FUNÇÃO QUADRÁTICA Prof: Iana F Audino

Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas: f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3, b = - 4 e c = 1 (completa) f(x) = x2 -1 onde a = 1, b = 0 e c = -1 (incompleta) f(x) = - x2 + 8x onde a = 1, b = 8 e c = 0 (incompleta)

Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a≠ 0, é uma curva chamada parábola, observe o desenho e seus termos:

Observações relevantes: Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: concavidade para cima concavidade para baixo

Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de vértice são: . ponto de mínimo ponto de máximo

Zero ou raízes da função Equação do 2º Grau Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , onde a ≠ 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau, para tal substituir f(x) por zero, e resolver utilizando a fórmula de Bhaskara: Temos:

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o ∆:   Quando ∆ é positivo, há duas raízes reais e distintas (toca o eixo x em dois pontos ≠);

Quando ∆ é zero, há só uma raiz real (toca o eixo x somente num ponto) Quando ∆ é negativo, não há raiz real. (não toca o eixo x)

Analisando b Se b>0 a parábola cruza o eixo y no ramo crescente.   Se b<0 a parábola cruza o eixo y no ramo decrescente.   Se b=0 a parábola cruza o eixo y no vértice.

Analisando c   Se c>o, o valor que intercepta o eixo y fica acima do eixo x Se c<o, o valor que intercepta o eixo y fica abaixo do eixo x Se c=o, o valor que intercepta o eixo y fica na origem. Analisando gráficos de função quadrática, de um modo geral: Podemos perceber que o a é responsável pela abertura da parábola Quanto menor o valor de a maior é a abertura da parábola O valor de c é o valor que intercepta o eixo y Quando b muda observa-se que o gráfico se desloca no eixo x http://www.somatematica.com.br/softOnline/Comportamento Funcoes/funcoes.html

Observe o gráfico e responda as questões abaixo: a) a __0 complete com o sinal de: > ou < Justifique:_______ b) b__0 complete com o sinal de >,< ou = Justifique:______ c) ∆__0 complete com o sinal de >,< ou = Justifique:______

Observe o gráfico e responda as questões abaixo: d) quem é o valor de c ____e onde ele está marcado no gráfico?_______________ e) quem são as raízes da função?_______ e onde elas estão marcadas no gráfico?__________ e como se encontra as raízes da função? f) Quem é o vértice?___________________ele está localizado no ponto de máximo ou de mínimo?______________

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Exemplo analise cada uma das situações a>0 , ∆>0 b>0 e c<0 c<0 significa que toca o eixo y num ponto negativo, isto é abaixo de x ∆>0 significa que o eixo x é tocado em dois pontos diferentes b>0 significa que corta o eixo no ramo que está crescendo a>0 significa que a concavidade é voltada para cima Dica: 1º Comece marcando o c, pois este ponto é fixo no eixo y 2º Marque dois pontos diferentes em x, pois são duas raízes diferentes e assim vai tocar o eixo x em dois pontos distintos 3º Faça o desenho da parábola conforme o valor de a neste caso ela é para cima.

a) A partir dos gráficos identifique para cada um dos casos se: a>0 ou a<0, ∆>0, ∆<0 ∆=0 e c<0 , c>0 ou c=0 , b>0, b<0 ou b=0 a>0 concavidade para cima ∆>0 corta o x em dois pontos distintos c=0 corta o y num número positivo b>0 corta o y no ramo que está crescendo

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Construção da Parábola 1º Construção da Parábola 1º. Etapa: encontrar as raízes (y=0 e resolva) 2º. Etapa: encontrar o vértice 3º. Etapa: traçar o gráfico conforme dica. Do vértice passar pelas raízes e o valor de c que se marca no eixo y

x²-1=0 a=1 b= -1 c=0 (incompleta) x²-1=0 x²=1 x= Raízes são -1 e +1 Exemplos: f(x)= x²-1 x²-1=0 a=1 b= -1 c=0 (incompleta) x²-1=0 x²=1 x= Raízes são -1 e +1 Vértice:

x²-1=0 a=-1 b= 2 c=-3 (completa) Exemplos: f(x)= -x²+2x-3 x²-1=0 a=-1 b= 2 c=-3 (completa) Vértice:

x²-1=0 a=1 b= 4 c=4(completa) Exemplos: f(x)= x²+4x+4 x²-1=0 a=1 b= 4 c=4(completa) -4/2=-2 Vértice:

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