Analise sistemas LCIT usando a Transformada de Laplace MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO COORDENAÇÃO ACADÊMICA EletroEletronica Analise sistemas LCIT usando a Transformada de Laplace Prof. Luis S. B. Marques

A frequência complexa A variável complexa s é dada por: A Parte real ou frequência neperiana fornece informação a respeito da taxa de crescimento ou decrecimento da amplitude da função exponencial:

A frequência complexa A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial:

A frequência complexa A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial:

A frequência complexa A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial:

A transformada de Laplace A Transformada de Laplace é bastante utilizada para a análise de transitórios no domínio do tempo, pois permite que se leve em conta as condições iniciais do sistema A Transformada de Laplace de um sinal x(t) do domínio do tempo para o domínio da frequência é definida por:

A transformada de Laplace Exercício: Para um sinal x(t) dado determine a sua transformada de laplace.

A transformada de Laplace Use o Matlab para determinar a transformada De Laplace de algumas funções

Propriedades da transformada de Laplace

A transformada Inversa de Laplace Matlab

Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace de:

Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace de:

Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace de:

Solução de equação diferencial usando Laplace Exercício: Resolva a equação diferencial abaixo:

Função de transferência A função de transferência de um sistema é definida como a relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída e a transformada de Laplace do sinal de entrada Diagrama de blocos

Estabilidade Considerando que P(s) e Q(s) não possuem fatores em comum implica em dizer que o denominador de H(s) é idêntico a Q(s). Assim sendo, pode-se determinar a estabilidade assintótica: 1.Um sistema LCIT é assintoticamente estável se e somente se todos os polos da função de transferência H(s) estiverem no SPE. Os polos podem ser simples ou repetidos.

Estabilidade 2. Um sistema LCIT é instável se e somente se uma das condições existirem: (i)ao menos um polo da função de H(s) estiver no SPD; (ii) existirem polos repetidos de H(s) no eixo imaginário. 3.Um sistema LCIT é marginalmente estável se e somente se não existirem polos de H(s) no SPD e alguns polos não repetidos estiverem no eixo imaginário. A localização dos zeros de H(s) não são importantes na determinação da estabilidade do sistema.

Exercício: Determine a corrente i(t) no circuito abaixo, transformando o circuito para o domínio da frequência, se todas as condições iniciais forem nulas. Use Laplace e transformada inversa de Laplace.

Sistema massa-mola adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático 2a lei de newton:

Sistema massa-mola adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

Sistema massa-mola adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

Sistema massa-mola-amortecedor adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático 2a lei de newton:

Sistema massa-mola-amortecedor adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

Sistema massa-mola-amortecedor adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

Geradores de condições iniciais A corrente inicial no indutor e a tensão inicial no capacitor antes da abertura da chave é igual a:

Geradores de condições iniciais

Diagrama de blocos Diagrama de blocos de um Sistema simples com uma entrada e uma saída

Diagrama de Blocos Sistema composto de subsistemas conectados em série ou paralelo

Sistemas com realimentação

Análise de sistemas de controle A figura acima representa um sistema de controle automático de posição

Análise de sistemas de controle

Análise utilizando simulink

Análise de sistemas de controle O Ganho do amplificador igual a 7 fornece uma resposta lenta, característica de um sistema superamortecido.

Análise utilizando simulink

Análise de sistemas de controle O Ganho do amplificador igual a 16 fornece a resposta mais rápida sem oscilações, sistema com amortecimento crítico.

Análise utilizando simulink

Análise de sistemas de controle O Ganho do amplificador igual a 80 fornece a resposta rápida e oscilatória, sistema subamortecimento.

Resposta em frequência Refere-se às características de respostas de um sistema quando as entradas são senóides de várias frequências, variando de 0 até ∞. H(s) A amplitude da resposta é igual à amplitude da entrada multiplicada por , e a fase deslocada por em relação a fase de entrada. Ganho de amplitude do sistema

Resposta em frequência Exemplo: Se x(t)=5cos(10t+50)

Resposta em frequência Usando Matlab

Exercício :Determine a resposta em frequência para um atrasador ideal de T segundos

Exercício :Determine a resposta em frequência para um derivador ideal.

