GRAFOS Prússia Rio Pregel e suas sete pontes Cidade de Könisberg A origem do estudo dos Grafos.

GRAFOS - UMA APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA DAS MATRIZES A teoria dos grafos é uma área da Matemática Aplicada que envolve matrizes, principalmente na representação de circuitos e redes de comunicação. Um grafo é um conjunto de pontos que são chamados de vértices ligados por segmentos ou curvas chamados arestas. A B C D E F G H A, B, C, D, E, F, G, H vértices. AB, BC, BF, CF, CD, DE, EF, EG, FG, GH são arestas (ligam dois vértices consecutivos) Trajeto: qualquer caminho que sai de um vértice e chega a outro vértice. Quando uma aresta apresenta uma seta, ela só pode ser percorrida na direção da seta. GFBGED é um trajeto.

Um vértice é chamado de vértice par se e B C D E F G H Um vértice é chamado de vértice par se e somente se um número par de arestas partem desse vértice. Para um número ímpar de arestas partindo do vértice, o mesmo é chamado de vértice ímpar. Note que do vértice C somente pode levar em conta o sentido CB. Isto é: ela sai do vértice C, mas não sai de B. Vértice A é ímpar – sai somente a aresta AB. Vértice B é ímpar – saem as arestas BA, BG e BF. Vértice C é ímpar – saem as arestas CB, CF e CD. Vértice D é ímpar – sai apenas a aresta DC. Vértice E é ímpar – saem as arestas ED, EF e EG. Vértice F é par – saem as arestas FE, FG, FB, FC. Vértice G é par – saem as arestas GE, GF, GB, GH. Vértice H é impar – sai apenas a aresta HG.

Um grafo é aureliano se todos os vértices forem pares. É um grafo que admite um trajeto que percorra todos os vértices, sem repetir aresta, retornando ao vértice de partida. A B C D E Em todo grafo, o número de vértices ímpares é par. A B C D E Não é um grafo aureliano. É um grafo aureliano. No vértice C, por exemplo, existem duas saídas e uma entrada ou uma saída e duas entradas. Portanto, não é possível, no final, retornar a ele. Em todos os vértices o número de saídas e de entradas são iguais. Por isso é possível sair de um vértice e retornar a ele. Um grafo é aureliano se todos os vértices forem pares.

Um grafo é hamiltoniano se apresentar apenas dois vértices ímpares. São grafos que permitem percorrer todos os vértices e arestas sem repetição, mas não é possível retornar ao vértice de partida. É um grafo hamiltoniano. É possível sair de um vértice ímpar e terminar o trajeto no outro vértice ímpar. Não é grafo hamiltoniano. Não há trajeto que permita percorrer todas as arestas sem repetir aresta. Não é grafo Aureliano. Não é grafo Aureliano. Um grafo é hamiltoniano se apresentar apenas dois vértices ímpares.

COMPRIMENTO DE UM CAMINHO Considerando cada aresta como um caminho a percorrer, define-se o comprimento de um caminho como sendo o número de arestas a serem percorridas para se deslocar de um vértice a outro. A B C D F E Exemplo: O caminho ou trajeto ABFCD tem comprimento 4 pois foram percorridas 4 arestas.

MATRIZ DE ADJACÊNCIA A cada grafo de n vértices podemos associar uma matriz M de ordem n x n chamada matriz de adjacência, tal que M = [aij]n x n, de modo que aij = k se os vértices i e j são ligados por “k” arestas e aij = 0 se os vértices i e j não são ligados. Temos, para o grafo ao lado: A B C D F E A B C D E F A 0 1 0 1 1 1 B 1 0 2 0 0 1 C 0 2 0 1 0 1 D 0 0 1 0 1 1 E 1 0 0 1 1 0 F 1 1 1 1 0 0 M = Número de arestas que ligam de B para C. A seta indica que A liga D mas D não liga A.

