UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA Equações Diferenciais e Engenharia de Segurança no Trabalho - Algumas Aplicações Básicas Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS 2006

Dados de Identificação Aluno Bolsista: Deborah Marcant Silva Madalozzo Curso: Engenharia Civil Professor Orientador: Elisabeta D’ Elia Gallicchio Período de Vigência: agosto/2005 a julho/2006 Instituição: Universidade Federal do Rio Grande do Sul Unidade: Instituto de Matemática Órgão: Departamento de Matemática Pura e Aplicada Número do Processo: 05510790

Etapas do Projeto Estudo da teoria concernente aos modelos matemáticos e métodos de resolução utilizados Correlação com a área de Engenharia de Segurança Resolução analítica e computacional de problemas reais

Etapas do Projeto Estudo da teoria concernente aos modelos matemáticos e métodos de resolução utilizados Correlação com a área de Engenharia de Segurança Resolução analítica e computacional de problemas reais

Equilíbrio dos Fios Flexão de Vigas Vibrações de Vigas Estudo da teoria concernente aos modelos matemáticos e métodos de resolução utilizados Equilíbrio dos Fios Flexão de Vigas Vibrações de Vigas Cabo sujeito a cargas concentradas Cabo sujeito à carga distribuída com carregamento variável Cabo sujeito ao próprio peso Deflexão Flambagem Vibração longitudinal Vibração transversal

Equilíbrio dos Fios Flexão de Vigas Vibrações de Vigas Estudo da teoria concernente aos modelos matemáticos e métodos de resolução utilizados Equilíbrio dos Fios Flexão de Vigas Vibrações de Vigas Cabo sujeito a cargas concentradas Cabo sujeito à carga distribuída com carregamento variável Cabo sujeito ao próprio peso Deflexão Flambagem Vibração longitudinal Vibração transversal

Equilíbrio dos Fios Cabos flexíveis e correntes são elementos muito utilizados em projetos estruturais para suportar e transmitir cargas de um componente a outro. Na análise de forças atuantes nos sistemas, o peso dos cabos pode ou não ser desprezado, conforme o seu valor (baixo ou considerável) em comparação às cargas a serem suportadas. O cabo é considerado como perfeitamente inextensível e flexível.

Figura 1 – Exemplo de um cabo sujeito a cargas concentradas 1. Equilíbrio dos Fios 1.1 Cabo sujeito a cargas concentradas Quando um cabo de peso próprio desprezível suporta varias cargas concentradas, este assume a forma de vários segmentos de linha reta. A solução deste tipo de problema implica nas equações de equilíbrio de forças em cada nó (ΣFx, ΣFy, ΣMz) e noções básicas de geometria. Figura 1 – Exemplo de um cabo sujeito a cargas concentradas

1.2 Cabo sujeito à carga distribuída 1. Equilíbrio dos Fios 1.2 Cabo sujeito à carga distribuída O peso próprio do cabo é desprezível, considerando-se apenas o carregamento a que o cabo é submetido. A partir da análise do diagrama de um infinitesimal de cabo (Figura 2), seguida das equações de equilíbrio, expansões trigonométricas, simplificações, derivações e integrações, chega-se à expressão para a curva de deslocamentos de um cabo sujeito à carga distribuída: Onde: C1 e C2 são constantes, a serem determinadas com as condições de contorno do problema FH é a componente horizontal da força trativa em qualquer ponto ao longo do cabo Wo é o valor do carregamento a que o cabo está submetido quando este é constante Figura 2 – Diagrama de um infinitesimal de cabo sujeito à carga distribuída

1. Equilíbrio dos Fios 1.2 Cabo sujeito à carga distribuída - APLICAÇÃO

Figura 3 - Exemplo de um cabo sujeito a carregamento variável 1. Equilíbrio dos Fios 1.3 Cabo sujeito à carga distribuída com carregamento variável A formulação para este tipo de problema é análoga a do caso anterior (carga distribuída). Aqui o carregamento se apresenta variável ao longo do cabo. Onde: FH é a componente horizontal da força trativa em qualquer ponto ao longo do cabo W(x)=f(x) é a expressão para o carregamento Figura 3 - Exemplo de um cabo sujeito a carregamento variável

1.4 Cabo sujeito ao próprio peso 1. Equilíbrio dos Fios 1.4 Cabo sujeito ao próprio peso Na análise de forças, o peso do cabo deve ser considerado. O carregamento ao longo do cabo depende do comprimento s do arco e não do comprimento projetado x. A partir da análise do diagrama de um infinitesimal de cabo (Figura abaixo), seguida das equações de equilíbrio e de expansões trigonométricas, simplificações, derivações e integrações, decorrem às expressões que, combinadas corretamente com as condições de contorno, determinam a curva de deslocamentos de um cabo sujeito ao próprio peso: Figura 4 – Diagrama de um infinitesimal de cabo sujeito ao próprio peso

