Aula 5. Teste de Hipóteses II. Capítulo 12, Bussab&Morettin “Estatística Básica” 7ª Edição

Procedimento teste de hipótese para proporção. Resumo. Estabelecer as hipóteses: H: 𝑝=𝑝0 contra uma das alternativas A: 𝑝  𝑝0 , A: 𝑝  𝑝0 ou A: 𝑝  𝑝0 . (2) Escolher um nível de significância 𝜶. (3) Determinar a região crítica RC da forma { 𝑋≤𝑘1 }∪{ 𝑋≥𝑘2 }, { 𝑋≥𝑘 } ou { 𝑋≤𝑘 }, respectivamente às hipóteses alternativas, onde 𝑋 é número de elementos na amostra com o atributo desejado, 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝 0 ).

Procedimento teste de hipótese para proporção. Resumo. (4) Selecionar uma amostra aleatória e determinar o número 𝑥 de elementos na amostra com o atributo desejado. (5) Decidir, usando a evidência 𝑥, ao nível de significância 𝜶, e concluir. 𝑥  RC  rejeitamos H. 𝑥  RC  não rejeitamos H.

Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Estatística do teste é 𝑋 que é número de elementos na amostra com o atributo desejado, a distribuição de 𝑋 é a distribuição binomial 𝐵(𝑛, 𝑝 0 ). A região crítica é determinada em forma { 𝑋 ≤ 𝑘1 }∪{ 𝑋≥𝑘2 }, { 𝑋≤𝑘 } ou { 𝑋≥𝑘 }, respectivamente às hipóteses alternativas, que depende de nível de significância do teste 𝛼 e da estatística do teste

Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Estatística do teste pode ser também a proporção 𝑝 = 𝑋 = 𝑋 𝑛 em que 𝑋, como antes, é número de elementos na amostra com o atributo desejado. Neste caso a região crítica é determinada em forma 𝑝 ≤ 𝑘 1 𝑛 ∪ 𝑝 ≥ 𝑘 2 𝑛 , 𝑝 ≥ 𝑘 𝑛 , 𝑝 ≤ 𝑘 𝑛 respectivamente às hipóteses alternativas

Estatística do teste pode ser também 𝑧-estatística Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Aproximação normal. Estatística do teste pode ser também 𝑧-estatística 𝑍= 𝑋−𝑛 𝑝 0 𝑛 𝑝 0 (1− 𝑝 0 ) em que 𝑋, como antes, é número de elementos na amostra com o atributo desejado. Neste caso a região crítica é determinada em forma 𝑍≤ 𝑘 1 −𝑛 𝑝 0 𝑛 𝑝 0 (1− 𝑝 0 ) ∪ 𝑍≥ 𝑘 2 −𝑛 𝑝 0 𝑛 𝑝 0 1− 𝑝 0 , 𝑍≥ 𝑘−𝑛 𝑝 0 𝑛 𝑝 0 (1− 𝑝 0 ) , 𝑍≤ 𝑘−𝑛 𝑝 0 𝑛 𝑝 0 (1− 𝑝 0 )

𝑋  𝑘 ou 𝑍= 𝑋−𝑛 𝑝 0 𝑛 𝑝 0 (1− 𝑝 0 ) ≥ 𝑘−𝑛 𝑝 0 𝑛 𝑝 0 1− 𝑝 0 = 𝑧 𝑐 Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Aproximação normal. (1) H: 𝑝=𝑝0 A: 𝑝  𝑝0 (2) Escolher um nível de significância 𝜶. 𝛼=0.05 (3) Determinar a região crítica RC da forma 𝑋  𝑘 ou 𝑍= 𝑋−𝑛 𝑝 0 𝑛 𝑝 0 (1− 𝑝 0 ) ≥ 𝑘−𝑛 𝑝 0 𝑛 𝑝 0 1− 𝑝 0 = 𝑧 𝑐 onde estatística do teste 𝑍= 𝑋−𝑛 𝑝 0 𝑛 𝑝 0 (1− 𝑝 0 ) ≈𝑁(0,1)

𝑍~𝑁(0,1) (3) Determinar a região crítica RC da forma 𝑍≥ 𝑧 𝑐 Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Aproximação normal. (3) Determinar a região crítica RC da forma 𝑍≥ 𝑧 𝑐 onde estatística do teste 𝑍~𝑁(0,1) Achamos 𝑧 𝑐 pela tabela da distribuição normal 𝑃 𝑍≥ 𝑧 𝑐 =𝛼 (4) Selecionar uma amostra aleatória e determinar o número 𝑥 de elementos na amostra com o atributo desejado.

