Prof. Roberto Cristóvão robertocristovao@gmail.com Aula 14 Os Testes da Comparação

O Teste de Comparação Suponha que e sejam séries com termos positivos. Se for convergente e para todo então também será convergente. (i) Se for divergente e para todo então também será divergente.

Observação Ao usar o Teste de Comparação, devemos, claro, ter algumas séries conhecidas para o propósito de comparação.

Exemplo 1 Determine se a série converge ou diverge. Solução: Note que é uma série geométrica Com e e é, portanto convergente. Note ainda que Logo pelo Teste de Comparação a série dada converge.

Exemplo 2 Determine se a série converge ou diverge.

Solução Para grande, o termo dominante no denominador é ; assim, comparamos a série dada com a série Note que pois o lado esquerdo tem um denominador maior.

Solução Sabemos que é convergente porque é uma constante vezes uma p-série com p=2>1. Portanto é convergente pelo Teste de Comparação.

Exemplo 3 Teste a série quanto a convergência ou divergência. Solução: Note que para e assim Sabemos que (série harmônica) é divergente. Então a série dada é divergente.

Observação Considere a série A desigualdade não é útil para ser usada com o Teste de Comparação, porque é convergente e

Teste de Comparação no Limite Suponha que e sejam séries com termos positivos. Se onde é um número finito e então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem. .

Exemplo 4 Teste a série quanto a convergência ou divergência. Solução: Usamos o Teste de Comparação no Limite com e obtemos

Exemplo 4 Como esse limite existe e é uma série geométrica convergente, a série dada converge.

Exemplo 5 Determine se a série converge ou diverge. Solução: A parte dominante do numerador é e a parte dominante do denominador é Isto sugere tomarmos

Exemplo 5 Como é divergente (p- série com p=1/2<1), a série dada diverge.

Estimando Somas Para a série de comparação consideremos o resto correspondente Como para todo temos

Exemplo 6 Use a soma dos 100 primeiros termos para aproximar a soma da série Estime o erro envolvido nessa aproximação. Solução: Como a série dada é convergente pelo Teste de Comparação. Já vimos a estimativa do resto

Exemplo 6 Portanto, o resto para a série dada satisfaz Com , temos Usando uma calculadora programável ou um computador, encontraremos que

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