Opcoes Características básicas Precificações de opções Cap 21 Livro texto (Adm. Financeira – Ross)

Opções “ Uma opcao e um contrato que da a seu titular o direito de comprar ou vender um ativo a um preco prefixado em certa data ou antes disso. (Ross, 2008)

VOCABULARIO : Exercicio da opcao – E o ato de compra ou venda do ativo-objeto por meio do contrato de opcao. Preco de exercicio - E o preco fixado no contrato de opcao, ao qual o titular pode comprar ou vender o ativo objeto. Data de vencimento – Data a partir da qual a opcao nao existe mais, ou expira. Opcao americana – Pode ser exercida a qualquer momento, ate a data de vencimento. Opcao europeia – So pode ser exercida na data de vencimento.

Opções “ Há basicamente dois tipos de opções: calls (opções de compra) e puts (opções de venda). Na opção de compra, o detentor (titular ou comprador da opção) tem o direito de comprar um ativo em certa data por determinado preço. Na opção de venda, o detentor tem o direito de vender um ativo em certa data por determinado preço.” (HULL, 1996)

Opções “O preço do contrato (valor futuro pelo qual o bem será negociado) é conhecido como o preço de exercício (strike price ou exercise price) e sua data (o dia em que a posição será exercida) é conhecida como data de vencimento (expiration date, exercise date ou maturity).” (HULL, 1996)

Prêmio “ Ao se adquirir uma opção, o investidor deve pagar um prêmio cujo valor é definido pelas forças de oferta e procura de mercado” (Assaf, 2003)

Os principais fatores que afetam os prêmios das opções Preço do ativo subjacente O tempo até o vencimento Volatilidade

Opções “Uma opção americana pode ser exercida a qualquer momento, ate a data de vencimento. Uma opção europeia difere de uma opcao americana no sentido de que so pode ser exercida na data de vencimento.” (ROSS, 2008)

Opções 1- Uma opção no dinheiro (At the money): preço de exercício = o preço à vista 2- Uma opção dentro do dinheiro (in the money): uma opção lucrativa se exercida imediatamente. 3- Uma opção fora do dinheiro (out of money): uma opção não lucrativa se exercida imediatamente. (EITEMAN, 2002)

Opções (I) Titular de uma opção de compra Lançador de uma opção de compra (II) Titular de uma opção de venda Lançador de uma opção de venda

Opções 30 20 10 -5 40 50 60 70 Lucro (US$) Preço final da ação (US$) (Perda limitada) (Lucro ilimitado) O lucro resultante da aquisição de uma opção européia de compra de uma ação da IBM. Preço da opção=US$5; preço de exercício=US$40. (HULL, 1996)

Opções -30 -20 -10 5 Lucro (US$) 10 20 30 40 50 60 70 Preço final da ação (US$) (Perda ilimitada) (Lucro limitado) O lucro resultante do lançamento de uma opção européia de compra de uma ação da IBM. Preço da opção=US$5; preço de exercício=US$40. (HULL, 1996)

Opções Lucro (US$) 30 20 Preço final da ação (US$) 10 -7 10 20 30 40 50 60 70 80 O lucro resultante da aquisição de uma opção européia de venda de uma ação da Exxon. Preço da opção=US$7; preço de exercício=US$70. (HULL, 1996)

Opções Lucro (US$) Preço final da ação (US$) 5 40 50 60 70 80 90 100 -10 -20 -30 O lucro resultante do lançamento de uma opção européia de venda de uma ação da Exxon. Preço da opção=US$7; preço de exercício=US$70. (HULL, 1996)

comprar vender call put Retorno Retorno Sr Sr X X Retorno Retorno Sr (HULL, 1996)

Principais modelos de precificação de opções Modelo Binomial Modelo Black-Scholes

Uma Introdução às Árvores Binomiais - Um passo - Dois passos

Um Modelo Binomial Simples O preço de um ativo é atualmente $20 Em 3 meses ele será $22 ou $18 Preço do ativo = $22 Preço do ativo = $20 Preço do ativo = $18