(4) Calcular o valor observado da estatística do teste Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Aproximação normal. (4) Calcular o valor observado da estatística do teste 𝑧 𝑜𝑏𝑠 = 𝑥−𝑛 𝑝 0 𝑛 𝑝 0 (1− 𝑝 0 ) (5) Decidir, usando a evidência 𝑧 𝑜𝑏𝑠 : 𝑧 𝑜𝑏𝑠 > 𝑧 𝑐  rejeitamos H. 𝑧 𝑜𝑏𝑠 < 𝑧 𝑐  não rejeitamos H.

Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal. Exemplo: A proporção de analfabetos em um município era de 15% na gestão anterior. No início da sua gestão, o prefeito atual implantou um programa de alfabetização e após 2 anos afirma que reduziu a proporção de analfabetos. Para verificar a afirmação do prefeito, n = 200 cidadãos foram entrevistados.

Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal. Seja 𝑋 o número de analfabetos entre os 200 cidadãos entrevistados e 𝑋~𝐵 200;𝑝 , sendo 𝑝 a proporção atual de analfabetos no município (após o programa de alfabetização). Estabelecer as hipóteses: H: 𝑝=0.15 contra alternativa A: 𝑝  0.15. H: A proporção de analfabetos no município não se alterou (a afirmação do prefeito está incorreta). A: A proporção de analfabetos no município diminuiu (a afirmação do prefeito está correta).

Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal. (2) Escolher um nível de significância 𝛼. 𝛼=0.05 (3) Determinar a região crítica RC da forma 𝑍< 𝑧 𝑐 onde achamos 𝑧 𝑐 pela tabela da distribuição normal 𝑃 𝑍< 𝑧 𝑐 =𝛼 1−𝐴 − 𝑧 𝑐 =𝛼⇒𝐴 − 𝑧 𝑐 =1−𝛼=0.95 𝑧 𝑐 =−1.64 Então, a região crítica RC é 𝑍<−1.64

Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal. (4) Buscar a evidência na amostra para concluir. Se observamos 20 analfabetos entre os 200 entrevistados, qual a conclusão? Calculemos a estatística do teste 𝑧 𝑜𝑏𝑠 = 20−200∙0.15 200∙0.15∙0.85 ≅−1.98

Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal. (5) Decisão e conclusão: 𝑧 𝑜𝑏𝑠 =−1.98<−1.64= 𝑧 𝑐 ⇒ 𝑧 𝑜𝑏𝑠 ∈𝑅𝐶 decidimos por rejeitar a hipótese nula ao nível de significância de 5%. Concluímos que temos evidência suficiente para afirmar que a proporção de analfabetos (após o programa de alfabetização) é inferior a 15%, isto é, há evidência suficiente de que a afirmação do prefeito seja correta.

Procedimento teste de hipótese para média populacional. amostra 𝑋 1 , 𝑋 2 , …, 𝑋 𝑛 : são independentes e 𝑋 𝑖 ~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) população normal 𝑋 1 , 𝑋 2 , …, 𝑋 𝑛 𝑋 𝑖 ~𝑁(𝜇, 𝜎 2 )

Procedimento teste de hipótese para média populacional. Nosso objetivo agora é apresentar procedimentos estatísticos simples para verificar se um conjunto de dados amostrais dá ou não suporte à uma conjectura sobre o valor médio 𝜇 (desconhecido) de uma característica de interesse, observável em “indivíduos” de uma população (normal). Mais precisamente, procedimentos para testar hipóteses sobre 𝜇, tomando como base o valor médio 𝑋 dessa característica, observado em uma amostra casual simples de tamanho 𝑛 desses “indivíduos”.

