Física Aula 05 - Mecânica Prof.: Célio Normando

Assunto: Vetores - Cálculo do módulo da resultante para dois vetores Cálculo do módulo da resultante para n vetores Produto de vetores

Cálculo do módulo da resultante para dois vetores F1  F2 Sejam dois vetores e que formam um ângulo  entre si, dispostos como mostra a figura seguinte: A expressão é verdadeira ou falsa? R = F1 + F2  R   F1 VERDADEIRA.  E agora esta certo? R = F1 + F2  F2 Não, pois o módulo da soma (R) não é igual a soma dos módulos dos vetores (F1 + F2).

Cálculo do módulo da resultante para dois vetores  F2 Prolongando-se a direção de e tirando-se uma perpendicular de até esta direção, obtêm-se os triângulos OAC e ABC.  F1  F2 R No ABC AC = F1 sen  BC = F1 cos  A No OAC  OA2 = OC2 + AC2  o R2 = (F1. sen ) 2 + (F2 + F1 . cos )2 C B R2 = F2. sen2 + F2 + 2F1F2 . cos  + F2.cos2  1 2 R2 = F2 (sen2 +cos2) + F2 + 2F1 . F2 cos  1 2 R2 = F2 + F2 + 2F1 F2 .cos  1 2 R = F2 + F2 + 2F1F2 .cos  1 2

Casos particulares 1º Caso: e na mesma direção e no mesmo sentido. F1  F2  F1 Processo Analítico  = 0  cos  = 1  F2 Substituindo o valor do cos  na equação tem-se: R = F2 + F2 + 2F1F2 .cos  1 2 Processo Geométrico  F1  F2 R = F2 + F2 + 2F1F2  R= (F1 + F2) 2  1 2 R  R = F1 + F2

Casos particulares 2º Caso: e ortogonais F1 F2 Processo Geométrico  F2 Processo Geométrico Processo Analítico  = 90º cos = 0 Substituindo o valor do cos na equação geral: R   F2 R = F2 + F2 1 2  F1

Casos particulares 3º Caso: e na mesma direção mas no sentido contrário. F1  F2  F1 F2 Processo Analítico  = 180º  cos = -1 Substituindo o valor do cos  na equação tem-se: R = F2 + F2 + 2F1F2 .cos  1 2 Processo Geométrico  F1  F2 R = F2 + F2 - 2F1F2  R= (F1 - F2) 2 1 2 R  R = | F1 - F2 | ou R = F2 – F1

Cálculo do módulo da resultante para n vetores O processo anterior torna-se bastante complexo quando se têm mais de dois vetores. Para a solução de um sistema de n vetores o processo mais adequado é o PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO EM COMPONENTES ORTOGONAIS. Para fins didáticos o sistema é constituído de apenas quatro vetores como mostra a figura seguinte. Y X  F2 F3 F4 F1    

Cálculo do módulo da resultante para n vetores O processo da decomposição em componentes ortogonais consiste em: 1o)Decompor todos os vetores segundo os eixos ortogonais XY. Y X  F2  F2y F1X = F1.cos F2X = F2.cos  F1  F1y F1Y = F1.sen F2Y = F2 . sen  F2x  F1x  F3x  F4x F3X = F3.cos F4X = F4.cos  F4y F3Y = F3.sen  F4Y = F4.sen   F3y  F4  F3

Cálculo do módulo da resultante para n vetores 2º) Encontrar a resultante dos vetores nos eixos X e Y Y X  F1y F1x F2x F2y F3x F3y F4x F4y 3º) De posse dos FX e  FY pode se calcular o módulo da resultante para o caso de dois vetores ortogonais pela expressão: R = (Fx)2 + ( Fy)2 Fx=F1 . cos + F4 .cos  - F2 . cos  - F3 . cos  Fy=F1 . sen + F 2 . sen  - F3 . sen  - F4 . sen 

Produto de vetores O produto de vetores difere do produto de escalares, pois existem dois casos: O produto de dois vetores obtendo-se como resultado um escalar. O produto de dois vetores obtendo-se como resultado um vetor.

Produto escalar de dois vetores Imagine dois vetores e que formam entre si um ângulo (). O produto escalar do vetor pelo vetor , cuja notação é (que se lê A escalar B), é definido: A  B A . é uma grandeza escalar. A .  B A  B  A grandeza trabalho (W) é obtida do produto escalar da força pelo deslocamento. Por essa razão o trabalho é escalar. W =  W = F . d . cos  F .  d = A .  B B . cos

Produto vetorial de dois vetores Dados os vetores e coplanares que formam entre si um ângulo , o produto vetorial de por , cuja notação é x (que se lê A vetor B), é um vetor cujas características são: A  B C C  Módulo = A .  B . sen  C B  Direção A   A  B Perpendicular ao plano formado pelos vetores e A grandeza Momento estático é vetorial pois obtida do produto vetorial de dois vetores. Sentido Será determinado pela regra da mão esquerda. M =  M = F . d . sen  F x  d

Agora procure resolver as Atividades para Sala e Atividades Propostas. As soluções estão disponíveis no Click Professor.