1.4 Cabo sujeito ao próprio peso 1. Equilíbrio dos Fios 1.4 Cabo sujeito ao próprio peso Expressão para o comprimento do cabo Onde: C1 e C2 são as constantes a serem determinadas com o uso das condições de contorno do problema FH é a componente horizontal da força trativa em qualquer ponto ao longo do cabo Wo é o valor do peso próprio do cabo Expressão para o comprimento do vão Expressões para a curva de deslocamento de um cabo submetido ao próprio peso

1. Equilíbrio dos Fios 1.2 Cabo sujeito ao próprio peso - APLICAÇÃO

Equilíbrio dos Fios Flexão de Vigas Vibrações de Vigas Estudo da teoria concernente aos modelos matemáticos e métodos de resolução utilizados Equilíbrio dos Fios Flexão de Vigas Vibrações de Vigas Cabo sujeito a cargas concentradas Cabo sujeito à carga distribuída Cabo sujeito à carga distribuída com carregamento variável Cabo sujeito ao próprio peso Deflexão Flambagem Vibração longitudinal Vibração transversal

Flexão de Vigas Vigas são elementos estruturais que oferecem resistência à flexão devido a cargas aplicadas Considera-se a viga como uniforme, homogênea e formada por fibras longitudinais Quando submetida à ação de uma carga, a estrutura delgada se deforma devido à sua elasticidade: a fibra que coincidia com o eixo de simetria da viga (linha imaginária que passa pelos centros de gravidade das seções transversais) se deforma segundo a curva elástica

2. Flexão de Vigas 2.1 Deflexão de vigas A Equação Diferencial de Segunda Ordem: juntamente com as condições de contorno, determinam a expressão da Curva Elástica Onde: M, o somatório dos momentos, é o Momento Fletor da secção transversal; EI é o módulo de rigidez à flexão (característico do material); e a derivada de segunda ordem é obtida do raio de curvatura da curva, dado por

2. Flexão de Vigas 2.1 Deflexão de vigas - APLICAÇÃO

2. Flexão de Vigas 2.2 Flambagem de vigas Viga vertical com carga axial P atuante na extremidade superior (Figura 6). O comportamento da estrutura é modelado através da EDO de segunda ordem, obtida com o cálculo do momento fletor para a carga aplicada: Onde: P é a carga aplicada longitudinalmente EI é o módulo de rigidez do material É a expressão da Curva Elástica, com A e B determinadas a partir das condições de contorno do problema Figura 6 – Viga disposta verticalmente com a ação de uma carga P.

2. Flexão de Vigas 2.1 Flambagem de vigas - APLICAÇÃO

Equilíbrio dos Fios Flexão de Vigas Vibrações de Vigas Estudo da teoria concernente aos modelos matemáticos e métodos de resolução utilizados Equilíbrio dos Fios Flexão de Vigas Vibrações de Vigas Cabo sujeito a cargas concentradas Cabo sujeito à carga distribuída Cabo sujeito à carga distribuída com carregamento variável Cabo sujeito ao peso próprio Deflexão Flambagem Vibração longitudinal Vibração transversal

Vibrações de vigas A vibração transversal, ao contrário da longitudinal, é facilmente percebida: o deslocamento de pessoas sobre uma ponte suspensa é um bom exemplo de vibração transversal. Na análise de vibrações, os primeiros modos de freqüência são os mais importantes uma vez que apresentam as maiores amplitudes.

3.1 Vibração longitudinal 3. Vibrações de Vigas 3.1 Vibração longitudinal A equação para a vibração longitudinal de uma estrutura é obtida a partir do equilíbrio dinâmico de um elemento infinitesimal na direção x (Figura abaixo) E a carga, a partir da Lei de Hooke, dada por Dão origem à Equação Diferencial Parcial de Segunda Ordem válida para (0<x<L, t>0) e que pode ser resolvida com o Método de Separação de Variáveis. Figura 7 – Diagrama de um infinitesimal de viga para análise do equilíbrio dinâmico Onde: C2 = E/r , E é o módulo de Young r é a massa específica do material

