A APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NOS PROBLEMAS DE FÍSICA CLÁSSICA COLÉGIO FAMÍLIA STELLA GRUPO DE ESTUDOS AVANÇADOS - GEA A APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NOS PROBLEMAS DE FÍSICA CLÁSSICA PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada Definição: se uma variável y depende de outra variável x, de tal forma que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x. Exemplo Entrada x Saída y função PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada x y 1 4 2 -1 -2 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada EXEMPLOS: PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada Seja a posição x de um móvel em MRUV em função do tempo t dada pela equação Então, a posição do móvel no instante t = 1,0 s é PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada Função Linear: y a (x1,y0) y1 x1 x1-x0 y1-y0 x0 y0 (x0,y0)  x PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada com a = y0 – mx0 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada x y PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Gottfried Wilhelm Leibnz Noções de Função e Derivada NOCÕES DE DERIVADA - Origens do Cálculo -KEPLER, GALILEU, SIMON STEVIN, PIÈRRE DE FERMAT, RENÉ DESCARTES, BLAISE PASCAL .... Isaac Newton (1642 – 1727) Gottfried Wilhelm Leibnz (1646 – 1716) CRIADOR DO CÁLCULO PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada O “PROBLEMA DOS MATEMÁTICOS” Como traçar a reta tangente a uma curva dada num determinado ponto das curva? Circunferência raio P tangente 1 – A tangente em P é uma reta que passa por P, perpendicularmente ao raio por esse mesmo ponto. 2 – A tangente em P é a reta que só toca a circunferência neste ponto PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Tangente. Mas toca duas vezes a reta Noções de Função e Derivada OUTRAS CURVAS: PROBLEMAS! P Qual o raio? P Tangente? P Tangente. Mas toca duas vezes a reta PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Definindo a tangente em P: Noções de Função e Derivada y P Definindo a tangente em P: x f(x) secante y = f(x) Q x+x f(x+x) f(x+ x)-f(x) x x Logo, a secante msec é dada por PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Definindo a tangente em P: Noções de Função e Derivada y P Definindo a tangente em P: x f(x) secante Q y = f(x) f(x+x) Q1 f(x+ x)-f(x) x x x+x PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Definindo a tangente em P: Noções de Função e Derivada y = f(x) P Definindo a tangente em P: x f(x) y Q secante Q1 f(x+ x) - f(x) f(x+x) Q2 x x+x x PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada A tangente mtang é definida por secante Q f(x+x) tangente em P P f(x) x x+x PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada “PROBLEMA DOS FÍSICOS”: Como calcular a velocidade instantânea? Seja x(t) a posição de uma partícula em função do tempo t. t x(t) PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

x(t0) = posição da partícula no instante t0 Noções de Função e Derivada t x(t) t x t0+t Q x(t0+t) x(t0+t) = posição da partícula no instante t0 P t0 x(t0) x(t0) = posição da partícula no instante t0 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada Qual a velocidade (instantânea) v(t) no instante t? Paradoxo do Zenão de Eléia t x(t) P t0 x(t0) t x t0+t Q x(t0+t) PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Uma função derivável em um ponto pode ser não-derivável em outro!!!! Noções de Função e Derivada DEFINIÇÃO DE DERIVADA A derivada de uma função f é a função f´ tal que o seu valor em qualquer número x do domínio de f seja dado por se este limite existir Uma função derivável em um ponto pode ser não-derivável em outro!!!! PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada Duas Interpretações: 1- A derivada f´ de uma função é uma função cujo valor em x é a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) em x. 2 – A derivada f´ é uma função cujo valor em x é a taxa instantânea da variação de y com relação a x no ponto x. Exemplos: PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada x(t) v(t1)= 0 t1 v(t1) v(t0) 0 t0 v(t0) v(t2) 0 t2 v(t2) t PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada Exemplo usando a definição: calcule a derivada da função f(x) = 3+x2 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO Regra da Constante: para qualquer constante c x y c y = c Inclinação = 0 Regra da Potência: para qualquer número real n PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada Regra da Multiplicação por uma Constante:se c é uma constante e f(x) é uma função derivável no ponto x, cf(x) também é uma função derivável e Exemplo: seja PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada Regra da Soma: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, a soma s(x) = f(x) + g(x) também é derivável. Exemplo: seja a função f(x) = 10 g(x) = 4t h(x) = -5t 2 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada Regra da Produto: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, o produto P(x) = f(x) . g(x) também é derivável . Exemplo: seja a função f(x) = x2 g(x) =3x+1 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada Regra da Quociente: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, o quociente P(x) = f(x) / g(x) também é derivável. Exemplo: seja a função PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada Regra da Cadeia: se g(x) for derivável em x e a função f for derivável em g(x), então a função composta f o g será derivável em x, e Exemplos: a) Seja a função PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com

Noções de Função e Derivada b) Seja a função geral do tipo PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com