Uma Opção de Compra Preço da ação = $22 Valor da opção = $1 Considere uma opção de compra sobre o ativo com vencimento em 3 meses e preço de exercício de 21. Preço da ação = $22 Valor da opção = $1 Preço da ação = $20 Preço da opção = ? Stock Price = $18 Valor da opção = $0

Montagem de uma Carteira sem Risco Considere a carteira: x ações (long) 1 opção (short) A carteira é sem risco quando: 22x – 1 = 18x ou x = 0,25 22x – 1 18x

Avaliação da Carteira (rf=12%) Carteira sem risco: 0,25 ação (long) 1,00 opção (short) O valor da carteira em 3 meses é 22´0,25 – 1 = 4,50 ou 18´0,25 = 4,50 O valor da carteira hoje é: 4,5e – 0,12´0,25 = 4,3670 Ou 4,5/(1+12,75%)0,25 = 4,3670 Onde : 0,12 e a tx. de juros livre de risco e 0,25 e o tempo em anos. ℮^(0,25 * 0,12) e o juro continuo no tempo.

Avaliando a Opção A carteira composta por 0,25 ações (long) 1,00 opção (short) vale R$ 4,367 O valor monetário das ações é R$ 5,000 (= 0,25´20 ) O valor da opção deve ser R$ 0,633 (= 5,000 – 4,367 )

Calculando… Suponha que a opção de compra valha R$ 1,00 Eu posso emitir uma opção por R$ 1,00, tomar R$ 4,00 emprestado e comprar 0,25 ações por R$ 5,00 No vencimento, se a ação subir, minha carteira valerá: 0,25x22 - 1 - 4x(1+12,75%)0,25 = 0,378 Se a ação cair, minha carteira valerá: 0,25x18 - 4x(1+12,75%)0,25 = 0,378

Metodo do Risco Neutro Su = 22 ƒu = 1 p S ƒ Sd = 18 ƒd = 0 (1 – p ) Como p é a probabilidade neutra ao risco: 20e0.12 ´0.25 = 22p + 18(1 – p ); p = 0.6523 Ou poderíamos utilizar a fórmula diretamente: Sd = 18 ƒd = 0 (1 – p )

Avaliando a Opção Su = 22 ƒu = 1 0.6523 S O valor da opção é: ƒ Sd = 18 ƒd = 0 S ƒ 0.6523 0.3477 O valor da opção é: e–0.12´0.25 [0.6523´1 + 0.3477´0] = 0.633

Árvores Binomiais

Opcao Dois Passos Árvore binomial: 24.2 22 Neste exemplo cada cada passo e Trimestral. 20 22 18 24.2 19.8 16.2

Opção de Compra 20 1.2823 22 18 24.2 3.2 19.8 0.0 16.2 2.0257 A B C D E F X = 21 Em B = e–0.12´0.25(0.6523´3.2 + 0.3477´0) = 2.0257 Em A = e–0.12´0.25(0.6523´2.0257 + 0.3477´0) = 1.2823 Obs. A probabilidade é a mesma a cada passo porque sempre temos os mesmos T, u e d.

Opção de Venda X=52 r = 5% Passo = 1 ano Exercício: a) Calcule u e d b) Calcule as probabilidades neutras ao risco c) Calcule o payoff ao final de 6 meses d) Calcule o valor do derivativo em cada nó 50 60 40 72 48 32 A B C D E F

Opção de Venda a)u e d 72 60 48 50 u = 60/50 = 72/60 = 1,2 X=52 r = 5% Passo = 1 ano a)u e d u = 60/50 = 72/60 = 1,2 d = 40/50 = 32/40 = 0,8 50 60 40 72 48 32 A B C D E F

Opção de Venda 72 60 48 50 40 32 D b) Probabilidades neutras ao risco X=52 r = 5% Passo = 1 ano b) Probabilidades neutras ao risco p = (erT - d)/(u - d) = 0,628 (1 - p ) = 0,372 50 60 40 72 48 32 A B C D E F

