Faculdade de Arquitectura da Universidade Técnica de Lisboa ESTÁTICA Forças e Equilibrio Ano Lectivo 2009-2010 Mónica Cruz

3. Resultante de um Sistema de Forças Concorrentes ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio 3. Resultante de um Sistema de Forças Concorrentes Duas forças F1 e F2 concorrentes num ponto, podem ser substituídas por uma única força R que tenha o mesmo efeito sobre esse ponto. A força R é designada por Resultante e obtém-se somando as forças F1 e F2. R

3.1 Lei do Paralelogramo Lei do Paralelogramo ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio 3.1 Lei do Paralelogramo Lei do Paralelogramo A resultante de duas forças complanares não paralelas é dada pela diagonal do paralelogramo cujos lados são iguais às forças dadas.

Sendo o eixo x paralelo a F1 tem-se: ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio Analiticamente a adição das forças F1 e F2 faz-se recorrendo ao cálculo vectorial: ( 1 ) Considerando o referencial ortonormado xy representado na Figura onde o eixo x é paralelo à direcção da força F1 tem-se: ( 2 ) Sendo o eixo x paralelo a F1 tem-se: ( 3 )

Substituindo ( 3 ) em ( 2 ) obtém-se: ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio Substituindo ( 3 ) em ( 2 ) obtém-se: ( 4 ) (na direcção x) (na direcção y) Elevando ao quadrado os dois membros das equações ( 4 ): Adicionando ordenadamente as equações anteriores tem-se: Simplificando: ( 5 )

a equação ( 6 ) pode simplificar-se: ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio Considere-se agora o triângulo OAB cujos lados OA e AB são conhecidos. Aplicando o Teorema dos Cosenos para a determinação do lado OB obtém-se: ( 6 ) Como a equação ( 6 ) pode simplificar-se: ( 7 ) Ora sendo, a equação ( 7 ) pode reescrever-se na seguinte forma: ( 8 ) Logo pode concluir-se da igualdade das equações ( 5 ) e ( 8 ) que a diagonal do paralelogramo desenhado com as forças nos lados adjacentes é a resultante dessas forças em intensidade, direcção e sentido.

3.2 Triângulo de Forças Princípio do Triângulo de Forças ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio 3.2 Triângulo de Forças Princípio do Triângulo de Forças Desenhando duas forças complanares de forma sequencial, isto é, fazendo coincidir o final da primeira força com o início da segunda, o vector que une as extremidades livres das forças representa a resultante.

ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio 3.3 Polígono de Forças O Principio do Triângulo de Forças pode ser generalizado para qualquer número de forças concorrentes num ponto, passando a designar-se Polígono de Forças, já que a figura geométrica que se obtém não é um triângulo mas sim um polígono. O Triângulo de Forças não é mais que um caso particular do Polígono de Forças quando se pretende calcular a resultante de duas forças concorrentes. R

ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio Quando se pretende calcular a resultante não de duas mas de n forças concorrentes num ponto, recorrendo à regra do paralelogramo, teria que se desenhar n-1 paralelogramos que correspondem ao cálculo de n-1 resultantes, n-2 são resultantes parciais e só a que se obtém no último paralelogramo corresponde ao pretendido, ou seja, à resultante do sistema de forças.

ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio Com o Método do Polígono de Forças, as forças são desenhadas sequencialmente, ou utilizando uma expressão anglo-saxónica “head to tail”, e a resultante do sistema de forças obtém-se desenhando a linha que une a extremidade inicial da primeira força à extremidade final da última força. Com este método obtém-se o resultado pretendido sem necessidade do cálculo de resultantes parciais.

Plano das Forças – Polígono de Forças Regra do Paralelogramo ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio Plano das Forças – Polígono de Forças Plano das Acções – Regra do Paralelogramo R R R

Exercício de Aplicação ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio Exercício de Aplicação Calcule a resultante do sistema de forças representado na figura: a) No plano das acções – Paralelogramo de Forças b) No plano das forças – Polígono de Forças F2 F1 45º F1=4.5kN F2=5.0kN F3=3.0kN 30º 30º F3

Resolução do Exercício - Paralelogramo de Forças ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio Resolução do Exercício - Paralelogramo de Forças R1-2 F2 F1 F1=4.5kN F2=5.0kN F3=3.0kN 30º 45º 30º F3

R1-2-3 Resolução do Exercício - Paralelogramo de Forças R1-2 F2 F1 F3 ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio Resolução do Exercício - Paralelogramo de Forças R1-2 R1-2-3 F2 F1 F1=4.5kN F2=5.0kN F3=3.0kN 30º 45º 30º F3

F2 R1-2-3 Resolução do Exercício - Polígono de Forças R1-2 F3 R1-2 ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio Resolução do Exercício - Polígono de Forças R1-2-3 R1-2 F3 F2 R1-2 F2 F1 30º 45º R1-2-3 F1 30º F3