Álgebra Linear Diagonalização de Operadores Prof. Paulo Salgado psgmn@cin.ufpe.br

Sumário Diagonalização de Operadores Polinômio Minimal

Diagonalização de Operadores Objetivo: Encontrar uma base no espaço vetorial na qual a matriz de um determinado operador linear seja a mais simples possível

Base de Autovetores Dado um operador linear T:VV, nosso objetivo é conseguir uma base  de V na qual a matriz do operador nessa base ([T]) seja uma matriz diagonal que é a forma mais simples possível de se representar uma transformação => a b c d x 0 0 y

Base de Autovetores Teorema: Autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes. Corolário: Se V é um espaço vetorial de dimensão n e T:VV é um operador linear que possui n autovetores distintos, então V possui uma base cujos vetores são todos autovetores de T Em outras palavras, se conseguirmos encontrar tantos autovetores distintos quanto for a dimensão do espaço, podemos garantir a existência de uma base de autovetores Ex: Em T:R2R2 a base terá dim = 2 e pode ser encontrado 2 autovetores distintos

Base de Autovetores Sejam λ1, λ2 autovalores, λ1 ≠ λ2, e v1, v2 autovetores associados aos autovalores λ1 e λ2, respectivamente. Prova: v1e v2 são LI. Seja a1v1 + a2v2 = 0. Apliquemos a transf. T - λ2I. É necessário usar a linearidade de T e lembrar que T(vi) = λivi e Ivi = vi (T(a1v1) - a1v1λ2I) + (T(a2v2) - a2v2λ2I) = 0 a1(T(v1) - λ2v1) + a2(T(v2) - λ2v2) = 0 a1(λ1v1 - λ2v1) + a2(λ2v2 - λ2v2) = 0 a1(λ1 - λ2)v1 + a2(λ2 - λ2)v2 = 0 ou a1(λ1 - λ2)v1 = 0 Como v1 ≠ 0 e λ1 ≠ λ2, determinamos que a1 = 0. O mesmo acontece para T - λ1I, portanto v1 e v2 são LI.

Base de Autovetores -3 4 -1 2 [T] = Exemplo 1: Seja T:R2R2 o operador linear definida por T(x, y) = (-3x+4y, -x + 2y) cuja matriz em relação à base canônica  {(1, 0),(0, 1)} é: queremos encontrar uma base  de autovetores, se possível, e ainda observar de que tipo é a matriz [T] -3 4 -1 2 [T] =

Base de Autovetores -3- 4 det = 0 -1 2- Cont. Exemplo: 1 Cálculo dos autovalores e autovetores: -3- 4 -1 2- det = 0 2 +  - 2 = 0  1 = 1 e 2 = -2 1 = 1  v1 = (y, y) 2 = -2  v2 = (4y, y)

Base de Autovetores Cont. Exemplo 1: Como temos dois autovalores diferentes podemos garantir, a existência de uma base de autovetores Lembrando que estamos no R2 e dim R2 = 2 Temos dois autovetores associados a 1 e 2 Com eles podemos formar os vetores v1 = (1, 1) e v2 = (4, 1) os quais formam uma base em R2 Isto é, o espaço admite uma base  = {v1, v2} formada por autovetores de T Calculemos [T] ....

Base de Autovetores 1 0 0 -2 Exemplo 1: Como, por definição: Cont. Exemplo 1: Como, por definição: T(v1) = 1v1 = 1v1 + 0.v2 = 1.v1 + 0.v2 T(v2) = 2v2 = 0.v1 + 2.v2 = 0.v1 - 2.v2 Então: [T] = Observando que a matriz em relação à base de autovetores é diagonal 1 0 0 -2

Base de Autovetores 3 0 -4 0 3 5 [T] = 0 0 -1 Exemplo 2: Seja T:R3R3 o operador linear cuja matriz em relação à base canônica  é: p() = det([T] - I) = (3 - )2(-1 - ) 1 = 3 e 2 = -1 Observe que 1 = 3 tem dupla multiplicidade 3 0 -4 0 3 5 0 0 -1 [T] =

