3D Viviane Galvão vivgalvao@gmail.com

Estudo dirigido 1 - Vetores e soma vetorial 2 - Componentes de vetores 3 - Vetores unitários 4 - Produto de vetores 5 - Vetor posição, vetor velocidade e vetor aceleração 6 – Movimento de um projétil 7 – Movimento circular 8 – Velocidade relativa

Grandezas Escalares e Vetoriais Uma grandeza física é um escalar quando pode ser caracterizada apenas por um número, sem necessidade de associar-lhe alguma orientação. Exemplos: Massa de uma bola: 0,25 kg Tempo para a massa mover-se de uma certa distância Temperatura (lida no termômetro) Energia de um corpo Carga elétrica Algumas grandezas escalares são sempre positivas (ex: massa). Outras podem ter os dois sinais (ex: carga elétrica).

Vetores Uma grandeza vetorial possui não apenas um módulo (ou intensidade), mas também uma direção e um sentido. Deve, pois, ser representada por um vetor. A velocidade é uma grandeza vetorial. Para especificá-la, não basta dar apenas o seu módulo, por exemplo, 20 m/s, mas também sua direção e o sentido do movimento. Em nosso estudo de Mecânica, veremos outros exemplos importantes de vetores. Todos os vetores do conjunto mostrado na figura são iguais; para especificar o conjunto, basta tomar apenas um elemento.

Posição em um mapa Você está no ponto A do mapa. Deve andar na direção nordeste até o ponto B. O deslocamento é um vetor representado por (com seta ou em negrito). Módulo de : ou B * N ↑ A *

Soma de dois ou mais vetores A soma de dois vetores é um vetor: Note que (a soma é comutativa) Soma de mais de dois vetores: Note que:

Multiplicação por um escalar Subtração de Vetores O vetor nulo ( ) tem módulo zero e não tem direção e sentido definidos. Multiplicação por um escalar

Componentes de um vetor Um vetor pode ser decomposto em uma soma da forma: y onde Ax e Ay são definidos como as componentes escalares do vetor e e são os versores (vetores unitários) das direções x e y, respectivamente). Se representarmos um vetor por um negrito: x A = Ax + Ay , Ax e Ay são as componentes vetoriais de A.

Representação polar de um vetor As componentes Ax e Ay são as chamadas componentes cartesianas do vetor . Podemos ainda definir um outro conjunto de coordenadas para descrever um vetor no plano: as chamadas coordenadas polares,dadas pelo módulo do vetor : y Ay e pelo seu ângulo polar x Ax

Soma de vetores usando suas componentes cartesianas Se y o vetor será dado em componentes cartesianas por: onde: x

Produto escalar de dois vetores Definição: onde é o ângulo formado entre as direções de e . Geometricamente, projeta-se na direção de e multiplica-se por B (ou vice-versa). Então: A cos B Note que: O resultado do produto escalar de dois vetores é um escalar. Na Internet: http://www.falstad.com/dotproduct/

Produto escalar usando componentes Podemos escrever o produto escalar de dois vetores em termos das suas componentes cartesianas: Mas como teremos:

Produto vetorial de dois vetores Definição: o produto vetorial de dois vetores por , é um vetor e , representado ( ) tal que: i) a direção de é perpendicular ao plano formado por e ; ii) o seu módulo é igual à área do paralelogramo formado por e : iii) o seu sentido obedece à regra da mão direita (figura). Note que o produto vetorial não é comutativo:

Produto vetorial usando componentes O produto vetorial também é distributivo. Podemos escrevê-lo em termos das suas componentes cartesianas como: Mas como e , teremos: Na Internet: http://www.phy.syr.edu/courses/java-suite/crosspro.html

Movimento em 2D e 3D Cinemática em 2D e 3D Aceleração constante - aceleração da gravidade Movimento circular - movimento circular uniforme Movimento relativo

Vetores dependentes do tempo Na natureza há inúmeros exemplos de grandezas vetoriais que variam no tempo. Estamos intressados na posição e deslocamento de um corpo em movimento bidimensional ou tridimensional, e na velocidade e aceleração deste corpo. Posição e deslocamento y A trajetória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados pelo objeto (planeta, cometa, foguete, carro etc) que se movimenta. Qualquer ponto da trajetória pode ser descrito pelo vetor posição que denotamos por . O deslocamento entre os pontos e é dado por: x Note que não depende da origem.

