Mestrandos: Agnaldo de Oliveira Daiane Corrêa Juliana Alves (Re) Construindo Conceitos das Operações com Números Inteiros Relativos Mestrandos: Agnaldo de Oliveira Daiane Corrêa Juliana Alves Agosto/2012

Questões Iniciais Como justificar para o aluno porquê de “-” com “-” resultar em “+” ? Será que podemos provar as regras de sinais? De que forma pode-se trabalhar, do ponto de vista didático, as operações em Z? De que forma podemos justificar as regras de sinais referentes a operações de adição/subtração e multiplicação/divisão no conjunto dos inteiros?

Os Modelos Básicos de Pommer (2010) Adição/Subtração Multiplicação/Divisão Modelo Aritmético Modelo Aritmético Modelo Algébrico Modelo Funcional Modelo Conjuntista Modelo Conjuntista Modelo Geométrico Modelo Físico Geométrico

O Ábaco dos Inteiros

Primeiro Momento – Adição 1) Represente no ábaco o número 6, depois acrescente três argolas vermelhas. a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________.   2) Represente no ábaco o número 3, depois acrescente cinco argolas pretas.

Adição 3) Represente no ábaco o número -3, depois acrescente sete argolas vermelhas. a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________.   4) Represente no ábaco o número -6, depois acrescente quatro argolas pretas.

Adição 5) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco. = +6 e) (-6) + (-1) -7 i) (+5) + (-8) -3 b) (+2) + (+5) +7 f) (-4) + (-7) -11 j) (+9) + (-4) +5 c) (+6) + (+3) +9 g) (-1) + (-8) -9 k) (-8) + (+6) -2 d) (+5) + (+8) +13 h) (-9) + (-3) -12 l) (-7) + (+1) -6

Adição Resultado das operações... a) (+4) + (+2) = +6 e) (-6) + (-1) -7 i) (+5) + (-8) -3 b) (+2) + (+5) +7 f) (-4) + (-7) -11 j) (+9) + (-4) +5 c) (+6) + (+3) +9 g) (-1) + (-8) -9 k) (-8) + (+6) -2 d) (+5) + (+8) +13 h) (-9) + (-3) -12 l) (-7) + (+1) -6

Adição 6) Analisando os itens de a a d o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? A soma de dois números inteiros relativos positivos equivale à soma de seus valores absolutos e o resultado terá “sinal” positivo.

Adição 7) Analisando os itens de e a h o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? A soma de dois números inteiros relativos negativos equivale à soma de seus valores absolutos e o resultado terá “sinal” negativo.

Adição 8) Analisando os itens de i a l o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Quando representamos valores absolutos sinais diferentes, subtraímos os valores absolutos das parcelas e o resultado terá o sinal da parcela que possui maior valor absoluto.

Adição 9) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a um padrão de resolução da operação de adição de números inteiros? Qual? A soma de dois números inteiros relativos de mesmo sinal equivale à soma de seus valores absolutos e “seu sinal” é igual ao dos números das parcelas; e a soma de dois números inteiros relativos de “sinais diferentes” equivale a diferença entre os valores absolutos dos números e o seu sinal é o “sinal da parcela” que possui maior valor absoluto.

Segundo Momento – Subtração 1) Represente no ábaco o número 6, depois retire três argolas vermelhas. a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________. 2) Represente no ábaco o número 3, depois retire cinco argolas pretas.

Subtração 3) Represente no ábaco o número -3, depois retire sete argolas vermelhas. a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem matemática._____________. 4) Represente no ábaco o número -6, depois retire quatro argolas pretas.

Subtração 5) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco. = +2 e) (-6) - (-1) -5 i) (-8) - (+5) -13 b) (+5) - (+3) f) (-7) - (-4) -3 j) (-9) - (+4) c) (+4) - (+6) -2 g) (-1) - (-8) +7 k) (+6) - (-8) +14 d) (+5) - (+8) h) (-3) - (-9) +6 l) (+2) - (-7) +9

Subtração Resultado das operações... a) (+4) - (+2) = +2 -5 i) (-8) - (+5) -13 b) (+5) - (+3) f) (-7) - (-4) -3 j) (-9) - (+4) c) (+4) - (+6) -2 g) (-1) - (-8) +7 k) (+6) - (-8) +14 d) (+5) - (+8) h) (-3) - (-9) +6 l) (+2) - (-7) +9

Subtração 6) Analisando os itens de a, b, e e f o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Subtraímos os valores absolutos dos números e o sinal do resto será igual ao “sinal” do minuendo, quando este possuir maior valor absoluto que o subtraendo.

Subtração 7) Analisando os itens de c, d, g e h o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Subtraímos os valores absolutos dos números e o “sinal” do resto será oposto ao “sinal” do minuendo, quando este possuir menor valor absoluto que o subtraendo.

