Estado Geral de Deformações Mecânica dos Materiais II Universidade de Brasília – UnB Departamento de Engenharia Mecânica – ENM Grupo de Mecânica dos Materiais – GAMMA

ÍNDICE Conceitos gerais sobre deformações Deformações Normais e Tangenciais Tensão Plana X Deformação Plana Equações de Transformação Deformações Principais Círculo de Mohr Extensômetros Rosetas de deformação

Motivação Projetos seguros – Técnicas numéricas e Experimentais Critério de falhas: Mises (máxima energia de distorção) Saint-Venant (máxima deformação normal)

Conceito Geral de Deformação Exemplo de uma Barra Tracionada Tensão Deformação Contexto 1D P L  P N Definição de tensão - medida de deformação (absoluta) depende do comprimento L inicial Deformação específica normal

Movimento de Corpo Rígido e Deformação do Corpo Deslocamentos: (X,Y,Z) – coordenadas iniciais de um ponto material p (x,y,z) – coordenadas finais de p após a movimentação do Corpo O deslocamento (ux, uy, uz) do ponto p é a diferença entre suas posições inicial e final: Movimento de Corpo Rígido e Deformação do Corpo u posição final x z y p posição inicial

Deformação: (X,Y,Z) – coordenadas iniciais de um ponto material p (x,y,z) – coordenadas finais de p após deformação O deslocamento (ux, uy, uz) do ponto p é a diferença entre suas posições inicial e final: A Deformação pode ser compreendida como uma quantidade geométrica que depende do movimento relativo entre os pontos de um corpo material. x z y

Deformações Dimensionais e de Forma y DEFORMAÇÕES NORMAIS Provoca Variação Volumétrica do Elemento de Volume x z DEFORMAÇÕES CISALHANTES Distorce o Elemento de Volume mas não provoca Variação Volumétrica

Conceito Geral de Deformação Considerando os Pontos A, B e C, Posicionados de forma Gerar o Sistema de Segmentos de Reta Ortogonais Dx e Dy. y B(x,y+Dy) Ao Distorcer o Sistema ABC ocorrerá Variações de Forma e Dimensionais Dando Origem ao Novo Sistema A`, B`, C... Dy Tempo t A(x,y) C(x+Dx,y) Dx x

Variações Dimensionais Conceito Geral de Deformação B’ y Tempo t’ B(x,y+Dy) a C’ Dy A’ d Tempo t Variações Dimensionais e de Forma A(x,y) C(x+Dx,y) Dx x

Conceito Geral de Deformação y+Dy+uy(x,y+Dy) B’ y uy(x,y+Dy) B(x,y+Dy) a = ?? C’ y+uy(x,y) A’ d = ?? uy(x,y) A(x,y) C(x+Dx,y) ux(x,y) ux(x+Dx,y) x+ux(x,y) x+Dx+ux(x+Dx,y) x

Conceito Geral de Deformação A(x,y) B(x,y+Dy) C(x+Dx,y) x y A’ B’ C’ a d ux(x,y) ux(x+Dx,y) uy(x,y) uy(x,y+Dy) x+ux(x,y) x+Dx+ux(x+Dx,y) y+uy(x,y) y+Dy+uy(x,y+Dy) d = [coord. X de C’] – [coord. X de A’] = [x+Dx+ux(x+Dx,y)] - [x+ux(x,y)] d = ux(x+Dx,y) - ux(x,y)+Dx = comp final a = [coord. y de B’] – [coord. y de A’] = [y+Dy+uy(x,y+Dx)] - [y+uy(x,y)] a = uy(x,y+Dy) - uy(x,y)+Dy = comp final

Conceito Geral de Deformação Deformações Normais- associadas às variações dimensionais A(x,y) C(x+Dx,y) A’ C’ d Dx A(x,y) B(x,y+Dy) A’ B’ Dy a

Deformações Normais y x z

Conceito Geral de Deformação Deformações Cisalhantes e Distorção - associadas às variações de forma Distorção Definição: Variação angular que ocorre entre dois segmentos de reta que eram originalmente perpendiculares entre si. B’ a d C’ Deformação Tangencial ou cisalhante:

Deformações Tangenciais z x y

Conceito Geral de Deformação Tensor das Deformações no contexto 2D No contexto 3D

Conceito Geral de Deformação P Conceito Geral de Deformação Considere o campo de deslocamento dado por:  x y z Deformações normais nas direções x,y e z ??? Deformações tangenciais nos planos xy, xz e yz ???

