Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 204 - ANO 2017 Intervalo de Confiança Camilo Daleles Rennó camilo@dpi.inpe.br http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/

Intervalo de Confiança Um parâmetro pode ser estimado através de um único valor (estimador pontual) X f(x)  ? Qual a probabilidade de que tenha exatamente o valor de  ? X1, X2, ..., Xn amostra (improvável) Uma alternativa é definir um intervalo de estimativas mais prováveis de acordo com a distribuição teórica da estatística (estimador), que é uma v.a. Para isso, é necessário conhecer esta distribuição

Intervalo de Confiança para  amostra aleatória distribuição desconhecida,  desconhecido, mas 2 conhecido Se : Se n for grande (ou seja, adotando-se o TLC): mesmo não se conhecendo a distribuição de X X f(x)  ? X1, X2, ..., Xn amostra f( ) 

Intervalo de Confiança para  distribuição desconhecida,  desconhecido, mas 2 conhecido se X tiver distribuição normal ou n for grande (TLC) - + (Normal Padrão) valores mais freqüentes

Intervalo de Confiança para  distribuição desconhecida,  desconhecido, mas 2 conhecido se X tiver distribuição normal ou n for grande (TLC) Z (Normal Padrão) - + -z z nível de significância nível de confiança IC para m

Intervalo de Confiança para  Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média m também desconhecida e variância s2 = 16. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral. Construa um IC de 95% para m supondo que - + 95% z -z 2,5% ?

Intervalo de Confiança para  - + z

Intervalo de Confiança para  Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média m também desconhecida e variância s2 = 16. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral. Construa um IC de 95% para m supondo que - + 95% z -z 2,5% ? Como poderia obter intervalos de confiança mais estreitos, ou seja, com limites mais próximos da média verdadeira? 1,96 diminuindo-se o nível de confiança aumentando-se o tamanho da amostra

Como Interpretar o IC para ? Suponha uma v.a. X normalmente distribuída com  = 10 e 2 = 4 Sorteia-se 50 valores aleatoriamente e calcula-se . Em seguida determina-se o IC para  com 95% de confiança, ou seja (O IC varia para cada amostra!!!) Através de simulações, foram gerados inúmeros IC, um para cada amostra...  não contém  ! Interpretação: 95% dos possíveis IC obtidos a partir de uma amostra de tamanho 50, conterão de fato a verdadeira média  (ver IC.xls)

Intervalo de Confiança para 2 Antes de construir o Intervalo de Confiança para 2, é preciso apresentar a distribuição Qui-quadrado, que é a base para a construção desse IC.

Distribuição 2 + + (lê-se qui-quadrado) g > 2 g  2 + g > 2 + g  2 (lê-se: X tem distribuição qui-quadrado com g graus de liberdade) Propriedades: a) se , então b) se , então

Distribuição 2 +

Distribuição 2 +

Distribuição 2 amostra aleatória Se (a distribuição da população deve ser normal!) Substituindo-se  por tem-se que (perde-se 1 grau de liberdade) mas

Intervalo de Confiança para 2 2 + IC para 2

Intervalo de Confiança para 2 Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição normal com média m e variância s2 desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a variância amostral. Construa um IC de 95% para s2 supondo que s2 = 2,34. + ? ?

Distribuição 2 +

Intervalo de Confiança para 2 Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição normal com média m e variância s2 desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a variância amostral. Construa um IC de 95% para s2 supondo que s2 = 2,34. + ? ? 12,40 39,36

Graus de liberdade De modo geral, pode-se entender “grau de liberdade” como o número de valores que, no final de um cálculo de uma estatística, estão “livres para variarem”, ou seja, que têm o comportamento de variáveis aleatórias. Por exemplo: deseja-se avaliar os desvios em torno da média a partir de uma amostra de 3 valores retirados de uma população normalmente distribuída. Amostra: ( é conhecida) Quais são os valores possíveis de serem obtidos nesta amostra? R: Neste caso, posso escolher “livremente” quaisquer 3 valores entre - e + -3,5 ? 0,5 100,9

Graus de liberdade Agora, se  é desconhecido e o substituímos por ... Amostra: Como então Assim, ao se escolher os dois primeiros valores, o terceiro é necessariamente conhecido. Neste caso, perde-se 1 grau de liberdade -1,5 ? 0,1 1,4 As perdas de graus de liberdade acontecem sempre que um parâmetro é substituído por seu estimador

Intervalo de Confiança para  com 2 desconhecida Para construir o Intervalo de Confiança para  com 2 desconhecida, é necessário apresentar uma nova distribuição chamada t de Student.

Distribuição t de Student tg - + (lê-se: X tem distribuição t de Student com g graus de liberdade) Propriedades: a) se e então b) se então

Distribuição t de Student - t +

Distribuição t de Student amostra aleatória Se (a distribuição da população deve ser normal!) Lembrete:

Intervalo de Confiança para  com 2 desconhecida  e 2 desconhecidos T - + -t t IC para m

Intervalo de Confiança para  com 2 desconhecida Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição normal com média m e variância s2 desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral e a variância amostral. Construa um IC de 95% para m supondo que e s2 = 16. - + 95% t -t 2,5% ?

Distribuição t de Student - t +

Intervalo de Confiança para  com 2 desconhecida Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição normal com média m e variância s2 desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral e a variância amostral. Construa um IC de 95% para m supondo que e s2 = 16. - + 95% t -t 2,5% ? 2,064

Intervalo de Confiança para proporção p Numa urna, há N bolas, sendo K vermelhas e N – K azuis. Assim, pode-se dizer que K/N representa a proporção p de bolas vermelhas na urna (que por sua vez, representa a probabilidade de se selecionar uma bola vermelha desta urna). Mas se N e K são desconhecidos, como estimar p? Considere que n bolas são escolhidas ao acaso (com reposição), definindo-se Y como o número de bolas vermelhas entre as n selecionadas, qual a distribuição de Y? Y ~ Binomial(n, p) Xi ~ Bernoulli p = P(Xi = 1) Proporção Amostral (se n é grande)

Intervalo de Confiança para proporção p Z - + z -z IC para p

Intervalos de Confiança (Resumo) para  se 2 é conhecida se 2 é desconhecida para 2 para p

Intervalos de Confiança (Resumo) Observações importantes: Os ICs são construídos a partir de uma estatística que relaciona o estimador pontual ao seu parâmetro; Para se conseguir ICs mais estreitos, conservando-se o mesmo nível de confiança, deve-se aumentar o tamanho da amostra; Caso o IC seja utilizado para verificar se o parâmetro para o qual o IC foi construído tem um determinado valor, deve-se aceitar qualquer valor presente dentro do intervalo, considerando o nível de confiança adotado; Ex: se o IC para  for P(20,3 <  < 43,8) = 95%  pode ser 30? SIM* considerando 95% de confiança  pode ser 21? SIM  pode ser 45? NÃO “não se pode negar que ela seja 30” ou “não se pode afirmar que a verdadeira média  não seja 30”