Agrupamentos – Combinações Colégio Jardim São Paulo Prof. Mauricio Boni
Combinações Arranjos Combinações Vamos lembrar da definição de arranjo, dada anteriormente, e vamos ver a definição de combinação: Arranjos Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados k a k, a qualquer sequência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes. Combinações Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos, tomados k a k, a qualquer subconjunto formado por k elementos distintos escolhidos entre os n existentes. A grande diferença entre os dois tipos de agrupamentos é a questão da ordem dos elementos escolhidos. Caso essa ordem seja relevante, estamos formando arranjos. Caso não seja, estaremos formando combinações.
Combinações Agora vamos calcular o número de combinações da seguinte situação: Dentre 10 pessoas selecionadas, três serão escolhidas para ganhar uma viagem. De quantas maneiras podemos fazer esta escolha? Primeiro, devemos escolher três pessoas, entre dez, ou seja, quantos trios podemos formar: => A10,3 10 9 8 Mas se escolhemos as pessoas A, B e C, ou se escolhemos as pessoas C, B e A, estamos escolhendo as mesmas pessoas e, portanto, o mesmo trio. Então estamos contando várias vezes o mesmo grupo. E a quantidade de grupos contados mais que uma vez é igual à permutação dos elementos que pertencem a este grupo. Trios formados entre as 10 pessoas (A10,3)=> 10 . 9 . 8 120 = Permutações de 3 elementos => 3!
Combinações (n-k)! Pk k!(n-k)! Cn,k = = = k!(n-k)! Cn,k = Vamos agora generalizar o resultado: Considerando um conjunto de n elementos, onde queremos formar subconjuntos de k elementos distintos, temos: n! (n-k)! An,k Pk n! k!(n-k)! Cn,k = = = k! n! k!(n-k)! Cn,k =