Teste de Hipótese S distribuição desconhecida e/ou parâmetros desconhecidos

Teste de Hipótese S inferir certas características da população amostra Intervalo de Confiança  estimar 2 estimar s2 distribuição desconhecida e/ou parâmetros desconhecidos p estimar estimar

Teste de Hipótese S Hipóteses H0 :  = 100 H1:   100 amostra (hipótese nula) (hipótese alternativa) Uma população com média  = 100 conhecida poderia produzir uma amostra com média ?  = 100 Se H0 é verdadeira, então

Teste de Hipótese - + zcrít -zcrít Hipóteses H0 :  = 100 Se H0 é verdadeira, então zcrít -zcrít rejeição de H0 aceitação de H0 z <<< 0 Se H0 falsa z = 0 Se H0 verdadeira z >>> 0 Se H0 falsa Região Crítica: aceito H0 se –zcrít < z < zcrít  P(–zcrít < z < zcrít) = 1 -  rejeito H0 caso contrário  P(|z| > zcrít) =  Conclusão (sempre associada a um nível de significância)

Teste de Hipótese - + zcrít Hipóteses H0 :  = 100 H1:  > 100 (teste unilateral) - + Se H0 é verdadeira, então zcrít aceitação de H0 rejeição de H0 Região Crítica: aceito H0 se z < zcrít  P(z < zcrít) = 1 -  rejeito H0 caso contrário  P(z > zcrít) =  Conclusão (sempre associada a um nível de significância)

Teste de Hipótese – Erros I e II Hipóteses H0 :  = 0 H1:  > 0 Existe a possibilidade de se selecionar uma amostra de uma população com média 0 e obter alto de forma que leve a conclusão errada de que H0 é falsa? - + 0 Sim. Este erro é chamado de erro do tipo I e equivale ao nível de significância . P(rejeitar H0 / H0 é verdadeira) =  P(aceitar H0 / H0 é verdadeira) = 1 - 

Teste de Hipótese – Erros I e II Hipóteses H0 :  = 0 H1:  > 0 Existe a possibilidade de se selecionar uma amostra de uma população com média 1 (> 0) e obter de forma que leve a conclusão errada de que H0 é verdadeira? - 0 + 1 Sim. Este erro é chamado de erro do tipo II ou erro . aceitação de H0 P(aceitar H0 / H1 é verdadeira) =  P(rejeitar H0 / H1 é verdadeira) = 1 -  (poder do teste)

Teste de Hipótese – Erros I e II Hipóteses H0 :  = 0 H1:  > 0 H0 é verd. H0 é falso Aceita H0 Rejeita H0 - 0 + 1 1 -    1 -  Alternativas para diminuir : distanciar 1 de 0 aumentar  aumentar n

Teste de Hipótese - + zcrít = ? Exemplo: A tensão de ruptura de cabos produzidos por um fabricante apresenta média () de 1800 kg e desvio padrão () de 100 kg. Mediante nova técnica de produção, proclamou-se que a tensão de ruptura pode ter aumentado. Para testar essa declaração, selecionou-se uma amostra de 50 cabos, chegando-se a uma média amostral de 1830 kg. Pode-se confirmar a declaração ao nível de significância de 1%? H0 :  = 1800 H1:  > 1800 - + aceito H0 se z < 2,33 rejeito H0 se z > 2,33 Se H0 é verdadeira, então zcrít = ? 2,33 Conclusão: Aceito H0 Aceito H0, ou seja, a nova técnica não melhora significativamente (a 1%) a tensão de ruptura

Teste de Hipótese - + zcrít = ? - 1800 + 1850 Exemplo: Usando o mesmo exemplo anterior, calcule a probabilidade de se aceitar H0 ( = 1800), para o caso da verdadeira média ser 1850 kg. - + zcrít = ? 2,33 H0 :  = 1800 H1:  = 1850 - 1800 H0 H1 + 1850  = P(aceitar H0 / H1 é verdadeiro)  1832,95

Teste de Hipótese – valor-P (p-value) Toda conclusão de um teste de hipótese está associada a um nível de significância. Por exemplo: “Com base num teste z unilateral, pôde-se concluir que as médias 1 e 2 são diferentes significativamente a 5%, uma vez que a estatística z obtida foi de 2,5 (zcrítico = 1,645)”. - + 1,645 Aceita H0 Rejeita H0 H0 : 1 - 2 = 0 H1: 1 - 2 > 0 Se H0 é verdadeira, então 2,5 As médias 1 e 2 continuariam ser significativamente diferentes caso fosse adotado um nível de significância de 1%?

