(41)3340 1714 debmatematica@gmail.com Lucimar Donizete Gusmão Renata Cristina Lopes Equipe de Matemática DEB/SEED/PR debmatematica@gmail.com (41)3340 1714

REPRESENTAÇÕES GEOMÉTRICAS: “A QUESTÃO DA VISUALIZAÇÃO ”

Educação do Olhar Este minicurso tem como foco o trabalho com o conteúdo de Geometrias e procura enfatizar a importância do olhar e da visualização na aquisição do conhecimento em matemática. As reflexões, as atividades e as discussões propostas pretendem propiciar um modo de ver a imagem além do olhar.

Objetivos Propiciar o desenvolvimento visual no aluno; Relacionar os conceitos geométricos e a visualização de imagens; Reconhecer e evidenciar a importância da leitura e compreensão de texto e imagens em situações-problema.

Justificativa Um dos caminhos apontados por pesquisadores para o ensino da matemática é relacionar conteúdos e áreas do conhecimento. Assim, relacionar matemática e arte, geometria e visualização de imagens pode ser uma forma de encaminhamento que contribui para a aprendizagem de conhecimentos matemáticos e, permite ainda, a educação do olhar, ou seja, o desenvolvimento visual no aluno.

MATEMÁTICA E ARTE São duas disciplinas presentes no currículo escolar da Educação Básica que além de estimularem a sensibilidade, a percepção, a intuição, a imaginação, contribuem para a construção de conceitos como: simetria, razão, proporção, equilíbrio, repetição, regularidade, continuidade, entre outros. Esses elementos são fundamentais para o ensino da geometria.

Vivemos em um mundo de imagens Vivemos em um mundo de imagens.Fazer uso das mesmas no ensino de matemática pode ser um diferencial para propiciar um ensino significativo e uma aprendizagem mais consistente.

Vivemos em um mundo de imagens

Você conhece a logomarca da Empresa automobilística Renault? Exemplo ... Você conhece a logomarca da Empresa automobilística Renault? Faça a representação da imagem.

Ver além do olhar...

Discussão O que você vê? O que você lê? Que leitura você faz a partir dessa imagem? Que elementos matemáticos é possível explorar a partir dessa imagem?

Algumas observações... Quando “olho” a imagem vejo o todo e posso dar uma resposta rápida a partir do meu referencial; Se o aluno só conhece o “losango” ele não perceberá a tridimensionalidade da figura; Educar o olhar exige adquirir conhecimentos (instigar o aluno a ver).

Construir a faixa de Moebius Pegue uma tira de papel retangular; Antes de colar as bordas, dê uma pequena torção na faixa è180º.

Aplicações 14

A faixa de Moebius é um tipo especial de superfície onde não há lado de dentro ou de fora, ou seja, nela só há um lado e uma única borda que é uma curva fechada. A tal faixa foi descoberta pelo astrônomo e matemático alemão August Ferdinand Moebius (1790- 1868).

Em termos matemáticos a faixa de Moebius é definida como uma superfície não-orientável, o que significa dizer que uma linha perpendicular ao plano não tem a mesma direção em todos os pontos da superfície. Seu estudo deu origem a um ramo da Matemática que chamamos de Topologia. A Topologia estuda os espaços topológicos e é considerada uma extensão da geometria.

O Enigma de Kaspar Hauser http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debase r/singlefile.php?id=22258

Linguagem Duarte Jr. (2005), coloca que Conjunto de símbolos convencionados pela sociedade para representar ao homem as coisas e as relações entre elas. Pela linguagem aprendemos a ordenar o mundo numa estrutura significativa e adquirimos as “verdades” da comunidade onde deveremos viver.

A linguagem se constitui na ferramenta primordial do homem para a construção mundo. Toda compreensão lógica e racional somente é possível através da linguagem e de seus derivativos (como a lógica formal e a linguagem matemática).

A linguagem matemática Pode ser definida como um sistema simbólico, com símbolos próprios que se relacionam segundo determinadas regras, os quais, devem ser compreendidos pela comunidade que o utiliza.

