M.M.C (Mínimo Múltiplo Comum) e M.D.C (Máximo Divisor Comum)

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ( M.M.C. ) MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ( M.M.C. ) {0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,...} M (6) = {0,6,12,18,24,30,36,42,...} M.M.C. ( 4,6 ) = 12

1° modo Ex.: M.M.C (120, 144) = 24. 32 . 5 = 720 M.M.C. Fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes. 120 2 144 2 60 2 72 2 30 2 36 2 15 3 18 2 5 5 9 3 1 3 3 23. 3 . 5 1 24. 32

2° modo Ex.: M.M.C. (120,144) 720 = 2 4. 3 2 . 5 = 120, 144 2 60, 72 2 30, 36 2 15, 18 2 15, 9 3 5, 3 3 5, 1 5 1, 1 2 4. 3 2 . 5

MÁXIMO DIVISOR COMUM DIVISOR ( M.D.C. ) M.D.C. (36, 24) = 12 {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D (24) = M.D.C. (36, 24) = 12

Apenas os fatores comuns com os 1° modo: Ex.: a) M.D.C. (100, 120) = 22. 5 = 20 100 2 120 2 M.D.C. Apenas os fatores comuns com os menores expoentes. 50 2 60 2 25 5 30 2 5 5 15 3 1 5 5 22. 52 1 23. 3 . 5

b) M.D.C (9, 4) = 1 9 3 4 2 3 3 2 2 1 1 32 22 OBS: M.D.C (4, 9) = 1 Logo: 4 e 9 são primos entre si

Deve-se fatorar apenas pelos fatores comuns. 2° modo Ex.: M.D.C (120, 144) = 2 3. 3 = 24 120, 144 2 M.D.C. Deve-se fatorar apenas pelos fatores comuns. 60, 72 2 30, 36 2 15, 18 3 5, 6 23. 3

3° modo: divisões sucessivas Ex.: M.D.C (170, 72) 2 2 1 3 3 2 = M.D.C 170 72 26 20 6 2 26 20 6 2

Exemplos: 1) Considere o conjunto de todos os números naturais maiores que 100 e que, divididos por 2, por 3, por 4, por 5 e por 6, deixam sempre resto 1. A soma dos dois menores elementos desse conjunto é: a) 258 b) 284 c) 298 d) 302

Divididos por 2 M (2) = { 0, 2, 4, 6, 8, ...} Divididos por 3 M (3) = {0, 3, 6, 9, 12, ...} Divididos por 4 M (4) = {0, 4, 8, 12, ...} Divididos por 5 M (5) = {0, 5, 10, 15, ...} Divididos por 6 M (6) = {0, 6, 12, 18, ...} M.M.C. (2, 3, 4, 5, 6 ) = 60 RESPOSTA: LETRA D M (60) = {0, 60, 120, 180, ...} Os dois primeiros maiores que 100 : 120 e 180 Com restos 1: 121 e 181 Soma = 302

2) Dividindo 62, 137 e 87 pelo mesmo número natural x, obtemos restos 2, 5 e 3, respectivamente. Quais são os possíveis valores de x?

62 x 2 60 x 60 = 2 2. 3 . 5 132 = 2 2. 3 . 11 137 x 5 132 x 84 = 2 2. 3 . 7 M.D.C. = 2 2. 3 84 x 87 x 3 MDC ( 60 , 132 , 84 ) = 12 Divisores de 12 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 } 6 ou 12

Exercícios: Questão 01 Uma caixa retangular tem, internamente, 30 cm de comprimento, 18 cm de largura e 12 cm de altura. Pretende-se encher completamente essa caixa, usando-se apenas cubos. Qual o menor número de cubos iguais necessários?

18 cm 12 = 2 2. 3 18 = 2 . 3 2 30 = 2 . 3 . 5 12 cm M.D.C. = 2 . 3 30 cm 6 cm M.D.C. ( 30 , 18 , 12 ) = 6 cm 5 3 2 N° de cubos

Questão 02 Tenho mais de 150 livros e menos que 360. Contando-os de 8 em 8, de 10 em 10 ou de 12 em 12, sobram sempre 5 livros. Quantos livros tenho? a) 180 b) 240 c) 245 d) 360

M.M.C. (8, 10, 12) = 120 Sobram 5 livros 240 + 5 = 245 8 = 23 10 = 2 . 5 12 = 22.3 M.M.C. = 23. 3 . 5 MÚLTIPLOS (120) = {120, 240, 360, ...} Sobram 5 livros 240 + 5 = 245 RESPOSTA: LETRA C

Questão 03 O maior número pelo qual se deve dividir 1647 e 1325 para se obter os restos 7 e 5 respectivamente é um número : a) divisor de 40 b) múltiplo de 3 c) divisível por 7 e por 5 d) primo

x é o maior divisor comum. 1647 x 1640 x 7 1325 x 1320 x 5 Obs : x é um divisor comum. x é o maior divisor comum. 1320 = 23. 3 . 5 . 11 M.D.C (1320, 1640) = 40 1640 = 23. 5 . 41 M.D.C. = 23. 5 RESPOSTA: LETRA A

Questão 04 Numa competição, dois nadadores partem juntos e prosseguem atravessando a piscina de uma margem à outra , repetidas vezes. O primeiro gasta 26 segundos e o segundo gasta 24 segundos para fazer o mesmo percurso. Quanto tempo decorrerá até que eles cheguem simultaneamente à mesma margem de onde partiram? a) 12 min 30 seg. b) 10 min 24 seg. c) 14 min. d) 11 min 10 seg.

52 seg 52 = 22. 13 48 seg 48 = 24. 3 M.M.C. = 24. 3 . 13 M.M.C (48, 52) = 624 seg = 10 min e 24 seg RESPOSTA: LETRA B