Tensões Planas X Deformações Planas

Deformações Específicas Direcionais Considere OABC e sua deformada OA’B’C’

Deformações Específicas Direcionais Deformação normal n quantificada pela lei dos cossenos para o triângulo OB’C’. Em termos das deformações específicas: Utilizando as relações trigonométricas: Deformações infinitesinais = aproximações: Termos de ordem superior desprezados Substituindo e colocando em termos de 2:

Deformações Específicas Direcionais Considere OABC e sua deformada OA’B’C’ Para a deformação tangencial, calcula-se a diferença entre os ângulos 1 e 2. Aplicando a lei dos senos ao triângulo OB’C’. Supondo deformações infinitesimais: Resolvendo para 1 e refazendo para 2: Fazendo a diferença e expressando segundo 2:

Deformações Principais Verifica-se que todas as relações para tensões planas podem ser aplicadas a deformações planas: CONVENÇÃO DE SINAIS Deformações normais que causam alongamento são + Deformações tangenciais que diminuem o ângulo entre as faces do elemento na origem das coordenadas são +

Deformações Principais – Solução via Autovalores/Autovetores Relembrando o Teorema e Cauchy Para haver ao menos 1 solução Problema de autovalor-autovetor p autovalor = def. principais n autovetor=direções principais No contexto bidimensional Cálculo dos autovetores pela substitução do autovalor Direções principais Para i=1,2 Equação do Segundo grau em p Raízes da equação: Deformações principais

Deformações Principais – Solução via Autovalores/Autovetores Determine as deformações e Direções Principais associadas as estado de deformações no contexto 2D Polinômio característico: Equação de 2º grau Deformações principais (Raízes): Direções Principais (autovetores):

Deformações Principais – Solução via Autovalores/Autovetores Determine as tensões e Direções Principais associadas as estado de deformações no contexto 3D Polinômio característico Deformações principais (Raízes): Observe que os autovetores são ortogonais Direções Principais (autovetores):

Circulo de Mohr /2 Centro: Raio:  Equação de uma circunferência De forma semelhante ao discutido para estado plano de tensões: Elevando ambas as equações ao quadrado e somando-as: /2  max  min xy max xy min Centro: Raio:  Equação de uma circunferência

Circulo de Mohr Deformações normais Convenção de sinais*: Trativa (+) Compressiva negativa(-) Plano X sofre rotação horária (+) Plano X sofre rotação anti-horário (-) Plano Y sofre rotação horária (+) Plano Y sofre rotação anti-horário (-) Deformações normais Def. de cisalhamento Convenção de sinais*: - + Y(a,b) X(c,d)

P Circulo de Mohr Determine as tensões e Direções Principais associadas as estado de deformações Y - Negativo no Círculo pois rotaciona anti-horário X - Positivo no Círculo pois rotaciona horário Positivo pois diminuiu o ângulo na origem + - I-Identificação das coordenadas de X e Y III-Determinar o centro e o Raio do Círculo de Mohr X=(1200, 450) Y=(-600, -450) IV-Traçar a circunferência II-Plotar os ponto X e Y no plano -/2

Circulo de Mohr P V-Determinar as deformações principais p1=Centro+Raio p2=Centro-Raio VI- Determinar os ângulos principais p1=½ Ângulo compreendido entre CX e Cp1 p2= p1 +90 VII-Determianr os valores extremos de /2 /2max = Raio e localizado em X=centro VIII-Planos máximos de distorção ½ Ângulo compreendido entre CX e C /2max 1= p1 +45 2= 1 +90

Strain Gauges – Princípio de funcionamento - Princípio físico - Para facilitar a medição de R, R devem ser grande. - EREs comerciais possuem em geral 120 ou 350 .  R   L  e A - EREs são bastante delgados e L adequados são conseguidos “enrolando-se” o fio várias vezes.

Strain Gauges – Princípio de funcionamento - Princípio físico - Para facilitar a medição de R, R devem ser grande. - EREs comerciais possuem em geral 120 ou 350 .  R   L  e A - EREs são bastante delgados e L adequados são conseguidos “enrolando-se” o fio várias vezes.  Vo = 0

Strain Gauges – Princípio de funcionamento - Configurações Possíveis

Extensômetros - Tipos

Extensômetros - Aplicações

Extensômetros - Rosetas Vimos anteriormente que: Desta forma podemos entender: Roseta Retangular – roseta de 45º Roseta em Delta – ângulos de 0,120 e240

P Rosetas Retangular Explique como obter as def. normais e cisalhantes associadas às direções x,y e as def. principais Como os extensômetros A e B estão alinhados com x e y Calculando-se a distorção:

P Rosetas Retangular Desta forma, realizando-se a leitura de a, b e c pode-se obter facilmente os valores de x, y e xy As deformações e direções principais são conseqüência

P Roseta em Delta Explique como obter as def. normais e cisalhantes associadas às direções x,y e as def. principais Explique como obter as def. normais e cisalhantes associadas às direções x,y e as def. principais Como os extensômetros A e B estão alinhados com x e y Resolvendo para x, y e xy

P Roseta em Delta Desta forma, realizando-se a leitura de a, b e c pode-se obter facilmente os valores de x, y e xy As deformações e direções principais são conseqüência

Rosetas