Proporcionalidade Inversa

Actividade: Com 12 quadradinhos iguais, com 1 cm de lado, constrói vários retângulos, todos com a mesma área. Recorda: Área do rectângulo = base x altura

Preenche a seguinte tabela: Área base altura

Assim,

Que relação existe entre a variação da base e da altura de cada rectângulo? Verifica-se que quando uma das dimensões duplica, a outra reduz-se a metade; quando uma triplica, a outra reduz-se à terça parte,... Conclusão: Ao aumento da base corresponde uma diminuição da altura na mesma proporção e vice-versa

O produto das duas dimensões é constante: Repara que: O produto das duas dimensões é constante: base x altura =12 Grandezas desta forma dizem-se inversamente proporcionais. Designando: x medida da base e y medida da altura A relação x x y = 12 é uma proporcionalidade inversa 12 é a constante de proporcionalidade

Recorda: Uma Função é uma correspondência entre dois conjuntos A e B, tal que a cada elemento de A corresponde um e um só elemento de B

Pela observação do gráfico e da tabela verificámos que a cada valor de x corresponde um único valor de y. Logo, y é função de x. Área base altura 12 1 2 6 3 4

Podemos “arrumar” os rectângulos de área 12 e dimensões inteiras num gráfico: Verificamos que os pontos estão sobre uma curva a que se chama hipérbole

Será que com as coordenadas de outros pontos do gráfico é possivel descobrir mais rectângulos de área 12? Repara que: Conhecendo a base, a altura é dada por: Û = y x 12 ´ x y 12 =

Vejamos alguns exemplos: base altura rectângulo coordenadas x = 1,5 (1,5;8) x = 2,5 (2,5;4,8) x = 7,5 (7,5;1,6) 8 1,5 2,5 4,8 7,5 1,6

Vamos “arrumar” estes novos rectângulos no nosso gráfico:

y = Actividade: x 12 Já representámos gráficamente a função de proporcionalidade inversa x sabendo que x é um número positivo (representa uma medida de comprimento). y 12 = Representa gráficamente a função sabendo que x é um número relativo qualquer diferente de zero.

y = x 12 Resolução: x -1 -12 -2 -6 -4 -3 1 12 2 6 4 3 Como x é um número relativo qualquer, diferente de zero vamos-lhe atribuir valores positivos e negativos. x -1 -12 -2 -6 -4 -3 1 12 2 6 4 3

De um modo geral, O gráfico de uma função de proporcionalidade inversa é sempre uma hipérbole. Repara que a hipérbole passa pelo ponto (1,k). K é a constante de proporcionalidade. Numa função cujo domínio é apenas o conjunto dos números positivos ou apenas o conjunto dos números negativos, o gráfico é apenas um ramo da hipérbole.

Repara que: No gráfico de uma proporcionalidade inversa, o produto das coordenadas de qualquer ponto é sempre o mesmo – a constante de proporcionalidade. Uma função de proporcionalidade inversa pode ser representada por uma expressão analítica, por uma tabela ou por um gráfico.

Duas variáveis x e y são inversamente proporcionais quando o produto de quaisquer dois valores correspondentes é constante e diferente de zero. x x y = k ou y=k/x (k constante diferente de zero) K é a constante de proporcionalidade inversa. De um modo geral,

Fim