Base de Autovetores Exemplo 2: Cont. Exemplo 2: Para 1 = 3 temos v = (x, y, 0)  [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] v1 = (1, 0, 0) v2 = (0, 1, 0) Para 2 = -1 temos v = (z, -5z/4, z)  [(1, -5/4, 1)] v3 = (1, -5/4, 1) Então  = {v1, v2, v3} é uma base de R3 constituída de autovetores de T e T(v1) = 1v1 = 1v1 + 0.v2 + 0.v3 = 3.v1 + 0.v2 + 0.v3 T(v2) = 2v2 = 0.v1 + 2.v2 + 0.v3 = 0.v1 + 3.v2 + 0.v3 T(v3) = 3v3 = 0.v1 + 0.v2 + 3.v3 = 0.v1 + 0.v2 - 1.v3

Base de Autovetores 3 0 0 0 3 0 [T] = 0 0 -1 Cont. Observe que, dada a dupla multiplicidade, 1 aparece duas vezes 3 0 0 0 3 0 0 0 -1 [T] = Novamente, temos uma matriz diagonal...

Base de Autovetores Não é por acaso que as duas matrizes dos exemplos anteriores são diagonais Dada uma transformação linear qualquer T:VV, se conseguirmos uma base  = {v1, v2,..., vn} formada por n autovetores de T, então, como: T(v1) = λ1v1 + 0.v2 + .... + 0.vn T(v2) = 0.v1 + λ2.v2 + .... + 0.vn .... T(vn) = 0.v1 + 0.v2 + .... + λn.vn A matriz [T] será uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são os autovalores λi

[T] = Base de Autovetores λ1 0 ... 0 0 λ2 ... 0 ... ... .... ... λ1 0 ... 0 0 λ2 ... 0 ... ... .... ... 0 0 ... λn [T] = 15

Base de Autovetores Definição: T:V→V um operador linear. Dizemos que T é um operador diagonalizável se existe uma base de V cujos elementos são autovetores de T Os exemplos 1 e 2 anteriores são diagonalizáveis 16

Base de Autovetores 3 -3 -4 0 3 5 [T] = 0 0 -1 Exemplo 3: Seja T:R3→R3 o operador linear cuja matriz em relação à base canônica  é: p(λ) = (3 - λ)2(-1 - λ) Para λ1 = 3  v1 = (x, 0, 0) ou [(1, 0, 0)] Para λ2 = -1  v2 = (-z/16, -5z/4, z) ou [(-1, -20, 16)] Nesse caso, temos apenas dois autovetores LI não podendo formar uma base de R3 Logo T não é diagonalizável 3 -3 -4 0 3 5 0 0 -1 [T] = 17

Polinômio Minimal Definição: Seja p(x) = anxn + .. + a1x + a0 um polinômio e A uma matriz quadrada. Então p(A) é a matriz: p(A) = anAn + .. + a1A + a0I onde I é a matriz identidade Quando p(A) = 0, dizemos que o polinômio anula a matriz A 18

Polinômio Minimal Exemplo: -1 4 2 1 -1 4 2 1 -1 4 2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 p(x) = x2 – 9, q(x) = 2x + 3 A = -1 4 2 1 -1 4 2 1 -1 4 2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 p(A) = - 9. = -1 4 2 1 1 0 0 1 1 8 4 5 q(A) = 2. + 3. = Logo, p(x) anula A e q(x) não anula A 19

Polinômio Minimal Definição: Seja A uma matriz quadrada. O polinômio minimal de A é um polinômio m(x) = xk + ak-1xk-1 + ... + a0 Tal que: i) m(A) = 0, i.e., m(x) anula a matriz A ii) m(x) é o polinômio de menor grau dentre aqueles que anulam A Observe que ak = 1 20