Posição e deslocamento O vetor posição em 2D fica definido em termos de suas coordenadas cartesianas por No caso espacial, 3D, temos Exemplo: um ponto na trajetória de um móvel é dado pelas equações (em unidades SI): x(t) = 0,2t2+5,0t + 0,5 y(t) = -1,0t2+10,0t + 2,0 Calcular em t = 3 s : x(3) =17 m e y(3) =23 m em t = 6 s : x(6) =38 m e y(6) =26 m Daí:

Velocidade Como no caso unidimensional, o vetor velocidade média é: y trajetória O vetor velocidade instantânea é: (1) Em termos de componentes cartesianas: x ou: Decorrências da definição (1): a) é sempre tangente à trajetória; b) coincide com o módulo da velocidade escalar definida anteriormente.

Aceleração Novamente como no caso 1D, a aceleração média é: A aceleração instantânea é: (2) ou: Em termos de componentes cartesianas: ou: Decorrências da definição (2): a) a aceleração resulta de qualquer variação do vetor velocidade (quer seja do módulo, da direção ou do sentido de ); b) O vetor aceleração está sempre voltado para o “interior” da trajetória.

Velocidade e aceleração: componentes Voltando ao exemplo do móvel, as componentes do vetor velocidade são: Em t =3 s: As componentes do vetor aceleração são: Ângulo: Módulo:

Aceleração constante Aceleração constante  teremos um movimento no plano definido pelos vetores velocidade inicial e aceleraçao: Movimento 2D Vamos escolher os eixos de tal forma que o movimento se dê no plano xy. Aceleração constante no plano xy: ax e ay constantes   2 problemas 1D independentes Teremos um MRUA na direção x e outro na direção y.

Aceleração constante  componente x de componente x de componente y de

O problema inverso Conhecida a aceleração , podemos integrá-la e obter a vel.: que, se integrada, nos fornece o deslocamento: Este processo deve ser efetuado para cada componente cartesiana do vetor considerado.

Caso Particular: Aceleração da gravidade Nesse caso ay = -g e ax=0. Na direção x, vx é constante! componente x de componente x de componente y de componente y de Em t = 0: Nota: e são as condições iniciais do movimento.

Aceleração da gravidade Se tomamos x0 = y0 = 0 (saindo da origem): de x = v0xt , temos: t = x/v0x Substituindo t na equação para y encontramos a equação da trajetória: (Equação de uma parábola !) Fotografia estroboscópica do movimento parabólico O movimento na direção y não depende da velocidade vx. Na figura ao lado, duas bolas são jogadas sob a ação da gravidade. A vermelha é solta (v0y=0) e a amarela tem velocidade inicial horizontal v0x. Em qualquer instante elas estão sempre na mesma posição vertical!

Movimento circular uniforme Este movimento tem velocidade de módulo constante, porém sua direção muda continuamente. Exemplos: Movimento de satélites artificiais; Pontos de um disco de vitrola; Pontos de um disco rígido de computador; Ponteiros de um relógio; Nós, girando com o movimento da Terra.

Movimento circular uniforme Para descrever o MCU usamos as coordenadas polares e . O arco sobre a trajetória que subentende um ângulo é: A posição angular é uma função do tempo, . O arco descrito em dt é dado por . Então: (v: velocidade tangencial) Definimos assim a velocidade angular Então: Se : (Movimento circular uniforme) Frequência e período:

Movimento circular uniforme Da figura: (Triângulos Semelhantes) Aceleração média: No limite t 0: (aceleração instantânea)

Movimento circular uniforme Aqui também podemos usar um vetor unitário: (note que este vetor varia com o movimento) A aceleração fica: (a aceleração tem a direção do vetor posição e aponta para o centro da circunferência. Esta é a aceleração centrípeta). Ou:

Exemplo Um pião roda uniformemente com frequência de 16 Hz. Qual é a aceleração centrípeta de um ponto na superfície do pião em r = 3 cm ? A velocidade angular é: Daí a aceleração fica:

Movimento relativo Problema: Conhecido o movimento de uma partícula P em um dado sistema de coordenadas (referencial) B, que se move em relação a outro referencial A, como descrever o movimento da partícula neste outro referencial (A)? P Posição relativa: que é função do tempo: A velocidade relativa é:

Movimento relativo Aceleração relativa: Em referenciais inerciais (os que se movem um em relação ao outro em translação retilínea e uniforme): (a aceleração é a mesma quando medida em dois referenciais inerciais). .