A apropriação desse conhecimento é indissociável do processo de construção do conhecimento matemático. Está compreendido, na linguagem matemática, um processo de “tradução” da linguagem natural (o Português) para uma linguagem formalizada específica dessa disciplina (GRANELL, 2003 APUD LORENSATTI, 2009).

A leitura de textos que tenham como objeto, conceitos e procedimentos matemáticos, história da matemática, ou reflexões sobre Matemática, seus problemas, seus métodos, seus desafios podem, porém, muito mais que orientar a execução de determinada técnica, agregar elementos que não só favoreçam a constituição de significados dos conteúdos matemáticos, mas também colaborem para a produção de sentidos da própria Matemática e de sua aprendizagem pelo aluno (FONSECA E CARDOSO APUD LORENSATTI, 2009).

A leitura tanto de textos como de imagens nas aulas de Matemática pode ser pensada como uma prática de ensino.

Ao ler um texto, muitas vezes, os alunos não dão importância às imagens que ele apresenta, pois não houve um cuidado do professor de chamar a atenção dos alunos de que essas não são meramente ilustrativas e que trazem informações importantes acerca do assunto abordado. Este encaminhamento pode contribuir para o início do desenvolvimento da visualização de maior amplitude do texto por parte dos alunos.

A leitura de uma imagem de acordo com Pillar (2006, p. 12), pode ser: a leitura de um texto, de uma trama, de algo tecido com formas, cores, texturas, volumes.

Observação do cenário Esta é uma vista de cidadezinha do interior. Observando atentamente pode- se saber qual a hora, o dia e o mês da cena. Como?

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A Cena se passa às 20h10min, numa quinta feira, 24 de fevereiro. Solução do problema: A Cena Uma das sistematizações foi encaminhada pelo professor Carlos Alexandre S. Souza do Colégio Agrícola Estadual Manoel Ribas do município de Apucarana – PR. Resposta: A Cena se passa às 20h10min, numa quinta feira, 24 de fevereiro.

A leitura de imagens nas aulas de matemática é possível! Leitura de Imagem A leitura de imagens nas aulas de matemática é possível! As imagens são fontes de informações e possuem elementos de sensibilização que permitem ao professor ensinar o conteúdo escolar de forma diferenciada e dinâmica.

A leitura e o desenho de figuras geométricas planas e espaciais, pode ser instigada por meio da visualização. Essas atividades são capacidades inerentes às disciplinas de matemática e arte, mas que precisam ser trabalhadas para o desenvolvimento dessa percepção.

Padrão - Pi – Linguagem Matemática http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debase r/singlefile.php?id=19774

Explorando a visualização e a representação de figuras no espaço Atividade 1 Quantas caixinhas sobram após encher completamente a caixa vazia? (CUNHA, 2009)

(Faça uma discussão entre os colegas) Qual a ideia mental realizada nessa atividade 1? Ou, por quais caminhos se deve seguir para resolver essa questão? (Faça uma discussão entre os colegas)

Leitura e visualização A importância da leitura e da visualização, especificamente no ensino da geometria, é fundamental, pois o indivíduo passa a ter controle sobre o conjunto das operações mentais básicas exigidas no trato da geometria ao praticar o exercício da visualização dos objetos geométricos (KALEFF, 2003).

O conjunto das operações mentais pode possibilitar ao aluno na visão de Kaleff (2003): - Reconhecer que algumas propriedades de um objeto (real ou imagem mental) são independentes de características físicas, como tamanho, cor e textura;

- Produzir imagens mentais de um objeto e visualizar suas transformações e movimentos; - Relacionar um objeto a uma representação gráfica ou a uma imagem mental dele mesmo; - Comparar vários objetos, suas representações gráficas ou suas imagens mentais para identificar semelhanças e diferenças entre eles.

Kaleff (2003) salienta que, o fato de os objetos geométricos pertencerem ao mundo das ideias e, ao mesmo tempo, terem sua origem no mundo físico e representarem abstrações de objetos materiais, apresenta uma ambiguidade que gera uma grande dificuldade para os alunos.