Exemplo com Opção de Venda r = 5% Passo = 1 ano c)Payoffs 50 60 40 72 48 4 32 20 A B C D E F

Exemplo com Opção de Venda r = 5% Passo = 1 ano d) p = 0,628 (1 - p) = 0,372 B: e-0,05x1(0,628x0 + 0,372x4) = 1,415 C: e-0,05x1(0,628x4 + 0,372x20) = 9,463 50 60 40 72 48 4 32 20 A B C D E F

Exemplo com Opção de Venda X=52 r = 5% Passo = 1 ano 50 4.1923 60 40 72 48 4 32 20 1.4147 9.4636 A B C D E F

Delta Delta (D) é a razão de variação no preço da opção em relação à variação no preço do ativo subjacente: O valor de D varia de nó para nó

Modelo Binomial na prática Hipótese subjacente: retornos independentes e identicamente distribuídos distribuídos (distribuição normal)

O limite do modelo Binomial e a fórmula de Black-Scholes A fórmula binomial pode ser estendida a uma forma temporal contínua, dividindo-se sua vida, T anos, em um número cada vez maior de intervalos, n, até que n se aproxime do infinito. No limite, o modelo binomial se aproxima do de Black-Scholes.

Hipóteses gerais do Modelo Black and Scholes Nao ha penalidades o restricoes para vendas a descoberto; Custos de transacao e impostos sao iguais a zero; A opcao e europeia; A acao não paga dividendos; O preco da acao S segue um passeio aleatório; O preco da acao e continuo; O retorno da acao tem distribuicao lognormal; Assume-se que este retorno seja normalmente distribuído com média mDt desvio padrão

O Retorno Esperado Duas possíveis definições: m é a média aritmética dos retornos realizados em pequenos intervalos de tempo m – s2/2 é o retorno esperado da capitalização contínua das taxas de retorno. m é uma média aritmética m – s2/2 é uma média geométrica

Volatilidade A volatilidade é calculada pelo desvio padrão da taxa de retorno capitalizada continuamente ao longo de 1 ano.

Calculando a Volatilidade de Dados Históricos 1. Tome as observações S 0, S 1, . . . , Sn medidas a cada fração de período t. 2. Defina o retorno composto continuamente como: 3. Calcule o desvio padrão amostral st dos valores ui 4. A estimativa da volatilidade é:

Hipóteses do Modelo de Black & Scholes O preço da opção e o preço do ativo dependem da mesma fonte de incerteza; Sempre é possível, a qualquer instante, montar uma estratégia de arbitragem para aproveitar erros de precificação; A volatilidade é constante durante o período; A distribuição dos retornos é normal;

Fórmulas B&S A função N(x) é a função de probabilidade cumulativa para uma variável padronizada normal

Onde : X - Preço de exercício da opção; S - Preço atual do ativo subjacente (acao); r - Taxa de juro livre de risco capitalizada continuamente; s - Volatilidade dos retornos; T - Prazo em anos até o vencimento da opção (vida da opção); c - valor do call; N(d) - Probabilidade de que uma variavel aleatoria com distribuicao normal padronizada tenha valor menor ou igual a d.

A paridade entre call e put c + Xe-rT = p +S

n = número de passos em um ano O calculo do u e d u = es * [(T/n)^0,5] d = 1/u n = número de passos em um ano

Exemplo da fórmula de Black e Scholes O preço de uma ação, seis meses antes da expiração da opção, é R$ 42; o preço de exercício da opção da acao é R$40; a taxa de juro livre de risco é de 10% ao ano; e a volatilidade é 20% ao ano. Entao : S=42; X=40; r=0,1; volatilidade=0,2; T=0,5. Calcule o valor da opção de compra e o valor da opção de venda ?.

Usando a fórmula de Black e Scholes c=42*N(0,7693)-38,049*N(0,6278) c= 4,76