Subtração 8) Analisando os itens de i a l o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Somamos os valores absolutos dos números e o “sinal” do resto será o mesmo do minuendo.

Subtração 9) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a uma regra para todas as operações realizadas? Qual? Quando os “sinais” são iguais, subtraímos os valores absolutos dos números e o sinal do resto será igual ao “sinal” do minuendo, quando este possuir maior valor absoluto e, “sinal” oposto ao do minuendo quando este possuir menor valor absoluto que o subtraendo. E quando os “sinais” são diferentes somamos os valores absolutos e o “sinal” será o mesmo do minuendo.

Terceiro Momento – Multiplicação 1) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco. a) (+4).(+2) = +8 f) (-6).(-2) +12 k) (-3).(+4) -12 b) (+5).(+3) +15 g) (-7).(-1) +7 l) (-5).(+2) -10 c) (+2).(+6) h) (-4).(-2) +6 m) (-1).(+9) -9 d) (+1).(+8) +9 i) (-3).(-4) n) (+2).(-7) -14 e) (+2).(+3) +5 j) (-2).(-6) o) (+3).(-2) -6

Terceiro Momento – Multiplicação Resultado das operações... a) (+4).(+2) = +8 f) (-6).(-2) +12 k) (-3).(+4) -12 b) (+5).(+3) +15 g) (-7).(-1) +7 l) (-5).(+2) -10 c) (+2).(+6) h) (-4).(-2) m) (-1).(+9) -9 d) (+1).(+8) i) (-3).(-4) n) (+2).(-7) -14 e) (+2).(+3) +6 j) (-2).(-6) o) (+3).(-2) -6

Multiplicação 2) Analisando os itens de a a e o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Quando os sinais dos fatores são positivos, o produto é igual ao produto entre os valores absolutos dos fatores e o seu “sinal” será sempre positivo.

Multiplicação 3) Analisando os itens de f a j o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Quando os sinais dos fatores são negativos, o produto é igual ao produto entre os valores absolutos dos fatores e o seu “sinal” será sempre positivo.

Multiplicação 4) Analisando os itens de k a o, o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Quando os “sinais” dos fatores são diferentes, o produto é igual ao produto dos valores absolutos dos fatores, e o “sinal” será sempre negativo.

Multiplicação 5) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a um padrão de resolução para todas as operações realizadas? Qual? Quando os sinais dos fatores são iguais, o produto é igual ao produto entre os valores absolutos dos fatores, e seu “sinal” será sempre positivo. Quando os “sinais” dos fatores são diferentes, seu produto é igual ao produto dos valores absolutos dos fatores, e seu “sinal” será sempre negativo.

Quarto Momento – Divisão 1) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco. a) (+9):(+3) = +3 f) (-12):(-4) k) (-9):(+3) -3 b) (+10):(+5) +2 g) (-8):(-4) l) (-8):(+2) -4 c) (+6):(+3) h) (-4):(-2) m) (-8):(+4) -2 d) (+12):(+4) i) (-5):(-1) +5 n) (+12):(-4) e) (+14):(+2) +7 j) (-10):(-5) 0) (+6):(-3)

Divisão Resultado das operações... a) (+9):(+3) = +3 f) (-12):(-4) k) (-9):(+3) -3 b) (+10):(+5) +2 g) (-8):(-4) l) (-8):(+2) -4 c) (+6):(+3) h) (-4):(-2) m) (-8):(+4) -2 d) (+12):(+4) i) (-5):(-1) +5 n) (+12):(-4) e) (+14):(+2) +7 j) (-10):(-5) 0) (+6):(-3)

Divisão 2) Analisando os itens de a a e o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Quando os “sinais” são positivos dividimos os valores absolutos dos números e o quociente terá “sinal” positivo.

Divisão 3) Analisando os itens de f a j o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Quando os “sinais” são negativos dividimos os valores absolutos dos números e o quociente terá “sinal” positivo.

Divisão 4) Analisando os itens de k a o, o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos? Quando os “sinais” são diferentes, dividimos os valores absolutos dos números e o quociente terá “sinal” negativo.

Divisão 5) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a um padrão de resolução para todas as operações realizadas? Qual? Quando os “sinais” são iguais dividimos os valores absolutos dos números e o quociente sempre terá “sinal” positivo. Quando os “sinais” são diferentes dividimos os valores absolutos dos números e o quociente sempre terá “sinal” negativo.

Referências POMMER, W. M. Diversas abordagens das regras de sinais nas operações elementares em Z. FEUSP: 2010. Disponível em: <http://www.nilsonjosemachado.net/sema20100316.pdf>. Acesso em 27 jan. 2012. RODRIGUES, L. R; OLIVEIRA, T. O. Operando números inteiros com o ábaco. Disponível em: <http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/minicursos/operandonumeros>. Acesso em 27 de jan. de 2012.