Em geral, os estudantes: [...] não percebem que os objetos geométricos são abstratos e que mesmo ao observarem o desenho de uma figura geométrica no livro texto ou no quadro-negro, ou mesmo sua imagem na tela do computador, estão, na realidade, vendo apenas uma representação do objeto geométrico (KALEFF, 2003, p. 16).

Material Concreto O material concreto pode ser um instrumento viável para mediar o trabalho de passagem dos objetos do mundo físico para suas representações simbólicas ou vice-versa, e, ainda, para auxiliar os alunos a pensar na maneira como eles interagem e interpretam as diferentes situações geométricas. (CUNHA, 2009)

Sobre isso Kaleff (2003) coloca que o modelo concreto pode servir de representação para gerar uma imagem mental. Os alunos podem aprender usando a realidade dos sentidos e não apenas as palavras, e também pela criação de objetos pedagógicos passíveis de ser manuseados, na sala de aula, por professores e alunos.

A Matemática relacionada ao trabalho com materiais concretos não encerra os objetivos de aprendizagem. É necessário que os alunos ultrapassem este estágio para que possam alcançar a abstração. O diálogo entre alunos e professores pode auxiliar na passagem das experiências concretas para o raciocínio matemático abstrato.

As atividades 2, 3, 4 e 5 foram adaptados (CUNHA, 2009)

Atividade 2 - Dobrando e Triplicando - Com o auxílio dos cubinhos disponíveis, dobre e triplique todas as dimensões (comprimento, largura e altura) das figuras abaixo. Depois, faça o desenho da representação (da figura montada) e calcule: a) Perímetro do topo (vista superior) b) Área do topo (vista superior) c) Área da superfície c) Volume

Em cada figura dobre e triplique e faça os cálculos solicitados 1) 3) Em cada figura dobre e triplique e faça os cálculos solicitados 2) 4)

24 9 54 27 Figura Perímetro do topo (em unidade) Área do topo (em unidades quadradas) Área da superfície (em unidades quadradas Volume (em unidades cúbicas) 1) 4 1 6 faces Dobrado 8 4x2 1x 22 24 (6 faces x 22 ) 1x 23 Triplicado 12 4x3 9 1x32 54 (6 x 32) 27 1x33

2) 6 2 10 Dobrado 12 6x2 8 2x 22 40 10 x 22 16 2x23 Triplicado 18 6x3 2 x 32 90 10 x 32 54 2 x 33

3) 8 3 14 Dobrado 16 (8x2) 12 (3x4 = 3x 22) 56 (14 x 22) 24 (3x 23) Triplicando 8x3 27 (3x32) 126 (14x 32) 81 (3x33)

4) 10 4 18 Dobrado 20 2x10 16 4x22 72 18 x 22 32 4 x 23 Triplicando 30 3x10 36 4x32 162 18x32 108 4x33

O objetivo da atividade 2: Evidenciar as diferenças entre perímetro, área e volume de figuras. A superação de frequentes confusões relacionadas ao cálculo de perímetros, áreas e volumes é fundamental para o desenvolvimento de capacidades espaciais.

O uso de cubinhos unitários permite a participação ativa dos estudantes pela manipulação dos objetos. Além disso, o modelo concreto auxilia o desenvolvimento do raciocínio espacial, uma vez que seu uso aproxima, significativamente, o modelo representativo do espaço tridimensional propriamente dito.

Atividade 3: O Problema de Pintura de Faces Deseja-se pintar as faces visíveis (externas) de cubinhos unitários sempre após a união gradativa de mais um cubinho na direção horizontal. A figura a seguir mostra como devemos proceder.

→ Um cubinho com todas as faces visíveis pintadas de cinza. Aqui temos um total de 6 faces visíveis pintadas. → Dois cubinhos acoplados com todas as suas faces visíveis pintadas. Neste caso, teríamos um total de 10 faces visíveis pintadas.

