Diferentes significados para sinal de igualdade? Prof. Dr. Everaldo Silveira UFSC CED PPGECT

Álgebra nos Anos Iniciais segundo a BNCC A BNCC indica algumas importantes dimensões do trabalho com Álgebra a serem exploradas e desenvolvidas nos Anos Iniciais o Ensino Fundamental. São elas: o estudo das regularidades; generalização de padrões; as propriedades da igualdade.

O sinal de igualdade É tratado com importância secundária em relação a outros sinais comuns à linguagem matemática, tais como +, -, x, ÷. Via de regra, é reconhecido pelos alunos apenas como um sinal que indica o lugar no qual devem colocar o resultado das operações realizadas. Exemplificando: 4+6= ?

Diferentes significados para o sinal de = Operacional; Equivalência; Relação funcional.

Sinal de igualdade com sentido operacional As atividades com operações aritméticas conduzem as crianças a compreenderem o sinal de igualdade como um símbolo operacional. As crianças percebem o sinal de igualdade como: um sinal de fazer algo; uma ação indicada que significa: dá ou faz; um operador que transforma, por exemplo, 5 + 2 em 7 .

Sinal de igualdade com sentido operacional Nesse sentido ele também representa o resultado de uma operação aritmética. Assim, ao dizermos que 5 + 2 = 7 , estamos dizendo que se tivermos um conjunto com 5 elementos e o reunirmos com um conjunto com 2 outros elementos obtemos um conjunto com 7 elementos. A expressão numérica 5 + 2 = 7 indica que 7 é o resultado da adição de 5 com 2.

Sinal de igualdade com sentido de equivalência A ideia de equivalência se apresenta quando o sinal de igualdade é apresentado em situações que indicam o mesmo valor, a mesma coisa ou o que tem de um lado é igual ao que tem do outro lado. Essa noção é importante para a compreensão do conceito de equação. A ideia de equilíbrio em uma balança pode ilustrar essa situação quando estamos lidando no conjunto dos números naturais.

Sinal de igualdade com sentido de equivalência É fundamental, porém, que não se perca o sentido mais geral do sinal de igual como “estabelecedor” de equivalência entre expressões numéricas. A seguir apresentarei exemplos para esse caso.

Sinal de igualdade com sentido de equivalência Exemplo 1: Reconhecer diferentes formas de representar 7 através de igualdades numéricas: 7 = 7 + 0 = 6 +1 = 5 + 2 = 4 + 3 = 3 + 4 = 2 + 5 = 1+ 6 = 0 + 7

Sinal de igualdade com sentido de equivalência Um erro bastante incidente nesses casos é a utilização do sinal de igualdade como um separador entre os raciocínios. Vejamos um caso que surge na resolução de um problema. Quantos pares de dedos há em 6 mãos? Um aluno responde 15 e explica assim:

Sinal de igualdade com sentido de equivalência Podemos perceber que nesse raciocínio, em algum momento 10 = 15, o que, evidentemente, está errado. 10 = 15

Sinal de igualdade com sentido de equivalência Exemplo 2: Utilizar a reta não graduada para representar as relações de equivalência, por exemplo, 5 + 2 = 4 + 3.

Sinal de igualdade com sentido de equivalência Exemplo 3: Escrever 3 + 5 como uma adição de dois algarismos, de todas as formas possíveis. 3 + 5 = 0 + 8 = 1+ 7 = 2 + 6 = 3 + 5 = 4 + 4 = 5 + 3 = 6 + 2 = 7 + 1

Sinal de igualdade com sentido de equivalência Exemplo 4: Escrever, de todas as formas possíveis, 9 como uma adição de três algarismos. 9 = 8 +1 + 0 = 7 + 2 + 0 = 6 + 3 + 0 = 5 + 4 + 0 = 6 + 2 + 1 = ...

Sinal de igualdade com sentido de equivalência Exemplo 5: Escrever no quadradinho o algarismo que torna a expressão verdadeira. 8 + 4 = □ + 5

Sinal de igualdade com sentido de equivalência Exemplo 6: Escrever no quadradinho o algarismo que torna a expressão verdadeira. 8 x 7 = □ x 7 – 2 x 7

Sinal de igualdade com sentido de equivalência Os alunos tendem a resistir à compreensão do sinal de igualdade com o sentido de equivalência. Estudos mostram o comportamento de crianças de 1º ao 6º ano diante de atividades como as que foram apresentadas anteriormente. O exemplo que vou apresentar foi uma questão de múltipla escolha, com as seguintes possibilidades de resposta: 7, 12 e 17. Vejamos a questão: Escreva no quadradinho o algarismo que torna a expressão verdadeira.

Sinal de igualdade com sentido de equivalência Os acertos das crianças para a questão ficaram assim: 5% dos alunos dos 1.º e 2.º anos; 9% dos alunos dos 3.º e 4.º anos e 2% dos alunos dos 5.º e 6.º Qual vocês acham que foi a resposta mais incidente?

Sinal de igualdade com sentido funcional A ideia do sinal de igual na relação funcional conecta valores desconhecidos em uma expressão. No caso de serem dois valores desconhecidos, um valor desconhecido depende do valor atribuído ao outro. Imaginemos, por exemplo, relacionar mãos (m) e dedos (d). Temos algo assim:

Sinal de igualdade com sentido funcional Esse sentido da utilização do sinal de igualdade está relacionado ao estudo de funções (exatamente o exemplo dos dedos e mãos). No caso das funções, normalmente se utilizam notações do tipo: y = 5 . x ou f (x) = 5 . x

Sinal de igualdade com sentido funcional O sinal de igualdade usado nesse sentido é fundamental na compreensão da multiplicação como a relação entre duas variáveis. A generalização da expressão que conta o número de dedos em função do números de mãos pode ser pensada como a expressão que fundamenta a tabuada do cinco.

Material Consultado BRASIL, Secretaria de Educação Básica. Base nacional comum curricular: educação é a base. Brasília: MEC, SEB, 2017. FERREIRA, M. C. N.; RIBEIRO, C. M.; RIBEIRO, A. J. Conhecimento matemático para ensinar álgebra nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Zetetiké, Campinas, SP, v.25, n. 3, p.496-514, set./dez. 2017. PONTE, J., BRANCO, N., & MATOS, A. Álgebra no Ensino Básico. Portugal: Ministério da Educação, Direção Geral de Integração e de Desenvolvimento Curricular (DGIDC), 2009. TRIVILIN, L. R.; RIBEIRO, A. J. Conhecimento matemático para o ensino dos diferentes significados do sinal de igualdade: um estudo com professores dos anos iniciais do ensino fundamental. Boletim de Educação Matemática (BOLEMA). n. 51, v. 29, p. 38-59, 2015.

“Sessenta anos atrás eu sabia tudo. Hoje sei que nada sei “Sessenta anos atrás eu sabia tudo. Hoje sei que nada sei. A educação é a descoberta progressiva da nossa ignorância”. Will Durant

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