3. Vibrações de Vigas 3.1 Vibração longitudinal de vigas - APLICAÇÃO

3. Vibrações de Vigas 3.2 Vibração transversal A equação para a vibração transversal de uma estrutura é obtida a partir do equilíbrio dinâmico de um elemento infinitesimal na direção x (Figura abaixo) Da Segunda Lei de Newton (com algumas substituições e simplificações), decorre a Equação de Euler-Bernoulli: válida para (0<x<L e t>0) e que pode ser resolvida com o Método de Separação de Variáveis: Figura 8 – Diagrama de um elemento infinitesimal para o equacionamento do equilíbrio dinâmico Onde: c2 = EI/Ar , com: r : massa específica do material A: área da seção transversal

3. Vibrações de Vigas 3.2 Vibração transversal de vigas - APLICAÇÃO

Etapas do Projeto Estudo da teoria concernente aos modelos matemáticos e métodos de resolução utilizados Correlação com a área de Engenharia de Segurança iii. Resolução analítica e computacional de problemas reais

Correlação com a área de Engenharia de Segurança (Empresa Colaboradora: MR Engenharia Empreendimentos e Consultorias Ltda) A importância dos cabos de aço no canteiro de obras Síntese da palestra: “Ordem de Serviço: Pedreiro”

A importância dos cabos de aço no canteiro de obras As linhas de vida, usadas em serviços periféricos, se apresentam ora fixadas em pilares, ora em tubos suportes. Tubo suporte é uma haste cilíndrica de aço, fixada na base e apoiada nas lajes que atravessa. A modelagem usual, para o tubo suporte, considera a divisão dos esforços em: horizontais, pressupondo a deflexão da barra como similar à de uma estrutura delgada, sujeita a uma força concentrada; verticais, como a flambagem na estrutura, causada por cargas axiais.

1. A importância dos cabos de aço no canteiro de obras Figura 9 – Cabo de aço sujeito ao próprio peso

1. A importância dos cabos de aço no canteiro de obras Figura 10 – Cabo de aço sujeito ao próprio peso

1. A importância dos cabos de aço no canteiro de obras Figura 11 – Cabo de aço sujeito ao próprio peso e a cargas concentradas (mosquetão)

1. A importância dos cabos de aço no canteiro de obras Figura 12 – Tubo suporte sujeito a esforço inclinado

2. Síntese da palestra: “Ordem de Serviço: Pedreiro” Figura 13 – Ata palestra do dia 08.02.2005

Etapas do Projeto Estudo da teoria concernente aos modelos matemáticos e métodos de resolução utilizados Correlação com a área de Engenharia de Segurança Resolução analítica e computacional de problemas reais

Deslizamento de cabo sobre roldana Resolução analítica e computacional de problemas reais Correias flexíveis Deslizamento de cabo sobre roldana Deslocamento horizontal sobre plataforma delgada

Correias Flexíveis Dispositivos de transporte vertical no canteiro de obras como o guincho em coluna e andaimes móveis, como o Suspenso Mecânico

1. Correias Flexíveis 1.1 Correias flexíveis - APLICAÇÃO

2. Deslizamento de Cabo sobre Roldana 2.1 Deslizamento de cabo sobre roldana - APLICAÇÃO

Agradecimentos Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS MR Engenharia Empreendimentos e Consultorias Ltda, em especial à Eng.ª de Segurança no Trabalho Maria Regina Pereira Buss Professora Orientadora Elisabeta D’ Elia Gallicchio Professores do Curso de Engenharia Civil que colaboraram com a pesquisa

Referências ARTICOLO, G. Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V. ACADEMIC PRESS, New York, US, 1998. ASMAR, N. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems. Prentice-Hall Inc., New Jersey, US, 2000. AYRES, Frank Jr., Equações Diferenciais, Coleção Schaum, 1ª ed, Rio de Janeiro, ed. Livro Técnico S.A., 1952. CHOPRA, Anil K., Dynamics of Structures Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice-Hall Inc., New Jersey, US, 1995. CLAEYSSEN,J., GALLICCHIO, E., TAMAGNA, A., Sistemas Vibratórios Amortecidos, Porto Alegre, Editora da UFRGS, 2004.

Referências INMAN, Daniel J., Engineering Vibration, Prentice-Hall Inc.,New Jersey, US, 1996 MERIAN, James L., Mecânica: estática, 4ª. ed., Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1999. MERIAN, James L., Mecânica: dinâmica, 4ª. ed., Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1999. THOMSON, Willian T., Teoria da vibração com aplicações, Editora Interciência, Rio de Janeiro, 1978. WHITE, Richard N.,GERGELY, Peter, SEXSMITH, Robert G., Structural Engineering - Introduction to Design Concepts and Analysis, V. 1, Canada, John Willey & sons Inc, 1972.