Demontrações Do Teorema de Pitágoras Acção de Formação em Power point, CNED 2002

Teorema: Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos.

Prova 1 Comecemos por construir quadrados sobre os lados do triângulo. E consideremos as suas áreas Como se pode observar e...

Prova 2 Comecemos construindo a figura.                                               Posso agora construir na figura dois triângulos com catetos a e b. Transformando a figura facilmente sai o resultado

c2 = (a-b)2+2ab = a2-2ab+b2+2ab = a2+b2 Prova 3 Comecemos por considerar quatro triângulos iguais de área ab/2 Rodando três dos triângulos obtém-se a figura O quadrado central tem de lado (a-b). Somando a sua área (a-b)2 com 2ab (área dos quatro triângulos) vem: c2 = (a-b)2+2ab = a2-2ab+b2+2ab = a2+b2

Prova 4 Considerando novamente os triângulos anteriores Dando-lhes a disposição. Facilmente vem que: (a+b)2=4·ab/2+c2 Ou seja a2 +b2=c2

Igualando as áreas sai o resultado Prova 5 Dando um novo arranjo à figura Área= Área= Igualando as áreas sai o resultado

Prova 6 Curiosamente,descoberta por J.A Garfield, presidente dos EUA em 1876 Considere-se a figura: A área do trapésio é (a+b)/2·(a+b). Que é igual ab/2 + ab/2 + c·c/2, a soma das áreas dos três triângulos. Fazendo (a+b)/2·(a+b)= ab/2 + ab/2 + c·c/2 resulta que a2 +b2=c2

Prova 7 Comecemos por considerar a figura: Observe-se que os triângulos ABC, BDA e ADC são semelhantes. Assim: AB/BC=BD/AB e AC/BC=DC/AC. ou seja: AB·AB=BD·BC e AC·AC=DC·BC . Somando as expressões vem: AB·AB+AC·AC=BD·BC+DC·BC=(BD+DC)·BC=BC·BC. O que prova o Teorema.

O que provará o resultado Demonstração atribuída a Leonardo da Vinci (1452-1519) Prova 8 Note-se que os quadriláteros ABHI, JHBC, ADGC e EDGF são iguais. Observe-se que o ângulo ABH mede 45º... área(ABHI)+área(JHBC)=área(ADGC)+área(EDGF) Cada uma das somas contém a área de dois triângulos iguais a ABC O que provará o resultado

Prova 9 Observe-se na igualdade dos triângulos ABC, FLC, FMC, BED, AGH e FGE Por um lado: área(ABDFH)= AC2 + BC2 + área( ABC +  FMC +  FLC). Por outro área(ABDFH) = AB2 + área( BED +  FGE +  AGH). Donde sai agora o resultado facilmente.

Agora que várias demonstrações foram de apresentadas Fica um desafio... Encontrem outra possível demonstração...