Polinômio Minimal Teorema: Sejam T:V→V um operador linear e  uma base qualquer de V de dimensão n: Então T é diagonalizável se, e somente se, o polinômio minimal de [T] é da forma m(x) = (x – λ1)(x – λ2).... (x – λk) Com λ1, λ2, ..., λk distintos 21

Polinômio Minimal Teorema de Cayley-Hamilton: Seja T:V→V um operador linear,  uma base de V e p(x) um polinômio característico de T: Então: p([T]) = 0 Isto significa que o polinômio característico é um candidato a polinômio minimal porque ele satisfaz a condição (i) da definição de polinômio minimal 22

Polinômio Minimal Exemplo: No caso de uma matriz 2x2: Seja Então o polinômio característico é: p(λ) = det - λ. = (a– λ)(d – λ) - bc Fazendo λ = [T], temos: a b c d a b c d 1 0 0 1 23

Polinômio Minimal Exemplo: 1 0 0 1 a b c d 1 0 0 1 a b c d 1 0 0 1 0 0 Cont. Exemplo: p([T]) = (a - )(d - ) - - bc = 1 0 0 1 a b c d 1 0 0 1 a b c d 1 0 0 1 0 0 24

Polinômio Minimal Teorema: As raízes do polinômio minimal são as mesmas raízes (distintas) do polinômio característico Com esses dois teoremas, sabemos que o polinômio minimal deve ser de grau menor ou, no máximo, igual ao do polinômio característico e deve ter as mesmas raízes 25

Polinômio Minimal Exemplo: Seja T:V→V um operador linear e  uma base de V. Suponhamos que o polinômio característico de T seja: p(λ) = (λ – 3)2(λ – 1)3(λ + 5) Então seu polinômio característico será um dos polinômios p(λ) = (λ – 3)r(λ – 1)s(λ + 5), 1  r  2, 1  s  3 Como o polinômio minimal é o de menor grau, verificamos primeiro para r = s = 1 Se p1([T]) = 0, então ele é o minimal, senão testamos o próximo 26

Polinômio Minimal Teorema: Sejam λ1, λ2, ..., λr os autovalores distintos de um operador linear T. Então T será diagonalizável se, e somente se o polinômio: (x - λ1)(x – λ2).... (x - λr) anular a matriz de T. 27

Polinômio Minimal Exemplo: O operador linear T:R4→R4 definido por T(x, y, z, t) = (3x – 4z, 3y – 5z, -z, -t) é diagonalizável? Solução:  = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} [T] = Polinômio característico: p(λ) = det([T] - λI) = (3 - λ)2(-1 - λ)2 3 0 -4 0 0 3 -5 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 28

Polinômio Minimal Cont. Exemplo: Tanto λ1 = 3 quanto λ2 = -1 têm multiplicidade 2 Então os candidatos a polinômio minimal são: p1(x) = (x - 3)(x + 1) p2(x) = (x - 3)2(x + 1) p3(x) = (x - 3)(x + 1)2 p4(x) = (x - 3)2(x + 1)2 Testem em casa... Testando, temos que p1([T]) = 0 Logo, ele é o polinômio minimal (o de menor grau) 29

Polinômio Minimal Exemplo: Assim, T é diagonalizável Cont. Exemplo: Assim, T é diagonalizável Isto é, existe uma base  de autovalores e, nesta base: [T] = 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 30

Diagonalização de Operadores Exemplo: (Exercício 1) Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis? a) A = b) B = a) Det = 0 => (1-λ)(a-λ) = 0 λ = 1, a - 1 ≠ 0 => a ≠ 1 b) Det = 0 => (1-λ)(1-λ) = 0 λ = 1,Nenhum a torna B diagonizável 1 1 0 a 1 a 0 1 1-λ 1 0 a-λ 1-λ a 0 1-λ 31

Hoje vimos... Diagonalização de Operadores

Exercícios Sugeridos 1 3 5 33

A Seguir... Produto Interno Putz, de novo! 34