Teste de Hipótese – valor-P (p-value) Toda conclusão de um teste de hipótese está associada a um nível de significância. Por exemplo: “Com base num teste z unilateral, pôde-se concluir que as médias 1 e 2 são diferentes significativamente a 5%, uma vez que a estatística z obtida foi de 2,5”. 2,5 - + 2,33 Aceita H0 Rejeita H0 H0 : 1 - 2 = 0 H1: 1 - 2 > 0 Se H0 é verdadeira, então As médias 1 e 2 continuariam ser significativamente diferentes caso fosse adotado um nível de significância de 1%? Para que valores de nível de significância, as médias 1 e 2 poderiam ser consideradas iguais? Sim

Teste de Hipótese – valor-P (p-value) Toda conclusão de um teste de hipótese está associada a um nível de significância. Por exemplo: “Com base num teste z unilateral, pôde-se concluir que as médias 1 e 2 são diferentes significativamente a 5%, uma vez que a estatística z obtida foi de 2,5”. 2,5 - + Aceita H0 Rejeita H0 H0 : 1 - 2 = 0 H1: 1 - 2 > 0 Se H0 é verdadeira, então valor-P ? 0,0062 Para que valores de nível de significância, as médias 1 e 2 poderiam ser consideradas iguais? Pode-se aceitar H0 para qualquer nível de significância () menor que 0,0062.

Teste de Hipótese – valor-P (p-value) Exemplo: Foram coletadas amostras (50 pontos) em mapas a fim de avaliar sua exatidão. Procedeu-se o teste z para verificar quais deles possuíam exatidão (p) de 0,90. A tabela abaixo apresenta a exatidão estimada, o resultado do teste (estatística z) e o valor-P de cada mapa. z valor-P Mapa 1 0,87 -0,707 0,2397 Mapa 2 0,62 -6,600 2,07e-11 Mapa 3 0,82 -1,886 0,0297 Mapa 4 0,84 -1,414 0,0786 Quais mapas possuem exatidão menor que 0,90, com 5% de significância? Mapas 2 e 3 Quais mapas possuem exatidão menor que 0,90, com 1% de significância? Somente Mapa 2

Teste de Hipótese (resumo) para  se 2 é conhecida se 2 é desconhecida para 2 para 1 - 2 se e são conhecidas se e são desconhecidas, mas para para p para p1 – p2

Teste t pareado 10 pontos são escolhidos em cada imagem Esquema 1 amostra A B 1 12 15 2 34 17 3 16 21 4 28 27 5 25 6 32 7 23 8 13 19 9 29 10 31 30 Esquema 1 Imagem A Imagem B amostra A B 1 12 11 2 34 37 3 16 18 4 28 5 15 6 17 19 7 23 24 8 13 9 29 32 10 31 33 Esquema 2

Teste t pareado Teste t Se H0 verdadeiro Esquema 1 H0 : A =  B amostra A B 1 12 15 2 34 17 3 16 21 4 28 27 5 25 6 32 7 23 8 13 19 9 29 10 31 30 Teste t Se H0 verdadeiro H0 : A =  B H1: A >  B H0 : A = B H1: A <  B Esquema 1 (Ac. H0 a 5%) (Ac. H0 a 5%) amostra A B 1 12 11 2 34 37 3 16 18 4 28 5 15 6 17 19 7 23 24 8 13 9 29 32 10 31 33 (Ac. H0 a 5%) Teste t Esquema 2

Teste t pareado Teste t Esquema 1 (Ac. H0 a 5%) (Ac. H0 a 5%) amostra A B 1 12 15 2 34 17 3 16 21 4 28 27 5 25 6 32 7 23 8 13 19 9 29 10 31 30 Teste t Esquema 1 (Ac. H0 a 5%) (Ac. H0 a 5%) amostra A B A-B 1 12 11 2 34 37 -3 3 16 18 -2 4 28 5 15 6 17 19 7 23 24 -1 8 13 9 29 32 10 31 33 Teste t pareado H0 : A-B = 0 H1: A-B < 0 Se H0 verdadeiro Esquema 2 (Rej. H0 a 5%)