PROPRIEDADE DA MATRIZ ADJACÊNCIA Se A é a matriz de adjacência de um grafo e se bij é um elemento da matriz B = An, então bij é igual ao número de caminhos de comprimento "n" que ligam o vértice i ao vértice j. M = A B C D A 0 1 0 1 B 1 0 1 1 C 0 1 0 1 D 1 1 1 0 Exemplo: Um caminho de comprimento 1 ligando o vértice B ao vértice C. A B C D (BC) M2 = A B C D A 2 1 2 1 B 1 3 1 2 C 2 1 2 1 D 1 2 1 3 Três caminhos de comprimento 2 ligando o vértice B ao vértice B. (BDB – BCB – BAB) M3 = A B C D A 2 5 2 5 B 5 4 5 5 C 2 5 2 5 D 5 5 5 4 Cinco caminhos de comprimento 3 Ligando o vértice B ao vértice C. (BADC, BDBC, BABC, BCDC, BCBC)

EXERCÍCIOS A E B C D 01 – Considere o grafo ao lado: a) Determine a matriz de adjacência do grafo. A B C D E A 0 1 0 0 0 B 1 0 1 1 0 C 0 1 0 1 0 D 0 1 1 0 1 E 0 0 0 1 0 Solução: M = b) Calcule A2 e A3. Quantos caminhos de comprimento 2 ligam os vértices B e D? M2 = A B C D E A 1 0 1 1 0 B 0 3 1 1 1 C 1 1 2 1 1 D 1 1 1 2 1 E 0 0 0 0 1 M3 = A B C D E A 0 3 1 1 1 B 3 2 4 4 2 C 1 4 2 3 2 D 1 4 3 2 3 E 0 0 0 0 1 c) Quantos caminhos de comprimento 3 ligam os vértices B e D? Resposta: 4 (BABD, BCBD, BDED, BDCD)

2) A figura representa um rio que corta uma cidade 2) A figura representa um rio que corta uma cidade. As regiões A e B são duas ilhas. Por meio de 7 pontes ligam-se as regiões C e D e as ilhas A e B.  A pontes B C D a) Pode-se ou não sair de uma região (ou ilha) e retornar à mesma região (ou ilha) passando por todas as pontes sem que uma mesma ponte seja repetida? b) Justifique sua resposta usando uma das propriedades dos grafos. Solução: Adotando as regiões como vértices e as pontes como arestas (passagens) tem-se o grafo: A B D C Ligando A até B – 1 ponte Ligando B para C – 2 pontes Ligando A para C – 1 ponte Ligando A para D – 2 pontes Ligando B para D – 1 ponte. Respostas: Não. O grafo tem dois vértices ímpares. Portanto é um grafo hamiltoniano. Assim, é possível sair de um vértice ímpar (D), percorrer todas as arestas (pontes) e chegar ao outro vértice ímpar (C).Porém não é possível retornar ao vértice (região de partida), passando por todas as pontes e retornar ao vértice de partida. (O grafo não é Aureliano).

3 - Considere um pentágono e suas diagonais 3 - Considere um pentágono e suas diagonais. É possível sair de um vértice, percorrer todos os lados e diagonais e retornar ao ponto de partida sem repetir caminho? Justifique. Resposta: SIM. Todos os vértices são pares. 4 - Considere um hexágono e suas diagonais. É possível sair de um vértice, percorrer todos os lados e diagonais e retornar ao ponto de partida sem repetir caminho? Justifique. Resposta: NÃO. Existem seis vértices ímpares que são os vértices do hexágono.

5 - Apostila Pitágoras - A empresa Linhas Aéreas Airways e a única operadora de vôos no remoto pais de lslands, um pequeno arquipélago composto por ilhas. Na matriz A definida abaixo cada elemento aij é igual a 0, se não há vôo da ilha i para a ilha j e é igual a 1, se existe tal vôo. 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 A = 1 2 3 4 5 Por que os elementos da diagonal principal são iguais a zero? Resposta: não há linha de uma ilha para ela mesmo. b) Existe vôo direto da ilha 5 para a ilha 2. Resposta: SIM. Pois a52 = 1. c) E da ilha 2 para a ilha 5? Resposta: NÃO. Pois, a25 = 0. d) Se um habitante de lslands tomasse um vôo da ilha 5 para a ilha 2, poderia ele retornar de avião para a ilha 5? Nesse ultimo caso considere que ele poderia retornar passando por outras ilhas. Resposta: SIM. Usando a rota: 2345 ou 2145. e) Existe algum trajeto aéreo da ilha 3 para a ilha 2? Em caso afirmativo, qual seria esse trajeto? Resposta: SIM. 3412 ou 3452.

