Pesquisa Operacional Planejamento Programação Matemática Economia Aplicações: Otimização Minimização Sujeitos à Maximização Restrições Finalidades: Melhores opções Identificações de Gargalos Diretrizes para expansão Potenciais de aplicabilidade

1936 -Wassily Leontieff Conjunto de Equações Lineares 1939 – Kantorovick Planejamento da Produção 1940 - Frank Hitchcock Transportes 1945 – George Stigler Dieta do NY Times: Farinha de trigo , Repolho, Fígado Bovino US$ 59,88 1947 – George Dantzig Método Simplex Força Aérea dos Estados Unidos

Atualmente: - Rações - Adubos - Ligas Metálicas -Petróleo - Minérios - Transporte - Investimentos Financeiros -Localizações Industriais Compras Redes Designações

Operacionalização: Determinação dos Objetivos e Restrições: 1) Função Objetivo (o que se pretende obter) 2) Conjunto de Restrições (limitações técnicas, operacionais) Modelagem 2.1) Modelo: Representação de um sistema Matemática Programação Linear Determinação das variáveis das Função Objetivo Restrições

Modelagem Problema do Mundo Real Problema Matemático ST+2LX ≤ 40

Modelagem Problema do Mundo Real Emoções Interdependências Dúvidas Impossibilidades Soluções Não otimizadas Excesso de Informações Conseqüências Excesso de Escolhas Desorganização

Modelagem Problema do Mundo Real Problema Matemático Objetividade Coerência Otimização Emoções Excessos Desorganização

Modelagem Etapas: Problema do Mundo Real Problema Matemático Reconhecimento e Familiarização com o Problema Definição das Variáveis Definição do Objetivo Definição do Conjunto de Restrições Matematização Modelo Matemático Interpretação dos Resultados

Exemplo: Objetivo: Maximizar o Lucro na Produção de Rádios Dados: Rádio Standard: A linha de produção comporta um máximo de 24 pessoas Cada rádio consome o trabalho de 1 pessoa por dia Lucro na produção de Rádio modelo Standard R$ 30,00 Dados: Rádio Luxo: A linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas Cada rádio consome o trabalho de 2 pessoa por dia Lucro na produção de Rádio modelo Luxo R$ 40,00 Restrições Fábrica só dispõe de 40 empregados

Modelagem: Objetivo: Maximizar o Lucro na Produção de Rádios Restrições (linha Standard) A linha de produção comporta um máximo de 24 pessoas ST ≤ 24n Cada rádio consome o trabalho de 1 pessoa por dia n = 1 ST ≤ 24 Lucro na produção de Rádio modelo Standard R$ 30,00 Lucro = 30ST Lucro Máximo: 30x24 = 720

Modelagem: Objetivo: Maximizar o Lucro na Produção de Rádios Restrições (linha Luxo) A linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas LX ≤ 32n Cada rádio consome o trabalho de 2 pessoa por dia n = 1/2 LX ≤ 32/2 LX ≤ 16 Lucro na produção de Rádio modelo Luxo R$ 40,00 Lucro = 40LX Lucro Máximo: 40x16 = 640,00

Modelagem: Objetivo: Maximizar o Lucro na Produção de Rádios Lucro = 30ST + 40LX Lucro = 720+ 640 Lucro = 1360 Restrições A Fábrica só conta com 40 Funcionários e no exemplo acima são necessários 24(modelo ST) 32 (Luxo ) o que totaliza 56 funcionários! ST+2LX ≤ 40 ST ≤ 24 LX ≤ 32

Modelo: Lucro = 30ST + 40LX Função Objetivo Sujeito a: ST+2LX ≤ 40 ST ≤ 24 Restrições LX ≤ 32 Solução ótima : O modelo Standard gera um lucro maior por Trabalhador (30) do que o modelo luxo (40/2). Então Produzir o máximo de Standard e o que sobrar luxo ST +2LX ≤ 40 24 + 2LX ≤ 40 2LX ≤ 40-24 2LX ≤ 16 LX = 16/2 LX = 8 Lucro = 30 * 24 + 40 * 8 Lucro = 720 +320 Lucro = 1.040

