Medidas de Dispersão Aula 8

Introdução As medidas de tendência central não são suficientes para caracterizar totalmente uma sequência numérica. Exemplo: X: 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10. Y: 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13. Z: 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13. Nos 3 casos, média igual a 13, porém são séries completamente distintas.

Medidas de Dispersão As principais medidas de dispersão absolutas são: Amplitude Total, Desvio médio simples, Variância, Desvio Padrão. Focaremos na variância e desvio padrão.

Desvio médio simples O conceito estatístico de desvio corresponde ao conceito matemático de distância. O desvio médio simples (DMS) é definido como sendo uma média aritmética dos desvios de cada elemento da série para a média da série.

Desvio médio simples 1º Caso - Dados Brutos: Exemplo: Calcule o DMS para a sequência X: 2, 8, 5, 6 Média = 5,25 DMS = 1,75

Variância e Desvio Padrão No caso do DMS necessita-se do módulo para que a diferença entre o valor de x e a média possam ser consideradas distância. Outra forma de se conseguir tornar essa diferença sempre positiva ou nulas é considerar o quadrado destas diferenças. Se substituimos por temos a variância. Desvio Padrão é a raiz da variância

Variância e Desvio Padrão 1º Caso – Dados Brutos: Se a sequência representa uma população, a variância é igual: Se a sequência representa uma amostra, a vriância é igual:

Variância e Desvio Padrão Exemplo: Calcule a variância e o desvio padrão para a sequência – X: 4, 5, 8, 5. Média = 5,5 Variância = 2,25 Desvio Padrão = 1,5 unidades.

Variância e Desvio Padrão 2º Caso – Variável Discreta: Como existe repetição na série, precisamos ponderar a série: No caso de População, a variância é: No caso de amostra, a variância é:

Variância e Desvio Padrão Exemplo: Calcule a variância para a série abaixo: Média = 3,65 Variância = 0,9275 Desvio Padrão = 0,988 Xi fi 2 3 5 4 8

Variância e Desvio Padrão 3º caso: Variável Contínua Neste caso, como desconhecemos o valor de “x” existentes dentro do intervalo, utilizaremos o ponto médio de cada intervalo. Variância no caso de População Variância no caso de Amostra

Variância e Desvio Padrão Exemplo: Dado a seguinte variável contínua Calcule a variância e o desvio padrão, no caso de desta variável representar uma população e no caso de representar uma amostra Variância= 10,24 e desvio padrão=3,2 Variância= 11,38 e desvio padrão=3,373 1 12 16 4 5 8 12 3 4 8 2 0 4 fi Intervalo de classe Classe

Interpretação do desvio padrão No cálculo da variância, quando elevamos o quadrado da diferença entre a média e o valor de x, a unidade de medida também fica elevada ao quadrado: Se a medida é em metros : variância é em metros ao quadrado Se a medida é em litros: a variância é em litros ao quadro Assim, o valor da variância não pode ser comparado com os dados da série: Variância não tem interpretação.

Interpretação do desvio padrão O desvio padrão supre essa questão de interpretação: tem sempre a mesma unidade de medida da série. Quando uma curva de frequência representativa da série é perfeitamente simétrica (distribuição normal), podemos tirar algumas conclusões: Este espaço contem aproximadamente 68% dos valores da série X Aproximadamente 95% Aproximadamente 99%

Interpretação do desvio padrão Exemplo: se uma série tem média = 100 e desvio padrão = 5 X 68% 95% 99% 85 90 95 105 110 110 100

Exercícios 1º) Calcule a variância e o desvio-padrão para o número de acidentes diários, observados em um cruzamento, durante 40 dias (amostra): Interprete os valores obtidos Nº acidentes Nº de dias 30 1 5 2 3 4 Resp: Var=0,87 Dp: 0,93 Var – não tem interpretação, desv. Padr – 68% (0 e 1,38), 95% (0 e 2,31), 99% (0 e 3,24)

Exercícios 2º) Calcule a variância e o desvio padrão para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos (Amostra). Interprete os valores obtidos Resp: var=2446,72 Dp=49,46 Classe Consumo por nota R$ Nº de notas 1 0 50 10 2 50 100 28 3 100 150 12 4 150 200 5 200 250 6 250 300 Dp – 68%(37,58 e 136,50), 95%(0 e 185,96) , 99%(0 e 235,42)