Procedimento teste de hipótese para média populacional. Exemplo: Em períodos de pico, os clientes de um banco são obrigados a enfrentar longas filas para sacar dinheiro nos caixas eletrônicos. Dados históricos de vários anos de operação indicam que o tempo de transação nesses caixas tem distribuição normal com média igual a 270 segundos. Para aliviar essa situação o banco resolve instalar, em caráter experimental, alguns caixas eletrônicos de concepção mais avançada. Após o período de experiência, o banco pretende examinar o tempo médio obtido em uma amostra casual simples das transações realizadas nesses caixas.

Procedimento teste de hipótese para média populacional. As etapas a serem cumpridas para este teste de hipóteses são as mesmas que vimos anteriormente. (1) Formular as hipóteses nula H e a alternativa A Hipótese Nula : afirmação ou conjectura sobre 𝜇 contra a qual estaremos buscando evidência nos dados amostrais. Hipótese Alternativa : afirmação ou conjectura sobre 𝜇 que suspeitamos (ou esperamos) ser verdadeira. H: 𝜇= 𝜇 0 contra uma das alternativas A: 𝜇≠ 𝜇 0 , A: 𝜇< 𝜇 0 ou A: 𝜇> 𝜇 0 H: 𝜇=270 seg. A: 𝜇<270 seg.

Procedimento teste de hipótese para média populacional. (2) Fixar o nível de significância 𝛼 do teste. Seja 𝛼=5%. (3) Determinar a região crítica RC da forma 𝑍<− 𝑧 𝑐 ∪ 𝑍> 𝑧 𝑐 , 𝑍> 𝑧 𝑐 ou 𝑍< −𝑧 𝑐 ou 𝑇<− 𝑡 𝑐 ∪ 𝑇> 𝑡 𝑐 , 𝑇> 𝑡 𝑐 ou 𝑇< −𝑡 𝑐 respectivamente às hipóteses alternativas

Procedimento teste de hipótese para média populacional. A estatística do teste 𝑍 ou 𝑇 vai ser definida dependendo do conhecimento de variância populacional 𝜎 2 como 𝑍= 𝑋 − 𝜇 0 𝜎 𝑛 ~ 𝑁 0,1 caso 𝜎 2 é conhecida, e 𝑇= 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ~ 𝑡 𝑛−1 caso 𝜎 2 é desconhecida Valores 𝑧 𝑐 e 𝑡 𝑐 são definidos pelas hipóteses e 𝛼: 𝑃 𝑍<− 𝑧 𝑐 ∪ 𝑍> 𝑧 𝑐 =𝑃 𝑍 > 𝑧 𝑐 =𝛼, 𝑃 𝑍> 𝑧 𝑐 =𝛼 ou 𝑃 𝑍<− 𝑧 𝑐 =𝛼 usando tabela normal ou 𝑃 𝑇<− 𝑡 𝑐 ∪ 𝑇> 𝑡 𝑐 =𝑃 𝑇 > 𝑡 𝑐 =𝛼, 𝑃 𝑇> 𝑡 𝑐 =𝛼 ou 𝑃 𝑇<− 𝑡 𝑐 =𝛼 usando tabela T-Student

Procedimento teste de hipótese para média populacional. No exemplo supomos não que sabemos variância populacional 𝜎 2 então usaremos a estatística do teste 𝑇= 𝑋 − 𝜇 0 𝑆 𝑛 ~ 𝑡 𝑛−1 Para aliviar essa situação o banco resolve instalar, em caráter experimental, alguns caixas eletrônicos de concepção mais avançada. Após o período de experiência, o banco pretende examinar o tempo médio obtido em uma amostra casual simples das 24 transações realizadas nesses caixas. Achamos 𝑡 𝑐 de condição 𝑃 𝑇<− 𝑡 𝑐 =0.05

𝑃 𝑇<−1.714 =0.05 RC= 𝑇<−1.714

Procedimento teste de hipótese para média populacional. (4) Buscar a evidência na amostra para concluir: Para aliviar essa situação o banco resolve instalar, em caráter experimental, alguns caixas eletrônicos de concepção mais avançada. Após o período de experiência, o banco pretende examinar o tempo médio obtido em uma amostra casual simples das 24 transações realizadas nesses caixas. Amostra de 24 trasações oferece seguintes dados: 𝑥 =262.3, 𝑠=21.4 Valor observado da estatística do teste é 𝑡 𝑜𝑏𝑠 = 𝑥 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 = 262.3−270 21.4 24 ≅−1.76