Método Gráfico: ST+2LX ≤ 40 ST+2LX = 40 LX 20 ST + 2LX = 40 40 ST LX 20 ST + 2LX 40 40 ST

ST ≤ 24 LX 20 40 ST 24 LX ≤ 16 16

Todas as Restrições Juntas Região SIMPLEX 40 ST LX 20 40 ST LX 20 16 16 24 24

Função Objetivo: Lucro = 30ST + 40LX -40LX = 30ST –Lucro 40LX = -30ST + Lucro LX = -30ST + Lucro 40 LX = -30ST + Lucro LX = -3ST + Lucro 40 40 4 40 Y = ax+b (equação da reta) -3ST Coeficiente Angular Lucro = Coeficiente Linear 4 (Inclinação da reta) 40 (onde encontra (Relação entre os Lucros) o eixo Y)

Isolucros LX 20 Lucro = 800 26 ST LX 30 26 20 Lucro = 800 Lucro = 1040 Lucro =1200 26 35 40 ST

Melhor opção LX 30 26 20 Lucro =1200 Região Simplex Lucro = 1040 Lucro = 800 24 35 40 ST Reta mais longe da origem dentro da região Simplex ST = 24, LX = 8 e Lucro = 1040

Exemplo 2 (Minimização): O canil AWAU, dispõe de dois ingredientes para a formulação da Ração diária de seus cães o Ingrediente “A” custa R$0,03 o kg. o ingrediente “B “ custa 0,04. A composição de vitaminas dos ingredientes são apresentadas Na tabela abaixo: Composição dos Ingredientes

Necessidade Nutricional Problema: A Necessidade Nutricional por Semana dos Cachorros é Apresentada na tabela abaixo: Necessidade Nutricional

Necessidade Nutricional Informações: Custo dos Ingredientes Necessidade Nutricional Composição dos Ingredientes Objetivo: Minimizar o Custo da Ração

Definir as Variáveis do Problema Definir a Função Objetivo 1) Variável a ser Otimizada: Custo (minimização) Variáveis Básicas : A (Qtde A) , B (QtdeB). 2 Função Objetivo: Custo = 0,03A + 0,04B

Necessidade Nutricional 3 Definir o Conjunto de Restrições Necessidade Nutricional Composição dos Ingredientes Restrições: 5A + 25B ≥ 50 25A +10B ≥ 100 10A+ 10B ≥ 60 35A +20B ≥ 180

Modelo: OBJETIVO: Minimizar o custo = 0,03A + 0,04B Sujeito as seguintes restrições: 5A + 25B ≥ 50 25A +10B ≥ 100 10A+ 10B ≥ 60 35A +20B ≥ 180

3 Restrições 5A + 25B ≥ 50 B A 10 2

3 Restrições B A 10 4 25A + 10B ≥ 100

3 Restrições B B 5A + 25B ≥ 50 10 25A + 10B ≥ 100 2 A 10 A 4

3 Restrições B A 6 10A + 10B ≥ 60

3 Restrições B B 5A + 25B ≥ 50 10 25A + 10B ≥ 100 2 10 A A 4 B 10A + 10B ≥ 60 6 6 A

3 Restrições B A 9 5 35A + 20B ≥ 180

3 Restrições B B 5A + 25B ≥ 50 10 25A + 10B ≥ 100 2 10 A A 4 B B 9 35A + 20B ≥ 180 10A + 10B ≥ 60 6 6 A 5 A

3 Restrições B A 10 Região De Escolha

3 Restrições A B 10

Função Objetivo: Custo = 0,03A + 0,04B Suponha um custo qualquer por exemplo 0,36 (múltiplo de 0,03 e 0,04) 0,36 = 0,03A + 0,04B 36 = 3A +4B -4B = 3A -36 4B = -3A + 36 B = -3A + 36 4 B = -3A + 9 B A B 10 9 A 12 10

Otimização B 9 Custo = 0,36 A 10 12

Otimização B 9 Custo = 0,36 A 10 12

Otimização B 9 Custo = 0,36 1 A 5 10 12 Custo = 0,03A + 0,04B Custo = 0,03x5 +0,04 Custo = 0,19

Otimização B 9 Custo = 0,19 1 A 5 10