Arranjo Físico Industrial Alocação por Teoria dos Grafos Prof. Artur

Alocação por Teoria dos Grafos Limitações: Não trabalha com fluxos e distâncias O tratamento das soluções obtidas é mais complicado Não permite tratar áreas que já estão subdivididas Só se aplica a áreas bidimensionais Vantagens: Não requer que as áreas estejam subdivididas Trabalha com adjacências desejáveis entre departamentos Permite um ajuste mais flexível das soluções.

Alocação por Teoria dos Grafos Exemplo: A mesma fábrica simplificada de secadoras a gás. Armazém (A) Setor de construção de tubos (T) Estação de pintura (P) Setor de construção de painel (I) Setor de construção de carcaça (C) Setor de montagem e teste (M)

Alocação por Teoria dos Grafos Exemplo: Dados de entrada: Uma pontuação para cada par de setores, contabilizada caso eles fiquem adjacentes Utiliza critérios objetivos (custos) ou subjetivos (conveniência) Por exemplo, grau de importância A, E, I, O, U ou X A: Absolutamente Necessário (81 pontos) E: Especialmente Importante (27 pontos) I: Importante (9 pontos) O: Ordinário (3 pontos) U: Desnecessário (1 ponto) X: Indesejável (-243 pontos)

Alocação por Teoria dos Grafos Método de solução: O grafo de adjacências é montado primeiro Depois detalhamos o arranjo com base no grafo Mas será que qualquer grafo de adjacências tem um arranjo associado? Vamos definir o “grafo do arranjo”…

Alocação por Teoria dos Grafos “Grafo do arranjo”: Cada aresta corresponde a uma parede Cada vértice corresponde a um encontro de 3 ou mais paredes Tem que ser um grafo planar Grafo planar: Um grafo é planar quando pode ser desenhado no plano sem cruzamentos de arestas Cada região delimitada pelas arestas de um grafo planar (incluindo a externa) é chamada de face

Alocação por Teoria dos Grafos “Grafo do arranjo”: Cada aresta corresponde a uma parede Cada vértice corresponde a um encontro de 3 ou mais paredes Tem que ser um grafo planar Cada face (exceto a externa) corresponde a um setor

Alocação por Teoria dos Grafos Para passar do “grafo de arranjo” para o grafo de adjacências estendido: Cada face se torna um vértice Cada vértice se torna uma face Como cada aresta liga dois vértices e separa duas faces, cada aresta se torna uma aresta perpendicular à antiga O grafo resultante é o dual do grafo original

Alocação por Teoria dos Grafos Propriedades do grafo dual: Todo grafo planar tem um grafo dual O dual do grafo dual é o próprio grafo O dual de um grafo planar também é planar Conclusão: O grafo de adjacências só precisa ser planar Assim podemos construir o grafo dual para o arranjo Mas como sabemos que grafo não é planar?

Alocação por Teoria dos Grafos Observações: Se acrescentamos vértices e arestas num grafo não-planar, ele continua não-planar Se substituimos uma aresta de um grafo não planar por um caminho, o grafo continua não planar. Conclusão: Qualquer grafo obtido a partir de um K3,3 ou um K5 através das transformações acima não é planar. Teorema (Kuratowski, 1930) Todos os outros grafos são planares

Alocação por Teoria dos Grafos Observações: Existem algoritmos eficientes para reconhecer se um grafo é ou não planar e, se for, encontrar suas faces mas Eles apenas dizem se o grafo de adjacências é planar, não servindo para escolher as adjacências que vão ficar no grafo Os algoritmos são todos muito complicados Na prática, não basta o grafo ser planar, pois, por exemplo, vértices com muitas adjacências e muitos vértices envolvidos por poucos são indesejáveis

Alocação por Teoria dos Grafos Problema do subgrafo planar de peso máximo (SPPM): Entrada: um grafo G=(V,E) com uma pontuação we associada a cada aresta e  E. Saída: um subgrafo planar G’=(V,E’) onde E’  E, maximizando a soma de we para toda aresta e  E’. Observação: Na prática, a resolução deste problema não ajuda muito o projeto de um arranjo físico, pois as arestas que representam as adjacências não devem ficar muito longas no desenho (a menos que um dos setores seja um corredor).

Alocação por Teoria dos Grafos Resumo da metodologia de projeto do arranjo: Atribuir pontuações a cada par de setores caso eles estejam adjacentes. Encontrar um grafo planar G’ que possa ser desenhado sem arestas muito longas. Obter G” acrescentando um vértice externo em G’. Obter o grafo dual de G”. Desenhar este grafo dual no plano, ajustando o formato das arestas para representarem as paredes satisfazendo as restrições de espaço do arranjo. Parte 2 deste curso Tentativa e erro  Parte 2 deste curso OBS: Na parte 1, faremos um esboço do arranjo tentando manter os locais com áreas semelhantes