Obs.: Escreva lei de formação para resolver as questões seguintes? 1- E se tivéssemos três cubinhos acoplados, quantas faces visíveis teríamos para pintar? Obs: Faça o desenho para te ajudar a pensar. 2- E se tivéssemos quatro cubinhos acoplados, quantas faces visíveis teríamos para pintar? Obs.: Escreva lei de formação para resolver as questões seguintes?

Obs.: Escreva lei de formação para resolver as questões seguintes? 1- E se tivéssemos três cubinhos acoplados, quantas faces visíveis teríamos para pintar? Obs: Faça o desenho para te ajudar a pensar. 2- E se tivéssemos quatro cubinhos acoplados, quantas faces visíveis teríamos para pintar? Obs.: Escreva lei de formação para resolver as questões seguintes?

3- E se tivéssemos cinco cubinhos acoplados, quantas faces visíveis teríamos de pintar? 4- E se tivéssemos quinze cubinhos acoplados, quantas faces visíveis teríamos para pintar? 5- E se tivéssemos 66 cubinhos acoplados, quantas faces visíveis teríamos para pintar?

6- E se você soubesse o número de faces visíveis que ficam pintadas, saberia dizer quantos cubinhos foram acoplados? Por exemplo, se tivéssemos um total de 86 faces visíveis pintadas, quantos cubinhos estaria acoplados? 7- E se tivéssemos um total de 286 faces visíveis pintadas, quantos cubinhos estariam acoplados? Justifique sua resposta.

Objetivo da atividade 3 Envolver os alunos em uma atividade investigativa, na busca por padrões numéricos que relacionam formas e quantidades. A atividade consiste na contagem de cubos acoplados entre si e o cálculo do número de faces pintadas dos mesmos após a pintura de sua superfície externa. A quantidade de cubos acoplados vai crescendo horizontalmente e gradativamente, e os estudantes são convidados a investigar padrões que relacionem a quantidade de cubos com o número de faces pintadas.

Atividade 4: Investigando Esqueleto de Cubos Um esqueleto de cubo é uma forma que preserva a estrutura sem que seja necessário o seu preenchimento total formando um objeto maciço. As figuras abaixo mostram alguns exemplos de esqueletos de cubos.

Com base nessa ideia, responda as seguintes perguntas: 1- A próxima figura segue o mesmo padrão de formação? 2- A estrutura pode ainda ser chamada de cubo? 3- De quanto é acrescida a aresta para a formação deste próximo padrão? 4- É possível calcular o volume deste objeto?

5- Desenhe o esqueleto do cubo 2 × 2 × 2. O que você pode observar? 6- Quantos cubinhos são necessários para formar o esqueleto do cubo 3 × 3 × 3? 7- Quantos cubinhos são necessários para formar o esqueleto do cubo 4 × 4 × 4? 8- Pode-se encontrar uma generalização que lhe permita calcular a quantidade n de cubinhos necessários para formar o esqueleto de um cubo n × n × n?

O esqueleto de cubo é formado por 12 arestas O esqueleto de cubo é formado por 12 arestas. No caso do cubo n x n x n, como cada aresta é formada por n cubos, teríamos um total de 12n cubinhos. Mas como os cubinhos das extremidades aparecem cada um em exatamente três arestas, cada um desses cubinhos será contado três vezes. Como existem exatamente 8 cubinhos na extremidade, temos que tirar 2 x 8 = 16 cubinhos do total para garantir que os cubos das extremidades só sejam contados uma única vez. Assim o esqueleto do cubo n x n x n possui 12n – 16 cubinhos unitários.

Objetivo da atividade 4: Investigar “esqueletos” de cubo, através de manipulação de cubinhos unitários, a quantidade necessária para a construção da estrutura que dá forma ao cubo, sem preencher seu interior.

Pretende-se buscar padrões numéricos/algébricos que representem a quantidade de cubos utilizados em função do crescimento da estrutura do cubo. Pretende-se, também, explorar o cálculo de volume de uma maneira intuitiva, sem fazer o apelo à fórmula, promovendo o desenvolvimento da capacidade espacial.

