História da Matemática no Ensino Fundamental Prof. Ilydio Sá PPGEB CAp/UERJ História da Matemática no Ensino Fundamental Prof. Ilydio Sá

Respostas das atividades da aula 2 (Vídeo de 21:20 min a 37:09 min) 1) Nas tábuas de argila com registros de problemas matemáticos dos Babilônicos, há um problema que pede a área de um dos quatro círculos inscritos num quadrado de lado medindo 60 unidades, como na figura abaixo. Qual o valor dessa área? R 4R = 60, logo, R = 15 unidades S =  . R2 ou  . 152 = 225  unidades quadradas

2) Quatro rolos de paus de canela, mais 20 gins, mais dois rolos e 10 gins, correspondem a um mana. O mana correspondia a 60 gins, logo, quanto pesava, em gins, o rolo de paus de canela? Solução: 4 rolos + 20 gins + 2 rolos + 10 gins = 1 mana 6 rolos + 30 gins = 1 mana = 60 gins, logo 6 rolos = 30 gins ou ainda 1 rolo de pau de canela = 5 gins 3) Por que o número 111, escrito no sistema sexagesimal dos Babilônicos, corresponde ao número 3661 do nosso sistema decimal de numeração? Solução: 111(60) = 1 + 1.60 + 1.602 = 3661

ÁREA TOTAL = 64, LOGO, LADO = 8. ACARRETA X = 5 3) Um dos grandes legados da matemática babilônica foi, além do sistema sexagesimal de numeração, a solução de equações quadráticas para problemas cotidianos e com respostas inteiras e positivas. No vídeo da BBC há uma demonstração de como resolviam o problema de encontrar as dimensões de um retângulo, de área igual a 55 unidades quadradas, onde um dos lados mede 6 unidades a mais do que o outro. Como eles resolviam esse problema? Descreva a técnica que eles usavam usando a moderna linguagem da álgebra.   ÁREA = 55 X + 3 ÁREA = 9 X

Solução algébrica x. (x + 6) = 55 ou x2 + 6x = 55 ou ainda x2 + 6x + 9 = 55 + 9 = 64, o que acarreta (x + 3)2 = 64 ou x + 3 = 8 ou x = 5.

Há indicações, ainda que não comprovadas devidamente, que os Babilônicos conheciam o teorema de Pitágoras cerca de 1000 anos antes dos gregos. No vídeo há indicações sobre algum conhecimento que eles possuíam sobre os números ou ternos pitagóricos. Prove que se x, y e z constituem um terno pitagórico, então nx, ny e nz, sendo n um número inteiro positivo, também será um terno pitagórico. Solução: Pela hipótese, temos x2 + y2 = z2 . Precisamos agora provar que o mesmo ocorrerá com nx, ny e nz. Vejamos: (nx)2 + (ny)2 = n2x2 + n2y2 ou, colocando n2 em evidência, teremos n2 . (x2 + y2) o que acarreta n2 z2

b) Prove que x2 – y2; 2xy e x2 + y2, sendo x, y e z números inteiros, geram ternos pitagóricos. Obtenha os ternos pitagóricos para x = 2 e y = 1 e para x = 3 e y = 2. Solução: Temos que provar que (x2 + y2)2 = (x2 – y2)2 + (2xy)2 x4 +2x2y2 + y4 = x4 – 2x2y2 + y4 + 4 x2y2 = x4 +2x2y2 + y4 Para x = 2 e y = 1, teremos o terno pitagórico: 22 – 12; 2.2.1 e 22 + 12, ou seja: 3, 4, 5. Para x = 3 e y = 2, teremos o terno pitagórico: 32 – 22; 2.3.2 e 32 + 22, ou seja: 5, 12, 13.

6) Usando o método geométrico/algébrico de completar os quadrados, resolva: x2 + 100 x – 7500 = 0 Solução: x2 + 100 x = 7500 ou x2 + 100 x + 2500 = 7500 + 2500 ou (x + 50)2 = 10 000 = 1002 x + 50 = 100 ou x + 50 = -100, acarretando S = {-150, 50}