Exercício :Determine a resposta em frequência para um integrador ideal.

Exercício E4.14:Determine a resposta de um sistema LCIT especificado pela equação diferencial abaixo para uma entrada x(t).

Exercício :Obtenha o diagrama de bode para a seguinte função de transferência:

Dependência da Resposta em Frequência com os polos e zeros de H(s) A resposta em frequência de um sistema é basicamente a informação sobre a capacidade de filtragem do sistema A função de transferência do sistema pode ser descrita por: Z1 , Z2 , ..., ZN São os zeros de H(s) λ1 , λ2 , ..., λN São os polos de H(s)

Dependência da Resposta em Frequência com os polos e zeros de H(s) O Valor para a função de transferência para uma determinada frequência s=p O Fator p-zi é um número complexo representado por um vetor desenhado do ponto z ao ponto p.

Dependência da Resposta em Frequência com os polos e zeros de H(s) Considere o tamanho deste vetor igual a ri e considere o seu ângulo igual a Φi Então p-zi = riejΦi. Similarmente, o vetor p-λi = diejΦi

Dependência da Resposta em Frequência com os polos e zeros de H(s)

Aumento do Ganho com um polo Considere o caso de um único polo. Conectando o polo ao ponto p=jω tem-se que a distância do polo ao ponto p é igual a d. Dessa forma a amplitude de H(s) é proporcional a 1/d. Quando ω aumenta a partir de zero, d diminui progressivamente até que ω atinge ωo. Quando ω aumenta progressivamente além de ωo, d aumenta progressivamente. De acordo com a equação acima a amplitude aumenta para 0≤ω≤ωo. A amplitude diminui para ωo≤ω.

Aumento do Ganho com um polo Um polo em -α+jω0 resulta em um comportamento seletivo em frequência que aumenta 0 ganho na frequência ω0. Além disso, quando o polo se move mais para perto do eixo imaginário (quando α é reduzido) este aumento se torna mais pronunciado.+jω0 resulta em um comportamento seletivo em frequência que aumenta 0 ganho na frequência ω0.

Redução do Ganho com um zero Considere agora o efeito do zero em relação à amplitude. Um zero em -α+jω0 diminui o ganho de amplitude para esta frequência.

Redução do Ganho com um zero Um zero no eixo imaginário em jω0 irá suprimir totalmente o ganho (ganho zero) na frequência ω0 . A colocação de um polo e um zero muito próximos tenderá a cancelar o efeito um do outro na resposta em frequência. A colocação adequada de polos e zeros pode resultar em uma gama de comportamentos seletivos em frequência. Assim é possível utilizar esta característica para projetar filtros passa-baixas, passa-altas, passa-faixa e rejeita faixa.

Filtros passa-baixas Um típico filtro passa-baixas possui um ganho máximo para ω=0. Como um polo aumenta o ganho nas frequências em sua vizinhança, coloca-se um polo (ou polos) no eixo real como mostrado na figura.

Exemplo de Filtro passa-baixas

Filtros passa-faixa No filtro passa-faixa o ganho é aumentado em toda a banda passante.

Filtros passa-faixa A frequência central ou frequência de ressonância ω0 é aquela para a qual as reatâncias são iguais e se anulam, ou seja, o circuito possui função de transferência puramente real.

Filtros passa-faixa As frequências de corte superior e inferior podem ser calculadas de acordo com as equações abaixo. Fator de Qualidade

Exemplo de Filtro passa-faixa syms L R wo=1000; c=10^-6; eqn = wo==(L*c)^-0.5; solL = vpasolve(eqn,L) beta=400; R=1/(c*beta)

Filtros passa-altas

Exemplo de Filtro passa-altas