Propriedades das Proporções
1ª Propriedade Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro (ou para o quarto) 𝒂 𝒃 = 𝒄 𝒅 ⇒ 𝒂+𝒃 𝒂 = 𝒄+𝒅 𝒅 𝒆 𝒂+𝒃 𝒃 = 𝒄+𝒅 𝒅 𝒂 𝒃 = 𝒄 𝒅 ⇒ 𝒂−𝒃 𝒂 = 𝒄−𝒅 𝒄 𝒆 𝒂−𝒃 𝒃 = 𝒄−𝒅 𝒅
Exemplos 3 2 = 6 4 ⇒ 3+2 3 = 6+4 6 ⇒ 5 3 = 10 6 Note que pela propriedade fundamental 5 . 6 = 3. 10 = 30. 2) 3 2 = 6 4 ⇒ 3−2 2 = 6−4 4 ⇒ 1 2 = 2 4 Mais uma vez , pela propriedade fundamental, temos: 1.4 = 2.2
2ª Propriedade Em toda proporção, a soma (ou a diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. 𝒂 𝒃 = 𝒄 𝒅 ⇒ 𝒂+𝒄 𝒃+𝒅 = 𝒂 𝒃 e 𝒂+𝒄 𝒃+𝒅 = 𝒄 𝒅 𝒂 𝒃 = 𝒄 𝒅 ⇒ 𝒂−𝒄 𝒃−𝒅 = 𝒂 𝒃 e 𝒂−𝒄 𝒃−𝒅 = 𝒄 𝒅
Exemplos 1) 3 2 = 6 4 ⇒ 3+6 2+4 = 3 2 ⇒ 9 6 = 3 2 pois, 9.2=6.3 2) 3 2 = 6 4 ⇒ 6−3 4−2 = 3 2 ou 6−3 4−2 = 6 4
Exercícios Determine x e y na proporção 𝑥 𝑦 = 5 3 , sabendo que x + y = 32 Solução: Aplicando a primeira propriedade, temos: 𝑥 𝑦 = 5 3 ⇒ 𝑥+𝑦 𝑥 = 5+3 5 . Como x + y = 32, temos: 32 𝑥 = 8 5 ⇒8.𝑥=32.5⇒𝑥=20 e portanto, y=12.
Exercícios 2) Determinar os números a, b e c, não nulos, sabendo que 𝑎 3 = 𝑏 5 = 𝑐 2 e a+b+c=120. Solução: Aplicando as propriedades das proporções: 𝑎 3 = 𝑏 5 = 𝑐 2 ⇒ 𝑎+𝑏+𝑐 3+5+2 = 𝑎 3 = 𝑏 5 = 𝑐 2 Como a + b + c = 120, temos: 120 10 = 𝑎 3 = 𝑏 5 = 𝑐 2 ou 12 1 = 𝑎 3 ⇒𝑎=36, 12 1 = 𝑏 5 ⇒𝑏=60, 12 1 = 𝑐 2 ⇒ 𝑐=24