Atividade 5 Leitura do texto, descrição das ideias principais e questões para discussão. Texto: - “Investigações em Geometria na Sala de Aula” de Paulo Abrantes. - “Linguagem Matemática e Língua Portuguesa: diálogo necessário na resolução de problemas matemáticos” de Edi Jussara Candido Lorensatti.

Analisar e discutir em grupo as seguintes perguntas (texto 1): Encaminhamento 1- Individualmente, descrever em uma folha de papel duas ideias que considerar importantes para texto (obs.: Cada ideia deve ser descrita em aproximadamente três linhas). Analisar e discutir em grupo as seguintes perguntas (texto 1): a) Como se caracterizam as atividades do tipo investigativas? b) Por que a geometria é um tema propício à realização de atividades de investigação?

Forma dentro da forma (perspectiva) http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debase r/singlefile.php?id=9556

As atividade a seguir foram adaptadas (BECKER, 2009)

Atividade 6 Organizados em grupos entrega-se uma caixa lacrada com um poliedro dentro. Solicita-se : 1- Coloca-se as mãos dentro da caixa sem ver o sólido e tente desenhá-lo numa representação em perspectiva.

Atividade 6.1 2- Na sequência, faça uma possível planificação para esse sólido, com cartolina ou papel cartão. Recorte e monte para verificação.

Atividade 7 Coloque um sólido em cima da mesa e reproduza em duas posições: 7.1) Reproduza o desenho no papel isométrico (Desenho 1). 7.2) Mude a posição do objeto na mesa e desenhe-o no papel isométrico na nova posição (Desenho 2)

Atividade 8 Criar individualmente em papel isométrico um sólido formado por uma composição de cubos.

Representação do sólido 1 em papel isométrico. Exemplo: Representação do sólido 1 em papel isométrico.

Atividade 8.1 No grupo identifique quais os diferentes tipos de faces desse sólido e a quantidade em que cada uma delas ocorre. Atividade 8.2 Construir essas faces em papel cartão Faces da representação do sólido 1 em papel cartão

Figura 2 em papel isométrico Figura 2 planificada

Figura 2: sólido montado Atividade 8.3 Cada grupo trocam entre si o conjunto de peças (do papel cartão) que formam o sólido junto com a sua representação em papel isométrico. O grupo deve organizar essas peças numa possível planificação do sólido, reproduzir a planificação em papel cartão e então construir esse sólido. Figura 2: sólido montado

Livro Matemático - Vídeo http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debase r/singlefile.php?id=9567

Sugestões de Vídeos 1) Forma que se Transforma http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/ debaser/singlefile.php?id=9556 2) O Belo http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/ debaser/singlefile.php?id=9557 3) Escada de Penrose http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/ debaser/singlefile.php?id=12947

A Escada de Penrose

Referências: CUNHA, Daniela S. I. Investigações Geométricas: desde a formação do professor até a sala de aula de Matemática. Dissertação de mestrado. Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2009. BECKER, Marcelo. Uma Alternativa para o ensino de Geometria: visualização Geométrica e Representações de Sólidos no Plano. Dissertação de mestrado. Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2009. KALEFF, A. M. Vendo e Entendendo Poliedros. Niterói: EDUNFF, 2003. PILLAR, Analice D. Leitura e releitura. In: ______. A Educação do olhar no ensino das artes. 4 ed. Porto Alegre: Mediação, 2006. VELOSO, E. Geometria: temas actuais. Lisboa: IIE, 1998. DUARTE JUNIOR, João F. Fundamentos Estéticos da Educação. 8ª ed. Campinas: Papirus, 2005. SKOVSMOSE, Ole. Educação Crítica: Incerteza, Matemática, Responsabilidade. São Paulo: Cortez, 2007. LORENSATTI, Edi J. C. Linguagem matemática e Língua Portuguesa: diálogo necessário na resolução de problemas matemático. Conjectura, v. 14, n. 2, maio/ago. 2009, Caxias do Sul.