Graph Limits and Testing Hereditary Graph Properties Lovász, Szegedy 2006

Propriedades Testáveis de Grafos Propriedade P hereditária: G satisfaz P  todo subgrafo induzido de G satisfaz P Propriedade P testável: Existe outra propriedade P’ tal que, ,  k:  G satisfaz P  Com prob. 1- , G k induzido k vértices satisfaz P’  G  -far(P)  Com prob. 1- , G k induzido k vértices não satisfaz P’ Teorema 1 [Alon, Shapira, 2005]: Propriedade Hereditária  Testável

Parâmetros Testáveis de Grafos Invariante f(G) de grafos normalizado entre 0 e 1 f(G) testável: ,  k: grafo G  k vértices: Com prob. 1- , G k induzido com k vértices satisfaz |f (G)-f (G k )|   Distância entre grafos: Distância para uma propriedade: Teorema 2 [Alon, Shapira, 2005]: Distância para P hereditária é testável Prova alternativa

Densidades de Subgrafos t(F,G): Probabilidade de um random map V(F)  V(G) preservar adjacências t inj (F,G): injective t ind (F,G): e não-adjacências

Sequências Convergentes de Grafos Sequência ( G n ) de grafos simples |V( G n )|  ( G n ) convergente: (t (F,G n )) converge, para todo grafo F simples cauchy? métrica? Distância   : generalização de d  para pesos e conjunto diferente de vértices [Borgs, Chayes, et al, 2006]: ( G n ) convergente  cauchy em   Todo ( G n ) possui uma subsequência convergente Prova: 1. Elon Lages : Toda sequência limitada de reais possui subsequência convergente 2.  Para todo ( G n ), todo conjunto finito de grafos F possui subsequência na qual (t( F, G n )) converge 3. Segue do Teorema da Compacidade

Funções com 2 variáveis Intuição: grafo em [0,1], onde W(x,y) é a dens entre vizinhança infinitesimal de x e y Norma retangular: Densidade de Subgrafos:

Relação, “Graphons” e Step-Functions [Lovász, Szegedy 2004]: ( G n ) convergente se e só se existe “objeto limite” tal que Obs: Todo é limite de uma ( G n ) convergente W -random graph G(n,W) sobre [n] : sorteia x 1,…x n : ij aresta com prob. W(x i,x j ) StepFunction:

f(G) Testável  f(G n ) Convergente [Borgs, Chayes, et al, 2006]: Parâmetro f(G) testável   (G n ) convergente: f(G n ) converge Prova (  ) f testável  ,  k: grafo G  k vértices: |f (G)-f (G[V k ])|   com prob. 1- , para V k aleat. com k vértices  |f (G)-E(f (G[V k ]))|  , para V k aleat. com k vértices (G n ) convergente  F k com k vértices: 

Um Lema Auxiliar Lema 4: Prova: Suponha Z indicadora de um retângulo S x T  Vale para Z step-function (combinação linear de funções indicadoras de retângulos)  Vale para Z integrável (por definição, aproxima para step-functions em L 1 ([0,1] 2 ) )

Graphons com a propriedade P hereditária Funções, tais que  n,  x 1,…,x n  [0,1]: Se G sobre [ n ] satisfaz: U ( x i,x j ) =0  ij  E( G ) U ( x i,x j )=1  ij  E( G ) Então G satisfaz P Obs 1 : Alterando 0 < U ( x,y )< 1 gera U ’ que satisfaz o mesmo Obs 2 : Lema 5: é fechado em com respeito a norma Prova:

Distância de um Graphon para P Distância para : Lema 6: P hereditária  é função contínua na norma ||  ||  Prova:

Distância de um Graphon para P Distância para : Lema 6: P hereditária  é função contínua na norma ||  ||  Prova: Se não for convergente, tome uma subsequência convergente

Grafos e Graphons com a Propriedade P Lema 7: Prova: Lema 8: Prova:

Prova do Teorema 2 Tome (G n ) convergente: Prova-se que Se não for convergente, tome uma subsequência convergente

FIM