Procedimento teste de hipótese para média populacional. (5) Decisão e conclusão: 𝑡 𝑜𝑏𝑠 =−1.76<−1.71= 𝑡 𝑐 ⇒ 𝑧 𝑜𝑏𝑠 ∈𝑅𝐶 decidimos por rejeitar a hipótese nula ao nível de significância de 5%. Concluímos que temos evidência suficiente para afirmar que a média de transição diminuiu nas novos caixas eletrônicos

As hipóteses de interesse são: Exemplo: Um industrial afirma que seu processo de fabricação produz 90% de peças dentro das especificações. O IPEM deseja investigar se esse processo de fabricação está sob controle. Seja 𝑝 a proporção de peças produzidas dentro das especificações. H: 𝑝 = 0.9 A: 𝑝 < 0.9 As hipóteses de interesse são: Ou seja, queremos testar H: O processo está sob controle. A: O processo não está sob controle.

Nível descritivo. Introdução. Selecionamos uma amostra aleatória de 15 itens e observamos o número 𝑋 de itens satisfatórios. Então: 𝑋~𝐵(15,𝑝) Região crítica: RC= { X  k } Para 𝛼=6% temos 𝑘=11 e RC= 𝑋≤11 Para 𝛼=1% temos 𝑘=9 e RC= 𝑋≤9

Nível descritivo. Introdução. Se observamos x = 10 peças satisfatórias, então: a) 𝛼=6%  10  RC Rejeitamos H ao nível de significância de 6%. b) 𝛼=1%  10  RC Não rejeitamos H ao nível de significância de 1%. Crítica: Arbitrariedade na escolha da RC (ou do nível de significância). Sugestão: Determinar o nível de significância associado à evidência experimental, que é denominado nível descritivo ou p-valor.

Nível descritivo. P-valor. No exemplo, a região crítica é da forma RC = 𝑋≤𝑘 . Para 𝑥 𝑜𝑏𝑠 =10,o nível descritivo ou valor 𝑃 é calculado por: 𝑝=𝑃 𝑋≤10 | 𝑝=0.9 =0.0127 O valor 𝑃 é igual à probabilidade de ocorrerem valores de 𝑋 tão ou mais desfavoráveis para a hipótese nula 𝐻 do que o valor observado 𝑥 𝑜𝑏𝑠 =10. Assim, se o processo estivesse sob controle, a probabilidade de encontrarmos uma amostra de 15 peças com 10 ou menos peças satisfatórias é de apenas 1%. Isso sugere que a hipótese nula 𝐻 deve ser rejeitada.

Nível descritivo. P-valor. Se o valor 𝑃 é “pequeno”, então é pouco provável observarmos valores iguais ou mais extremos que o da amostra, supondo a hipótese nula 𝐻 verdadeira. Assim, há indícios de que a hipótese nula não seja verdadeira e tendemos a rejeitá-la. Por outro lado, para valores “não tão pequenos” de 𝑃, não fica evidente que a hipótese nula 𝐻 seja falsa, portanto tendemos a não rejeitá-la. Assim, P “pequeno”  rejeitamos H P “não pequeno”  não rejeitamos H Quão “pequeno” deve ser o valor de P para rejeitarmos H ?

Nível descritivo. P-valor. Lembrando que a ideia inicial de 𝑃 era considerar um nível de significância associado à evidência amostral, podemos compará-lo a um nível de significância 𝛼 fixado, de modo que: 𝑃≤𝛼  rejeitamos 𝐻 𝑃>𝛼  não rejeitamos 𝐻  P rejeitamos H não rejeitamos H Se 𝑃≤𝛼, dizemos que a amostra forneceu evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula 𝐻.

Observações: No exemplo: P = 0,0127. Adotando  = 0,05, temos que P < , portanto rejeitamos H ao nível de significância 5%. Assim, o processo não está sob controle. Observações: • Quanto menor o valor P, maior é a evidência contra a hipótese nula H contida nos dados. • Quando a hipótese nula é rejeitada para um nível de significância  fixado, dizemos também que a amostra é significante ao nível de significância .