6 - Apostila Pitágoras - Uma rede de telefonia celular possui 5 estações transmissoras com potências diferentes. Considere a matriz abaixo:  Nela aij = 1 se a estação pode transmitir diretamente para a estação j caso contrario aij = 0. Observe que a diagonal principal é nula, porque uma estação não transmite diretamente para si mesma.  A = 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 2 2 3 1 0 2 2 2 2 0 2 1 1 0 0 2 0 2 0 1 0 2 1 1 A2 = 2 4 6 6 4 2 4 4 6 2 0 4 2 4 2 2 0 4 2 2 A3 = a) Calcule A2 e A3. b) Qual o significado da matriz A2? e da matriz A3? Resposta: A2 - quantidade de caminhos de comprimento 2, que ligam o vértice i ao vértice j. A3 – caminhos de comprimento 3 que ligam o vértice ao vértice j. c) Um sistema real de telefonia celular possui grande quantidade de transmissores. Você é capaz de perceber uma aplicação realmente prática para a multiplicação de matrizes quadradas de ordem elevadas? Resposta: a partir da análise da matriz pode-se eliminar certas ligações.

7 - Caso Van Diamont O cenário ao lado é a residência do bilionário Count Van Diamond, que acaba de ser assassinado. Sherlock Gomes (um conhecido detetive que nas horas vagas é um estudioso da Teoria dos Grafos), foi chamado para investigar o caso. O mordomo alega ter visto o jardineiro entrar na sala da piscina (lugar onde ocorreu o assassinato) e logo em seguida sair daquela sala pela mesma porta que havia entrado. O jardineiro, contudo, afirma que  ele não poderia ser a pessoa vista pelo mordomo, pois ele havia entrado na casa, passado por todas as portas uma única vez e, em seguida, deixado a casa. Sherlock Gomes avaliou a planta da residência (conforme figura acima) e em poucos minutos declarou solucionado o caso. Quem poderia ser o suspeito indicado por Sherlock Gomes? Qual o raciocínio utilizado pelo detetive para apontar o suspeito?  

O jardineiro é o suspeito. SOLUÇÃO: Considerando cada cômodo como um vértice e cada porta como Uma aresta de um grafo, temos: Vértice 1 – Bar - 2 portas (par) Vértice Quarto principal – 4 portas (par) Vértice 3 – Q. empregada – 2 portas (par) Vértice 4 – Adega – 2 portas (par) Vértice 5 – Sala principal – 4 portas (par) Vértice 6 – Piscina – 6 portas (par) Vértice 7 – Dispensa – 4 portas (par) Vértice – S. Jogos – 2 portas (par) Vértice 9 – Cozinha – 2 portas (par) Vértice 10 – Área serviço – 2 portas (par) Como todos os vértices são pares, o grafo é aureliano. Assim, é possível entrar por uma porta e sair por ela mesmo. Assim, o trajeto descrito pelo jardineiro NÃO É CORRETO, ele, no final chegaria à porta de saída. O jardineiro mente e o mordomo diz a verdade. O jardineiro é o suspeito.

PROMESSA DE CASAMENTO (cidade onde morava Josefina)  às cidades da região. O trabalho iria começar em Santana e prosseguir em continuidade, estrada após estrada, terminando, segundo explicou Tertuliano, na própria Santana. A rede de estradas é dada pela tabela a seguir, na qual a cidade de Santana  do Caixa Prego é representada pelo número 1. Tertuliano Gonçalves havia prometido casamento a Josefina das Graças. O evento deveria ser realizado, segundo ele, assim que acabasse o contrato de trabalho recém assinado com uma empresa encarregada de pavimentar toda a rede de estradas que ligava Santana do Caixa Prego Você que leu esta estória acha que Tertuliano estava sendo sincero com Josefina? Por quê? E se o itinerário 1-5-9-10 estivesse a cargo de outra empresa, estaria ele sendo sincero? RESPOSTA: não há como começar e terminar na cidade 1 sem repetir Trajeto pois tem 4 vértices ímpares (1, 5, 9, 10). Portanto, Tertuliano está enrolando Josefina. Eliminado o itenerário 1-5-9-10, todos os vértices seriam pares e teríamos Um grafo aureliano. Poder-se-ia sair de um vértice e retornar a ele mesmo.